21.1 一元二次方程 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
人教版
九年级数学上册
21.1一元二次方程
教学目标
1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，会确定各项系数.(重点）
2.理解一元二次方程根的概念.(重点）
情境导入
雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？
情境导入
设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2
m，下部BC=x
m，请列出方程.
A
C
B
解：列方程得:
整理得　x
2
+
2x
-
4
=
0．①
x
2
=
2(2
-
x
)，
x
m
(2
-
x)
m
想一想：上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？
合作探究---一元二次方程的概念
问题1：如图，有一块矩形铁皮，
长100cm，宽50cm，在它的四角去四各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒；如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x
合作探究
设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为(100－2x)cm，
宽为(50－2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm2，得
化简，得
②
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
合作探究---一元二次方程的概念
x
问题2:
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比
赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，
所以全部比赛共
x（x－1）场．
列方程得：
x（x－1）＝28
化简得：
x2-x=56
③
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
合作探究---一元二次方程的概念
讨论：观察上述方程，它们与一元一次方程、二元一次方程、分式方程分别有什么不同点？它们有什么共同点？
总结：
（１）未知数的最高次数是2，
（２）方程中只含有一个未知数，
（3）这些方程的两边都是整式.
x2-75x＋350=0
②
x2
+
2x
-
4
=
0
①
x2-x-56=0
③
合作探究---一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的概念
ax2+bx
+c
=
0(a，b，c为常数，
a≠0)
ax2
称为二次项，
a
称为二次项系数.
bx
称为一次项，
b
称为一次项系数.
c
称为常数项.
一元二次方程的一般形式是
合作探究---一元二次方程的概念
小试牛刀
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2)
x3-x2=36
(3)2x+3y=36
(5)
5x+8=0
√
×
×
×
×
×
×
×
(1)
x2+6x=36
注意：未限定a≠0
（6）2x2+3x=2x2
-1
典例精析
例1：请你将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项
。
解
：去括号，得：3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
小试牛刀
练一练：a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=6x2；
(2)
(a－3)x|a|-1
－2x－8=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－6)x2－x=0，所以当a－6≠0，
即a≠6时，原方程是一元二次方程；
(2)由|a|-1
=2，且a－3
≠0知，当a=－3时，原方程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：1、先观察未知字母出现的未知；2、根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式训练
变式：方程(3a－6)x2－5cx+b=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当
3a－6≠0，即a
≠2
时，是一元二次方程；
（2）当a=2
且c
≠0时，是一元一次方程．
合作探究
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax+b=0
(a≠0)
ax2+bx+c=0
(a≠0)
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
合作探究---一元二次方程的根
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
试一试：下面哪些数是方程
x2
–
x
–
6
=
0
的解?
-4，-3，
-2，-1，0，1，2，3，4
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x2
–
x
–
6
14
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
典例精析
例2：已知关于x一元二次方程（m-1）x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m.
解：把x=2代入方程得4（m-1）+6-5m+4=0，
整理，得
：
6-m=0
解，得
：
m=6
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方程，求解即可得到字母的值.
小试牛刀
练一练：已知a是方程
x2+2x－2=0
的一个实数根，求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得：
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值．
综合演练
1.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x2﹣2y=5
B．x2+5x﹣4=0
C．x2+y2=8
D．3x﹣4y=6
B
2.方程3x2﹣6x﹣2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．3、2、2
B．3、﹣6、2
C．3、﹣6、﹣2
D．﹣3、6、2
C
综合演练
3.关于x的方程(k2－2)x2
＋
3(k－2)x＋5k＋
3＝0，
当k
　　　时，是一元二次方程．
当k
　　　时，是一元一次方程．
≠±2
＝－2
4.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0,
有一个根为0，求m的值.
二次项系数不为零不容忽视！
解：将x=0代入方程得m2-4=0，
解得m=±2.
∵
m+2
≠0，
∴
m
≠-2，
综上所述：m
=2.
综合演练
5、如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，
整理，得：
根据题意，得：
能力提升
6、已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根为1，
求a+b+c的值.
解：由题意得
思考：1.若
a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
的一个根吗?
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根是x=1.
2.
若
a-b
+c=0，4a+2b
+c=0
，你能通过观察，求出方程x2+bx+c=0
(a≠0)的根吗?
x=-1
x=2
课堂小结
本节课你有哪些些收获？
1.一元二次方程的概念；
2.一元二次方程
的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念;
3.一元二次方程根的概念以及作用。
课后作业
习题21.1
P4:1、2、3