27.4正多边形和圆 同步课时训练（含答案）

27.4正多边形和圆课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．正六边形的边心距为false，这个正六边形的面积为（ ）
A．12 B．false C．false D．false
2．已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（　　）
A．2false B．2 C．false D．4
3．如图，△ABC中，内切圆I和边BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，若false，则∠EDF的度数是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．如图，正五边形false内接于false，点false为false上一点（点false与点false，点false不重合），连接false，false，false，垂足为false，则false等于（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
5．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，己知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（ ）
A．6false B．12false C．12 D．24
6．如图，在false中，false，false，false，⊙O是false的内切圆，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B．false C．2 D．false
7．如图，点false和false分别是false的内心和外心，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知四边形ABCD，下列命题：①若false，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则false；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则false，其中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，点I为false的内心，false，false，false，将false平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．6.5
10．⊙O内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．1∶false B．false∶false C．3∶2 D．1∶2
二、填空题
11．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和π）．
12．如图，等边△ABC内接于☉O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD=false，则图中阴影部分的面积等于_________．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形false的顶点false，点false是false的内心，将false绕原点顺时针旋转false后，false的对应点false的坐标是_________．
14．如图，false是false的内切圆，切点分别为false、false、false，false，点false为false上任意一点（不与false、false重合），则false=______．
15．如图，在边长为false的正六边形false中，点P在false上，则false的面积为________false．
16．如图，正五边形false内接于false，false是false的中点，则false的度数为________．
三、解答题
17．已知，正方形false内接于false，点false是弧false上一点．
（1）如图1，若点false是弧false的中点，求证：false；
（2）如图2，若图中false，求false的值．
18．如图△ABC内接于圆O，点I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D．
false
（1）若∠BAC=60°，BD=5，求⊙O的半径．
（2）求证：DI=DC．
19．如图，已知，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M（不包括A，B两点），以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C．求证：∠ACB为定值．
20．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与false轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与false轴交于点C．抛物线的对称轴与false轴交于点E，点P在对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线CM与false轴交于点D，若false，求点P的坐标；
（3）请探索：是否存在这样的点P，使false？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
2．A
3．D
4．B
5．C
6．A
7．D
8．D
9．A
10．B
11．6false﹣falseπ
12．false
13．false
14．50°或130°
15．false
16．false
17．（1）见解析；（2）false
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
false．
∵false是弧false的中点，
∴false，
false，
false，
false，
false，
false．
（2）如图，连接DP，DE，
∵正方形false内接于false，
∴BD是false的直径，
∴false．
∵AC，BD是正方形ABCD的对角线，
∴AC垂直平分BD，false，
false，
false．
∵false，
∴点E在false的平分线上，
false，
false．
在false中，false，
false，
∴false，
false，
∴false．
18．（1）5；（2）见解析
【详解】
（1）解：连结OB，OD，

∵点I是△ABC的内心，∠BAC=60°
∴∠BAD=∠CAD=30°
∴∠BOD=60°
∵OB=OD
∴△BOD是等边三角形
∴OB=BD=5
(2)证明：连结BI，CD，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，
又∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵∠BAD=∠CAD
∴CD=BD，
∴DB=DC=DI；
∴DI=DC．
19．见解析．
【详解】
证明：连接AM，BM，
由题意得：M是内心，
∴AM平分∠CAB，BM平分∠ABC，
∴∠CAM＝∠BAM，∠CBM＝∠ABM，
∴∠AMB＝180°﹣∠BAM﹣∠ABM，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣∠AMB，
△ABC中，∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ACB）＝180°﹣2∠BAM﹣2∠ABM＝180°﹣2（180°﹣∠AMB）＝2∠AMB﹣180°，
∵false所在圆是个定圆，弦AB和半径都是定值，
∴∠AMB为定值，
∴∠ACB为定值2∠AMB﹣180°．
20．（1）y=-x2+2x+3；（2）P（1，2）或（1，-2）；（3）P（1，false+1）或（1，-false-1）．
【详解】
解：（1）设抛物线为y=a（x-1）2+4.
∵抛物线过点（2，3）
∴3=a（2-1）2+4，解得a=-1
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；
（2）如图1，令y=0，则-（x-1）2+4=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1,0）,B（3，0），
令x=0，可得y=3
∴C（0，3），
∵M（1，4）
∴运用待定系数法可得：直线CM的解析式为y=x+3
令y=0，则x+3=0，x=-3，
∴D（-3，0）
∵∠DEM=∠AEP=90°，∠DMB=∠APE.
∴△DEM∽△AEP，
∴false
∵A（-1，0），E（1，0），D（-3，0），M（1，4）.
∴DE=4，ME=4，AE=2.
∴false，即PE=2
∴P（1，2）或（1，-2）；
（3）存在，P的坐标为（1，false+1）或（1，-false-1），理由如下：
如图2，①当点P在x轴上方时，连接BP，
∵PE是抛物线的对称轴，
∴∠APE=∠BPE，∠APB=2∠APE
∵∠ANB=2∠APE
∴∠ANB=∠APB
∴点A，B，N，P四点共圆，
设圆心F的坐标为（1，n），即PF=AF=NF，
∵A（-1，0），N（2，3）
∴false
∴n2+4=1+（3-n）2，解得n=1
∴F（1，1）,即PF=AF=false
∴PE=false+1，P（1，false+1）；
②当点P在x轴下方时，由对称知，P（1，-false-1）；
综上，点P的坐标为P（1，false+1）或（1，-false-1）．