3.3 抛物线同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教版2019选修一圆锥曲线的方程之抛物线
一、单选题
1.已知F是抛物线
的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且
，则线段AB的中点到直线
的距离为（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?
2.已知抛物线C：x2=-2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且｜MF|=6，则p=（???
）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
3.已知抛物线
的焦点为F
，
P为C在第一象限上一点，若
的中点到y轴的距离为3，则直线
的斜率为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?4
4.若过抛物线
：
的焦点且斜率为2的直线与
交于
，
两点，则线段
的长为（???
）
A.?3.???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
5.双曲线
：
的左?右焦点分别为
?
，
的一条渐近线与抛物线
：
的一个交点为
(异于原点).点
在以线段
为直径的圆上，则
的值为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
6.已知抛物线
的焦点为
，点
，
在抛物线
上，过线段
的中点
作抛物线
的准线的垂线，垂足为
，若
，则
的最小值为（??
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?
7.抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线
的焦点F发出的两条光线a
，
b分别经抛物线上的A
，
B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为
，则两条反射光线
和
之间的距离为（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
二、多选题
8.设抛物线
的焦点为
.点
在
轴上，若线段
的中点
在抛物线上，且点
到抛物线准线的距离为
，则点
的坐标为（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线
的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，
的外角平分线交x轴于点Q，过Q作
交
的延长线于
，作
交线段
于点
，则（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
10.设
是抛物线
上两点，
是坐标原点，若
，下列结论正确的为（???
）
A.?
为定值????????????????????????????????????????????????????????B.?直线
过抛物线
的焦点
C.?
最小值为16?????????????????????????????????????????????D.?
到直线
的距离最大值为4
11.已知抛物线
的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设点
，当
取得最小值时，则（
??）
A.?
的斜率为
???????????????????????????????????????????B.?
C.?
内切圆的面积为
??????????????????D.?
内切圆的面积为
三、填空题
12.已知点
为抛物线
上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则
________.
13.设抛物线C∶
(
)的焦点为
，第一象限内的A
，
B两点都在C上，O为坐标原点，若
，
，则点A的坐标为________.
14.已知抛物线
的焦点为
，点
，
在
上，满足
，且
，点
是抛物线的准线上任意一点，则
的面积为________.
15.已知双曲线
与抛物线
有共同的一焦点，过
的左焦点且与曲线
相切的直线恰与
的一渐近线平行，则
的离心率为________.
四、解答题
16.已知抛物线C：
的焦点为F，直线l：y=
与抛物线C交于A，B两点.
（1）求AB弦长；
（2）求△FAB的面积.
17.已知抛物线
的顶点为坐标原点，焦点为圆
：
的圆心，
轴负半轴上有一点
，直线
被
截得的弦长为5．
（1）求点
的坐标；
（2）过点
作不过原点的直线
，
分别与抛物线
和圆
相切，
，
为切点，求直线
的方程．
18.已知抛物线
的焦点为F，准线为
为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于
两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线
交于点M．
（1）若直线m的斜率为
，求
的值；
（2）设
的中点为N，若
四点共圆，求直线m的方程．
19.已知抛物线
（
）的焦点为F，且F为圆
的圆心。过F点的直线l交抛物线与圆分别为
，
，
，
（从上到下）.
（1）求抛物线方程并证明
是定值；
（2）若
，
的面积比是4，求直线l的方程.
20.已知抛物线
的焦点为
，且点
是抛物线
上的动点，过
作圆
的两条切线，分别交抛物线
于
，
两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当直线
垂直于直线
时，求实数
的取值范围．
21.已知直线
：
与
轴交于点
，且
，其中
为坐标原点，
为抛物线
：
的焦点.
（1）求拋物线
的方程；
（2）若直线
与抛物线
相交于
，
两点(
在第一象限)，直线
，
分别与抛物线相交于
，
两点（
在
的两侧），与
轴交于
，
两点，且
为
中点，设直线
，
的斜率分别为
，
，求证：
为定值；
（3）在（2）的条件下，求
的面积的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：解：
是抛物线
的焦点，
，准线方程
，
设
，
，
，
，即
，
线段
的中点横坐标为
，
线段
的中点到直线
的距离为
．
故答案为：B．
2.【答案】
A
解：设
，则
，解得
故答案为：A
3.【答案】
B
解：
的中点到y轴的距离为3，
，即
，解得
，
代入抛物线方程可得
，
因为F点的坐标为
，所以直线
的斜率为
．
故答案为：B.
4.【答案】
C
解：抛物线
：
的焦点
所以直线
的方程为
，
设
，
，
由
，消去
并整理得
，
所以
，
.
故答案为：C.
5.【答案】
A
解：由题意，双曲线
：
的一条渐近线方程为
，
联立方程组
，可得
，
由点
在以线段
为直径的圆上，可得
，
又由
，可得
，解得
.
故答案为：A.
6.【答案】
B
解：设
，
，过点
，
分别作抛物线
的准线的垂线，垂足分别为
，
，由抛物线的定义可得
，
，因为
为线段
的中点，所以
，又
，所以
，所以
，又
，所以
，当且仅当
时取等号，所以
，即
，所以
的最小值为
，故答案为：B．
7.【答案】
C
解：解：由
得
，
，所以
，即
；
消去
得
，所以
，或
（舍去），即
；
同理
即
；
消去
得
，所以
，或
（舍去），即
；
所以
，即两条反射光线
和
之间的距离为
故答案为：C
二、多选题
8.【答案】
B,C
解：设
，易知
，则
，如图所示.
则
，解得
.
∴抛物线方程为
，且
，
又
在抛物线上，
，因此
，解得
.
所以点
的坐标为
或
.
故答案为：BC.
9.【答案】
A,B,D
解：由抛物线的定义，
，A符合题意；
∵
，
是
的平分线，∴
，∴
，B符合题意；
若
，由
是外角平分线，
，
得
，从而有
，于是有
，这样就有
，
为等边三角形，
，也即有
，这只是在特殊位置才有可能，因此C不符合题意；
连接
，由A、B知
，又
，
是平行四边形，∴
，显然
，∴
，D符合题意．
故答案为：ABD
10.【答案】
A,C,D
解：对于A，因为
，所以
，
所以
，A符合题意；
对于B，设直线
，代入
可得
，
所以
，即
，所以直线
过点
，
而抛物线
的焦点为
，B不符合题意；
对于C，因为
，
当
时，等号成立，
又直线
过点
，所以
，C符合题意；
对于D，因为直线
过点
，所以
到直线
的距离最大值为4，D符合题意.
故答案为：ACD.
11.【答案】
B,D
解：过点A作准线的垂线，垂足为C，由题意，点B为抛物线的准线与轴的交点，
由抛物线的定义可得,
,则
，
当
取得最小值时，即
取得最小值，也即
取得最小值，
也即是
最大，此时AB与抛物线相切，
设AB的方程为
，则
消去y可得
，则
，解得
，所以A不正确.
将
代入
中解得点A的坐标
，可得
为等腰直角三角形，
，所以B符合题意.
设
内切圆的半径为
，则
解得
，
当
，结果仍有
的内切圆的面积为
,所以C不正确，D符合题意.
故答案为：BD
三、填空题
12.【答案】
解：设抛物线
的焦点为
，则
，
根据抛物线的焦半径公式可知：
，
所以
，代入抛物线方程得到：
，
故
.
故答案为：
.
13.【答案】
解：如图，过点
，
分别作
轴的垂线，垂足分别为
，
设
，由
且
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
同理
，故在
中，
，
解得
，所以
，
，所以
，
故答案为：
。
14.【答案】
16
解：不妨设抛物线
（
），
因为
，所以
，所以
是线段
的中点，则
与
轴垂直，
所以
，
所以
，
，
点
到
的距离为
，所以
。
故答案为：16。
15.【答案】
解：因为抛物线与双曲线共焦点，所以
，
，抛物线方程为
，
双曲线的左焦点为
，过
与一条渐近线
平行的直线方程为
，
由
得
，
所以
，所以
，
从而
，离心率为
．
故答案为：
．
四、解答题
16.【答案】
（1）解：由
消去
整理得
，
其中
，
设A（
，
），B（
，
）.
则
，
.
所以
，
所以
=
（2）解：由题意得点F（1，0），
故点F到直线AB的距离
，
所以
.
即△FAB的面积为
17.【答案】
（1）解：圆
的方程可化成
，所以
，
所以抛物线
的方程为
．
设
，则直线
的方程为
，
由
消去
，得
，
设直线
与
的交点横坐标分别为
和
，由题意知
，
即
，解得
，故
．
（2）解：由条件可设直线
的方程为
，
由
消去
，整理得
，
因为
与抛物线
相切，所以
，解得
．
代入原方程组解得
．
设
，由题意可知点
与坐标原点关于直线
：
对称，
所以
解得
．
所以直线
的方程为
，即
．
18.【答案】
（1）解：设
，当
时，设
，则
，
直线m的斜率为
直线m的倾斜角为
，
由抛物线的定义，有
，
，解得：
，
若
时，同理可得：
，
或
（2）解：设直线m的方程为
，代入
，得
．
设
，则
．
由
，
得
，
所以
．
因为直线m的斜率为
，所以直线n的斜率为
，
则直线n的方程为
．
由
解得
．
若
四点共圆，再结合
，得
，
则
，解得
，
所以直线m的方程为
19.【答案】
（1）由题知，
故
抛物线方程为
.
设直线
的方程为
，
，
∴
，
∴
（2）
（
）
由（1）知
，可求得
，
故
的方程为
即
20.【答案】
解：（Ⅰ）因为抛物线
的焦点为
，所以
，则
，
所以抛物线方程为：
；
（Ⅱ）设
，
由题意可知，
不与
轴垂直，
设
，
，
由
，得
，
则
，得
，同理可得
，
所以
，
若过M的直线与圆相切，可得
，
化简得
，
则
，
又
，
，
所以
，
所以
，即
，
将
代入，化简得
，
即
，因为
，
所以
，即
，得
，
所以实数
的取值范围是
21.【答案】
（1）解：由已知得
，且
为
的中点，所以
.
所以
，解得
，
故抛物线
的方程为
（2）证明：联立
，解得
，
，
由
为
的中点得
.
不妨设
，
，其中
.
则
，
.
所以
，
即
为定值.
（3）解：由（2）可知直线
的方程为
，即
，
与抛物线联立
，消x可得
，
解得
或
（舍），
所以
，即
，
故点
到直线
的距离
.
设过点
的抛物线的切线方程为
，
联立
得
，
由
，得
，
所以切线方程为
，令
，得
，
所以要使过
点的直线与抛物线有两个交点，
，
则有
，
又
，
所以
，
即
，故
的面积的取值范围为
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