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19.3正方形导学案
课题
正方形
单元
19
学科
数学
年级
八年级
知识目标
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力
重点难点
重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用
教学过程
知识链接
1.叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质.
2.说一说平行四边形、矩形、菱形的内在联系.
合作探究
一、教材第119页
用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：
叫做正方形．
二、教材第119页
1.正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
归纳：正方形的性质
；
；
。
三、教材第116页
例1、如图，已知正方形ABCD，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数.
三、教材第117页
讨论：老师给学生-一个任务:从一-张彩色纸中剪出一个正方形.
小明剪完后,这样检验它:比较边的长度，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这个任务，这种检验可信吗?
小兵用另一种方法检验:他量的不是边，而是对角线,发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形这种检验对吗?
小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的，按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样?
你认为应该如何检验,才能又快又准确呢?
归纳：正方形的判定：
；
；
。
自主尝试
1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是(
)
A、四个角相等
B、对角线互相垂直平分.
C、对角互补
D、对角线相等.
2、正方形具有而菱形不一定具有的性质（
）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
3、正方形对角线长6，则它的面积为_________
,周长为________．
【方法宝典】
根据正方形的性质解题即可.
当堂检测
1．下列对正方形的描述错误的是（ ）
A．正方形的四个角都是直角
B．正方形的对角线互相垂直
C．对角线相等的平行四边形是正方形
D．邻边相等的矩形是正方形
2．如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（ ）
A．10°
B．15°
C．30°
D．22.5°
3．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G．若BC＝4，AF＝1，则CE的长为（ ）
A．3
B．
C．
D．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且DE＝DA，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长是（ ）
A．1
B．
C．3﹣4
D．4﹣2
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．25°
D．17.5°
6．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为
．
7．如图，正方形ABCD边长为2，点P在BC边上，DP交AC于点E，∠ADE＝∠AED，则BP的长度是
．
8．如图所示，在边长为6的正方形ABCD外以CD为边作等腰直角△CDE，连接BE，交CD于点F，则CF＝
．
9．如图，在等边△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于H点，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，求CE的长．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.
C
2.
D
3.
A
4.
D
5.
B
6.
2或2
7.
4﹣2．
8.
2
9.解：（1）证明：在等边△ABC中，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
又∵EH＝FH，
∴四边形EBFC是平行四边形，
∵E在AH上，AH⊥BC，BH＝CH，
∴BE＝CE，
∴四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，则∠BEC＝90°，
又∵BE＝CE，
∴△BEC为等腰直角三角形，
在等边△ABC中，AB＝2，
∴BC＝2，
∴CE＝BC×sin45°
＝2×
＝．
∴CE的长为．
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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华师大版
八下数学
19.3正方形
复习旧知
1.叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质.
2.说一说平行四边形、矩形、菱形的内在联系.
情景导入
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
思考
你能从这个变化过程中给正方形下定义吗?
有一个角是直角的菱形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
是直角
有一个角
边相等
有一组邻
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
探究新知
由正方形的定义可知，
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形.如图.
想一想
正方形是菱形吗？正方形具有哪些性质?
正方形是特殊的菱形，它具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
边：对边平行，四边都相等。
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等且互相垂直平分
A
B
C
D
O
思考
正方形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.即两条对角线，两组对边的中垂线.
对称：正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形.
归纳总结
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
典例精析
A
C
D
B
O
例1、如图，已知正方形ABCD，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数.
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°
在△ABO与△CBO中
∴
△ABO≌△CBO
∴∠ABO=∠CBO
∴∠ABD=
同理可得∠DAC=45°
A
D
C
B
O
已知:
如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证:
△ABO、
△BCO、
△CDO、
△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:
∵
四边形ABCD是正方形,
∴
AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴
△ABO、
△BCO、
△CDO、
△DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌
△BCO
≌
△CDO
≌
△DAO.
变式训练
探究新知
从图中可看出，
⑴在正方形中产生了哪些特殊图形？
⑵产生了哪些特殊角？
D
O
A
B
C
450
450
450
450
450
450
450
450
4个全等的小等腰直角三角形和4个全等的大等腰直角三角形.
900和450
正方形图形“庐山真面目”
思考
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是正方形？
怎样判定一个平行四边形是正方形？
探究新知
1
.定义法：
2.矩形法：
4.对角线法：
一邻边相等
一个直角
+
+
平行四边形
=
正方形
3.菱形法：
一邻边相等
+
矩形
=
正方形
一个直角
+
菱形
=
正方形
互相平分
+
互相垂直
相等
+
=
正方形
①
对角线相等的菱形是正方形
(
)
②
对角线互相垂直的矩形是正方形
(
)
③
对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
(
)
④
四条边都相等的四边形是正方形
(
)
⑤
四个角都相等的四边形是正方形
(
)
⑥
四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.(
)
判断对错
√
√
×
×
×
√
对应训练
典例精析
例、在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形
.
典例精析
如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
证明：∵
DE⊥AC，DF⊥AB
，
∴∠DEC=
∠DFC=90°.
又∵
∠C=90
°，∴四边形EDFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴
DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴矩形EDFC是正方形.
变式训练
课堂练习
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是(
)
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等
D．对角线平分一组对角
2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(
)
A．14
B．15
C．16
D．17
C
C
课堂练习
3．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为______________
15°或45°
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
课堂练习
5．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.
(1)求证：BE＝AF；
(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，∵DE＝CF，
∴AE＝DF，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF
(2)∵△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠FAD＋∠AEB＝∠EBA＋∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝＝5，
S△ABE＝AB×AE＝BE×AG，∴AG＝＝
课堂练习
课堂练习
6.如图，在四边形ABCD中,
AB=BC
,对角线BD平分?ABC
,
P是BD上一点,过点P作PM?AD
,
PN?CD
,垂足分别为M、N.
(1)
求证：?ADB=?CDB;
(2)
若?ADC=90?,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB
=
BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.∵BD=BD
∴△ABD≌△CBD
(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
课堂练习
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴矩形NPMD是正方形.
课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
1.邻边相等的矩形是正方形
2.有一个角是直角的菱形是正方形
3.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
判定
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