4.1 数列的概念同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.1 数列的概念同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 159.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-24 19:36:40 | ||
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文档简介
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) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
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人教版2019选修2数列的概念同步练习
一、单选题
1.已知数列 , 则此数列的第43项为（ ）
A. B. C. D.
2.已知数列 的前4项依次为2，0，2，0，则数列 的通项不可能是（ ）
A. B. C. D.
3.已知数列 则该数列中最小项的序号是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.已知数列 的前 项和 ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5.在数列 中， ，则 （ ）
A. 是常数列 B. 不是单调数列 C. 是递增数列 D. 是递减数列
6.若数列 的通项公式为 ，其中 ，则 =（ ）
A. 25 B. 50 C. 75 D. 100
7.如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 项，则这个数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列 满足 （ ）， （ ），则下列说法中错误的是（ ）
A. 若 ，则数列 为递增数列 B. 若数列 为递增数列，则
C. 存在实数 ，使数列 为常数数列 D. 存在实数 ，使 恒成立
二、多选题
9.设数列 满足 记数列 的前n项和为 则（ ）
A. B. C. D.
10.已知数列 的前 项和为 ， ，数列 的前 项和为 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.对于数列 ，若存在正整数 ，使得 ， ，则称 是数列 的“谷值， 是数列 的“谷值点”，在数列 中，若 ，则数列 的“谷值点”为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
12.对于数列 ，定义： ，称数列 是 的“倒差数列”下列叙述正确的有（ ）
A. 若数列 单调递增，则数列 单调递增
B. 若数列 是常数列，数列 不是常数列，则数列 是周期数列
C. 若 ，则数列 没有最小值
D. 若 ，则数列 有最大值
三、填空题
13.已知数列 满足 ， ，则通项 ________.
14.数列 的通项公式为 ，则它的第5项 =________.
15.若数列{an}为单调递增数列，且 ，则a3的取值范围为________.
16.用 表示不超过 的最大整数，例如 ， ， ．已知数列 满足 ， ，则 ________．
四、解答题
17.已知数列 的前n项和为 ，且对任意正整数n都有 ．
（1）求数列 的通项公式．
（2）设 ，求 ．
18.已知数列 的前 项和为 且 ．
（1）求出它的通项公式；
（2）求使得 最小时 的值.
19.已知 是数列 的前 项和，且 ．
（1）求 ；
（2）求数列 的前 项和为 ．
20.已知，无穷数列 中， ．记 前n项的和为 构造数列 ： ．
（1）若 为单调递减数列，直接写出数列 的通项公式：
（2）若 ，且存在 使得 ，求证：存在 ，使得 ．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：由题意可知：
分母为1的项有1个:分母为2的项有2个;分母为3的项有3个;
分母为4的项有4个;分母为5的项有5个;分母为6的项有6个;
分母为7的项有7个:分母为8的项有8个;分母为9的项有9个;
1＋2＋3+4+5+6+7+8=36,1+2＋3+4+5＋6+7＋8＋9=45,
所以第43项的分母为9，是分母为9的项中的第7个数，
所以第43项为 。
故答案为：D．
2.【答案】 D
解：解：对A， ，
， ， ， ，A正确，不符合题意；
对B， ，
， ，
， ，B正确，不符合题意；
对C， ，
， ，
， ，C正确，不符合题意；
对D， ，
， ，
， ，D错误，符合题意.
故答案为：D.
3.【答案】 A
解：因为
当 时， 取得最小值。
故答案为：A
4.【答案】 C
解：由已知 ．
故答案为：C．
5.【答案】 D
解：在数列 中， ，
由反比例函数的性质得： 是 时单调递减数列，
故答案为：D。
6.【答案】 C
解： ， ，
故答案为：C.
7.【答案】 A
解：设第 幅图中着色的三角形个数为 ，
由图形可得 ， ， ， ，
据此可归纳得出该数列的一个通项公式为 .
故答案为：A.
8.【答案】 B
解：解：对于A选项，若 ，则 ，
∴ ，即数列 为递增数列，则A对；
对于B选项，若数列 为递增数列，则 ，
∴ ，或 ，即 ，或 ，
∴ ，或 ，则B不符合题意；
对于C选项，要使数列 为常数数列，则 ，
∴ ，或 ，即存在实数 或 ，使数列 为常数数列，则C对；
对于D选项，由C选项可得，当 时，数列 为常数数列，即 ，
则存在实数 ，使 恒成立，则D对；
故答案为：B．
二、多选题
9.【答案】 A,B,D
解：由已知得： ，令 ，
则当 时， ，即 ，而 也成立，
∴ ， ，故数列 通项公式为 ，
∴ ，即有 ，
故答案为：ABD
10.【答案】 A,C,D
解：解：由 ，所以 ，A符合题意； ，B不符合题意；
， ，所以 时， ， ，
所以 时， ，
令 ， ，
时， ，
， 时，
所以 时， ，CD符合题意；
故答案为：ACD.
11.【答案】 A,D
解：因为 ，
所以 ，
当 ， ，
此时数列单调递增， ， ， ， ，
所以数列 的“谷值点”为2，7.
故答案为：AD
12.【答案】 B,D
解：对于 ，函数 在 和 上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，可知数列 单调递增，数列 不是单调递增（如 ，则 ， ）， 错误；
对于 ， 是常数列， 可设 ，则 ，
，
不是常数列， ， ，整理得： ，
， 数列 是以 为周期的周期数列， 正确；
对于 ，若 ，则 ，①当 为偶数时， 且 单调递增， ，
且 单调递增，此时 ；②当 为奇数时， 且 单调递减， ，
且 单调递减，此时 ；
综上所述： 既有最大值 ，又有最小值 ， 错误； 正确.
故答案为：BD.
三、填空题
13.【答案】
解：由题意
．
故答案为： ．
14.【答案】
解： ，
故答案为： 。
15.【答案】 (-∞，6)
解：当n≥2时， ，
因为数列{an}为单调递增数列，所以 对n≥2(n∈N)恒成立，
即λ＜2n+1对n≥2(n∈N)恒成立，
所以λ＜8，
所以 ，
a3的取值范围为(-∞，6)，
故答案为：(-∞，6)。
16.【答案】 0
解：由已知 ，所以数列为正项数列，且 ，则数列 为正项递增数列，
对条件 两边取倒数得： ，
所以 ，所以有： 数列为正项递增数列，则 ，则 ，所以 。
故答案为：0。
四、解答题
17.【答案】 （1）解：在 中，令 ，求得 ．
∵ ，
∴ ，
当 时，两式相减得： ，
即 ，
整理得： ．
∴ ．
当 时， ，满足上式，∴
（2）解：由（1）知 ，则
∴
.
18.【答案】 （1）解：当 时， ；
当 时， ．
当 时，上式成立．
（2）解： ．
当 或8时， 取得最小值
19.【答案】 （1）解：由 ，可得 ，
时， ，
对 也成立，可得 ；
（2）解：当 时， ，即有 ．
当 时， ， ，
即有 ．
20.【答案】 （1）解：数列 满足 ， 为单调递减数列，
则 ，
所以 ，
无穷数列 中， ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
归纳可知 ，
所以 .
（2）证明： ，且存在 使得 ，
则 且 ，
所以存在K使得
即 ，即
两式相减得 ，
由 ，
所以 ．
再代入上式，得 ，
即 ．
因为 ，所以 ．
即存在 ， ．
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人教版2019选修2数列的概念同步练习
一、单选题
1.已知数列 , 则此数列的第43项为（ ）
A. B. C. D.
2.已知数列 的前4项依次为2，0，2，0，则数列 的通项不可能是（ ）
A. B. C. D.
3.已知数列 则该数列中最小项的序号是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.已知数列 的前 项和 ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5.在数列 中， ，则 （ ）
A. 是常数列 B. 不是单调数列 C. 是递增数列 D. 是递减数列
6.若数列 的通项公式为 ，其中 ，则 =（ ）
A. 25 B. 50 C. 75 D. 100
7.如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 项，则这个数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列 满足 （ ）， （ ），则下列说法中错误的是（ ）
A. 若 ，则数列 为递增数列 B. 若数列 为递增数列，则
C. 存在实数 ，使数列 为常数数列 D. 存在实数 ，使 恒成立
二、多选题
9.设数列 满足 记数列 的前n项和为 则（ ）
A. B. C. D.
10.已知数列 的前 项和为 ， ，数列 的前 项和为 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.对于数列 ，若存在正整数 ，使得 ， ，则称 是数列 的“谷值， 是数列 的“谷值点”，在数列 中，若 ，则数列 的“谷值点”为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
12.对于数列 ，定义： ，称数列 是 的“倒差数列”下列叙述正确的有（ ）
A. 若数列 单调递增，则数列 单调递增
B. 若数列 是常数列，数列 不是常数列，则数列 是周期数列
C. 若 ，则数列 没有最小值
D. 若 ，则数列 有最大值
三、填空题
13.已知数列 满足 ， ，则通项 ________.
14.数列 的通项公式为 ，则它的第5项 =________.
15.若数列{an}为单调递增数列，且 ，则a3的取值范围为________.
16.用 表示不超过 的最大整数，例如 ， ， ．已知数列 满足 ， ，则 ________．
四、解答题
17.已知数列 的前n项和为 ，且对任意正整数n都有 ．
（1）求数列 的通项公式．
（2）设 ，求 ．
18.已知数列 的前 项和为 且 ．
（1）求出它的通项公式；
（2）求使得 最小时 的值.
19.已知 是数列 的前 项和，且 ．
（1）求 ；
（2）求数列 的前 项和为 ．
20.已知，无穷数列 中， ．记 前n项的和为 构造数列 ： ．
（1）若 为单调递减数列，直接写出数列 的通项公式：
（2）若 ，且存在 使得 ，求证：存在 ，使得 ．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：由题意可知：
分母为1的项有1个:分母为2的项有2个;分母为3的项有3个;
分母为4的项有4个;分母为5的项有5个;分母为6的项有6个;
分母为7的项有7个:分母为8的项有8个;分母为9的项有9个;
1＋2＋3+4+5+6+7+8=36,1+2＋3+4+5＋6+7＋8＋9=45,
所以第43项的分母为9，是分母为9的项中的第7个数，
所以第43项为 。
故答案为：D．
2.【答案】 D
解：解：对A， ，
， ， ， ，A正确，不符合题意；
对B， ，
， ，
， ，B正确，不符合题意；
对C， ，
， ，
， ，C正确，不符合题意；
对D， ，
， ，
， ，D错误，符合题意.
故答案为：D.
3.【答案】 A
解：因为
当 时， 取得最小值。
故答案为：A
4.【答案】 C
解：由已知 ．
故答案为：C．
5.【答案】 D
解：在数列 中， ，
由反比例函数的性质得： 是 时单调递减数列，
故答案为：D。
6.【答案】 C
解： ， ，
故答案为：C.
7.【答案】 A
解：设第 幅图中着色的三角形个数为 ，
由图形可得 ， ， ， ，
据此可归纳得出该数列的一个通项公式为 .
故答案为：A.
8.【答案】 B
解：解：对于A选项，若 ，则 ，
∴ ，即数列 为递增数列，则A对；
对于B选项，若数列 为递增数列，则 ，
∴ ，或 ，即 ，或 ，
∴ ，或 ，则B不符合题意；
对于C选项，要使数列 为常数数列，则 ，
∴ ，或 ，即存在实数 或 ，使数列 为常数数列，则C对；
对于D选项，由C选项可得，当 时，数列 为常数数列，即 ，
则存在实数 ，使 恒成立，则D对；
故答案为：B．
二、多选题
9.【答案】 A,B,D
解：由已知得： ，令 ，
则当 时， ，即 ，而 也成立，
∴ ， ，故数列 通项公式为 ，
∴ ，即有 ，
故答案为：ABD
10.【答案】 A,C,D
解：解：由 ，所以 ，A符合题意； ，B不符合题意；
， ，所以 时， ， ，
所以 时， ，
令 ， ，
时， ，
， 时，
所以 时， ，CD符合题意；
故答案为：ACD.
11.【答案】 A,D
解：因为 ，
所以 ，
当 ， ，
此时数列单调递增， ， ， ， ，
所以数列 的“谷值点”为2，7.
故答案为：AD
12.【答案】 B,D
解：对于 ，函数 在 和 上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，可知数列 单调递增，数列 不是单调递增（如 ，则 ， ）， 错误；
对于 ， 是常数列， 可设 ，则 ，
，
不是常数列， ， ，整理得： ，
， 数列 是以 为周期的周期数列， 正确；
对于 ，若 ，则 ，①当 为偶数时， 且 单调递增， ，
且 单调递增，此时 ；②当 为奇数时， 且 单调递减， ，
且 单调递减，此时 ；
综上所述： 既有最大值 ，又有最小值 ， 错误； 正确.
故答案为：BD.
三、填空题
13.【答案】
解：由题意
．
故答案为： ．
14.【答案】
解： ，
故答案为： 。
15.【答案】 (-∞，6)
解：当n≥2时， ，
因为数列{an}为单调递增数列，所以 对n≥2(n∈N)恒成立，
即λ＜2n+1对n≥2(n∈N)恒成立，
所以λ＜8，
所以 ，
a3的取值范围为(-∞，6)，
故答案为：(-∞，6)。
16.【答案】 0
解：由已知 ，所以数列为正项数列，且 ，则数列 为正项递增数列，
对条件 两边取倒数得： ，
所以 ，所以有： 数列为正项递增数列，则 ，则 ，所以 。
故答案为：0。
四、解答题
17.【答案】 （1）解：在 中，令 ，求得 ．
∵ ，
∴ ，
当 时，两式相减得： ，
即 ，
整理得： ．
∴ ．
当 时， ，满足上式，∴
（2）解：由（1）知 ，则
∴
.
18.【答案】 （1）解：当 时， ；
当 时， ．
当 时，上式成立．
（2）解： ．
当 或8时， 取得最小值
19.【答案】 （1）解：由 ，可得 ，
时， ，
对 也成立，可得 ；
（2）解：当 时， ，即有 ．
当 时， ， ，
即有 ．
20.【答案】 （1）解：数列 满足 ， 为单调递减数列，
则 ，
所以 ，
无穷数列 中， ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
归纳可知 ，
所以 .
（2）证明： ，且存在 使得 ，
则 且 ，
所以存在K使得
即 ，即
两式相减得 ，
由 ，
所以 ．
再代入上式，得 ，
即 ．
因为 ，所以 ．
即存在 ， ．
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