3.1 椭圆 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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2019人教版选修一曲线方程椭圆
一、单选题
1.椭圆
的焦点坐标为（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
2.已知椭圆
，若长轴长为8，离心率为
，则此椭圆的标准方程为（
??）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
3.P是椭圆
上一点，
，
是该椭圆的两个焦点，且
，则
（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?9
4.“
”是“方程
表示焦点在
轴的椭圆”的（???
）
A.?充分非必要条件?????????????B.?必要非充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
5.设
是椭圆
上的一点，
为焦点，且
，则
的面积为（
??）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?16
6.已知椭圆
，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
7.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为
，过点
的直线1与椭圆相交于A，B两点，若点Q是线段
的中点，则直线l的斜率为（???
）
A.?2或
?????????????????????????????????B.?2或8?????????????????????????????????C.?
或
?????????????????????????????????D.?
或8
8.椭圆
（
）上一点
关于原点的对称点为
，
为椭圆的一个焦点，若
，且
，则该椭圆的离心率为（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
二、多选题
9.若方程
表示椭圆
，则下面结论正确的是（???
）
A.?????????????????????????????????????????????????????????????B.?椭圆
的焦距为
C.?若椭圆
的焦点在
轴上，则
????????????D.?若椭圆
的焦点在
轴上，则
10.若椭圆
的一个焦点坐标为
，则下列结论中正确的是（???
）
A.????????????????????B.?C的长轴长为
???????????????????C.?C的短轴长为4???????????????????D.?C的离心率为
11.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点
变轨进入以月球球心
为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点
第二次变轨进入仍以
为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点
第三次变轨进入以
为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用
和
分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用
和
分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（???
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
12.我们通常称离心率为
的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆
：
，
分别为左、右顶点，
，
分别为上、下顶点，
，
分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（????
）
A.?
B.?
C.?
轴，且
D.?四边形
的内切圆过焦点
，
三、填空题
13.已知过点
的椭圆C的焦点分别为
，
，则椭圆C的标准方程是________.
14.在直角三角形
中，
，椭圆的一个焦点为C，另一个焦点在边
上，并且椭圆经过点
，则椭圆的长轴长等于________.
15.已知椭圆C：
，A，B是椭圆C上两点，且关于点
对称，P是椭圆C外一点，满足
，
的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是________.
16.已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，若椭圆上存在一点
使得
，则该椭圆离心率的取值范围是________.
四、解答题
17.已知椭圆的长轴在
轴上，长轴长为4，离心率为
，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线
与椭圆交于
两点，求
两点的距离.
18.已知椭圆E：
（
）的焦距为
，且离心率为
.
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若直线
（
）与E相交于A，B两点，M为E的左顶点，且满足
，求k.
19.已知椭圆
的左?右焦点分别是
，且离心率为
，点
为椭圆下上动点，
面积的最大值为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若
是椭圆
的上顶点，直线
交椭圆
于点
，过点
的直线
(直线
的斜率不为1)与椭圆
交于
两点，点
在点
的上方．若
，求直线
的方程．
20.已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，其离心率为
，点
在椭圆E上.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）经过椭圆E的左焦点
作斜率之积为
的两条直线
，
，直线
交椭圆E于A，B，直线
交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求
面积的最大值.
21.已知四点
中恰有三点在椭圆
上，其中
．
（1）求
的值；
（2）若直线
过定点
且与椭圆
交于
两点（
与
轴不重合），点
关于
轴的对称点为点
．探究：直线
是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆
的离心率为
，直线
被椭圆C截得的线段长为
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于
?
两点(A?B不与椭圆C的顶点重合)，点
在椭圆C上，且
，直线BD与x轴交于M点，设直线BD?AM的斜率分别为
?
，证明存在常数
使得
，并求出
的值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：由题意，椭圆
，可得
，所以
，
又由椭圆的焦点在
轴上，所以椭圆的焦点坐标为
.
故答案为：B.
2.【答案】
D
解：因为椭圆
长轴长为8，所以
，即
，
又离心率为
，所以
，解得：
，
则
=
，
所以椭圆的标准方程为：
。
故答案为：D
3.【答案】
A
解：由
得
，
所以
，所以
，
根据椭圆的定义可得
，
又
所以
.
故答案为：A
4.【答案】
B
解：由题意，方程
表示焦点在
轴上的椭圆，
则满足
，解得
；
又由当
则必有
，但若
则不一定有
成立，
所以“
”是“方程
表示焦点在
轴上的椭圆”的必要非充分条件．
故答案为：B．
5.【答案】
C
解：设
，
所以由余弦定理得：
，
所以
。
6.【答案】
D
解：因为
，
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
。
故答案为：D.
7.【答案】
A
解：解：由题意可得
，所以
，由a，b，c之间的关系可得
，所以
，
设
，
，由题意可得
，
，
因为A，B在椭圆上，
当焦点在x轴上时，则
，作差可得
，
所以
；
当焦点在y轴上时，则
作差可得
，
所以
，
综上所述直线l的斜率为：2或
，
故答案为：A.
8.【答案】
D
解：如图，
是另一个焦点，由对称性知
是平行四边形，
∵
，∴
，∴
是矩形．
，∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
故答案为：D．
二、多选题
9.【答案】
C,D
解：由题可知，
，又椭圆中
，故
，联立求得
，A不符合题意；
当
，即
时，焦点在
轴，
，B不符合题意，C符合题意；
当
，即
时，焦点在
轴上，
，B不符合题意，D符合题意，
故答案为：CD。
10.【答案】
A,B
解：由已知可得
，解得
或
（舍去）,
，
,
∴长轴长为
，短轴长为
，离心率为
。
故答案为：AB.
11.【答案】
B,C
解：由题图可得
，A不正确；
，B符合题意；
由
得
，即
，
即
，C符合题意，D不正确．
故答案为：BC
12.【答案】
B,D
解：∵椭圆
∴
对于A，若
，则
，∴
，∴
，不满足条件，A不符合条件；
对于B，
，∴
∴
，∴
∴
，解得
或
（舍去），B符合条件；
对于C，
轴，且
，∴
∵
∴
，解得
∵
，∴
∴
，不满足题意，C不符合条件；
对于D，四边形
的内切圆过焦点
即四边形
的内切圆的半径为c，∴
∴
，∴
，解得
（舍去）或
，∴
，D符合条件．
故答案为：BD．
三、填空题
13.【答案】
解：由题意
，
，所以
,
所以椭圆方程为
．
故答案为：
．
14.【答案】
解：解：如图，
设椭圆的长轴长为
，因为
，则
，
，
，则
，所以
.
故答案为：
15.【答案】
或
解：设
，
A，B是椭圆C上两点，
则
，两式相减得
，
是AB中点，则
，即
，
故直线AB斜率为
，则直线AB方程为
，即
，
将直线方程代入椭圆得
，解得
，
则可得
，
设
，则PA中点为
，PB中点为
，
，
的中点均在椭圆C上，
则
，解得
或
，
的坐标为
或
.
故答案为：
或
.
16.【答案】
解：由椭圆的定义可得
，又
，所以
，
在椭圆中，
，所以
，即
，
又
，所以
，
所以该椭圆离心率的取值范围是
.
故答案为：
四、解答题
17.【答案】
（1）解：由已知：
，
，
故
，
，
则椭圆的方程为：
，
所以椭圆的短轴长为
，焦距为
（2）解：联立
，解得
，
，
所以
，
，
故
18.【答案】
解：（Ⅰ）解：由题意知
，
，
又因为
解得
，
，
故E的标准方程为
（Ⅱ）由
，得
，
得
或
不妨设
，
，则
，
由（Ⅰ）知
，故
，
，
由
，知
又因为
，故
．
19.【答案】
（1）解：
面积的最
又
，所以
，解得
．
即
，故椭圆C的标准方程为
（2）解：由题可得直线
的方程为
，
联立
，得
，则
，
因为
，则
，
得
，
当直线
的斜率为0时，不符合题意，
故设直线
的方程为
，由点P在点Q的上方，则
联立
，得
，则
得
，则
，得
又
，则
，不符合题意，所以
故直线
的方程为
20.【答案】
（1）解：因为
，得
，则
，
又椭圆经过点
，则
，即
，
故椭圆
的标准方程为
（2）解：设直线
的斜率为
，则
，设
，
，
联立
得，
，
，
，
的中点
，同理可得
的中点
，
，所以，
，
则
.
令
得
，所以
在
轴上的交点为
，
所以
，
令
，
，
因为
，
，即
面积的最大值
21.【答案】
（1）解：因为
关于原点对称，由题意得
和
在椭圆上，
将
的坐标代入
得：
解得：
（2）解：显然，
与
轴不垂直，设
的方程为：
???
设
，则
且
????
直线
方程为
????
令
，得
，
故直线
过定点
．
22.【答案】
（1）解：
椭圆
的离心率为
，
，
，
，得
，①
设直线
与椭圆C交于P，Q两点，
设P是直线与椭圆在第一象限的交点，
直线
被椭圆C截得的线段长为
，
，
，
整理得
，②
联立①②，解得
，
，
椭圆C的方程为
（2）解：由题知
，直线AB的斜率
，
又
，
直线AD的斜率
，
设直线AD的方程为
，
由题意得
，
，
联立
，得
，
，
，
由题意知
，
，
直线BD的方程为
，
令
，得
，
即
，所以
，
，则
，
存在常数
，使结论成立.
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