3.2 双曲线 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教版2019选修一圆锥曲线的方程之双曲线
一、单选题
1.已知双曲线
的一条渐近线被圆
截得的线段长等于8，则双曲线C的离心率为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?
2.双曲线
的渐近线方程为
，实轴长为2，则
为（???
）
A.?-1????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.双曲线
的顶点到渐近线的距离为（???
）
A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?1
4.点
为双曲线
右支上一点，
分别是双曲线的左、右焦点，若
，则双曲线的一条渐进方程是（?
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
5.实轴长与焦距之比为黄金数
的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线
是黄金双曲线，则
等于（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
6.已知点
，
分别是双曲线
：
的左，右焦点，
为坐标原点，点
在双曲线
的右支上，且满足
，
，则双曲线
的离心率的取值范围为（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
二、多选题
7.已知双曲线
的左，右焦点分别为
，一条渐近线方程为
，
为
上一点，则以下说法正确的是（???
）
A.?
的实轴长为
?????????????B.?
的离心率为
?????????????C.??????????????D.?
的焦距为
8.已知双曲线
，
、
分别为双曲线的左、右顶点，
、
为左、右焦点，
，且
，
，
成等比数列，点
是双曲线
的右支上异于点
的任意一点，记
，
的斜率分别为
，
，则下列说法正确的是（???
）．
A.?当
轴时，
B.?双曲线的离心率
C.?
为定值
D.?若
为
的内心，满足
，则
9.下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（???
）
A.?设
、
为两个定点，
为非零常数，
，则动点
的轨迹为双曲线
B.?设定圆
上一定点
作圆的动弦
，
为坐标原点，若
，则动点
的轨迹为椭圆
C.?方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D.?双曲线
与椭圆
有相同的焦点
10.已知
，
分别为双曲线
的左右焦点，
，
分别为其实轴的左右端点，且
，点
为双曲线右支一点，
为
的内心，则下列结论正确的有（???
）
A.?离心率
B.?点
的横坐标为定值
C.?若
成立，则
D.?若
垂直
轴于点
，则
三、填空题
11.写出一个渐近线方程为
的双曲线标准方程________．
12.已知双曲线
：
的右焦点为
，右顶点为
，
为原点，若
，则
的渐近线方程为________.
13.圆
的圆心到双曲线
的渐近线的距离为________.
14.已知
，
分别是双曲线
的左右焦点，
是双曲线
的半焦距，点
是圆
上一点，线段
交双曲线
的右支于点
，且有
，
，则双曲线
的离心率是________．
四、解答题
15.求满足下列条件的双曲线的标准方程．
（1）实轴在
轴上，实轴长为
，离心率为
；
（2）焦点为
，且与双曲线
有相同渐近线．
16.已知双曲线
(a>0,b>0)的离心率为
,
（1）求双曲线C的渐近线方程.
（2）当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆
上,求m的值.
17.已知命题
对于任意
，不等式
恒成立.命题
实数
满足的方程
表示双曲线.
（1）当
时，若“
或
”为真，求实数
的取值范围.
（2）若
是
的充分不必要条件，求
的取值范围.
18.已知双曲线
是其两个焦点，点
在双曲线上.
（1）若
，求
的面积；
（2）若
的面积是多少？若
的面积又是多少？
19.已知双曲线方程
.
（1）求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
（2）过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于
两点，且
两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
20.已知
、
是双曲线
的两个顶点，点
是双曲线上异于
、
的一点，
为坐标原点，射线
交椭圆
于点
，设直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
.
（1）若双曲线
的渐近线方程是
，且过点
，求
的方程；
（2）在（1）的条件下，如果
，求
的面积；
（3）试问：
是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
解：双曲线
=1
的渐近线方程为
，即
,
圆
,即为
，
圆心为（0，5），半径为5，
圆心到渐近线的距离为
，
由弦长公式可得8=2
，
化简可得
，
，
则
。
故答案为：D.
2.【答案】
A
解：因为双曲线
的渐近线方程为
，
所以
，即
，
又双曲线的实轴长为2，所以
，得
，所以
，
所以
.
故答案为：A
3.【答案】
C
解：根据双曲线的对称性，其两个顶点到两条渐近线的距离都相等，
由题意知，右顶点坐标为
，一条渐近线方程为
，
∴
，即顶点到渐近线的距离为
。
故答案为：C.
4.【答案】
C
解：由题意，点
为双曲线右支上一点，
分别是双曲线的左、右焦点，
因为
，由双曲线的定义，可得
，解得
，
所以双曲线的一条渐进方程是
，即
.
所以双曲线的一条渐进方程是
.
故答案为：C.
5.【答案】
A
解：由题意
，
所以
，
解得
。
故答案为：A
6.【答案】
B
解：因为
，
所以
，故
为直角三角形，且
，∴
.
由双曲线定义可得
.
∵
，∴
，
∵
，∴
.
又
，整理得
.
所以
.所以
，
又
，所以
，所以双曲线
的离心率的取值范围为
.
故答案为：B
二、多选题
7.【答案】
A,D
解：由双曲线方程知：渐近线方程为
，而一条渐近线方程为
，
∴
，故
，
∴双曲线：实轴长
，离心率为
，由于
可能在
不同分支上则有
，焦距为
.
∴A、D符合题意，B、C不符合题意.
故答案为：AD
8.【答案】
B,C,D
解：∵a
，
b
，
c成等比数列，
∴b2＝ac
，
如图，
对于A
，
当PF2⊥x轴时，点P为
,
，显然
，即A不符合题意；
对于B
，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得
（舍负），即B符合题意；
对于C,设
，则
，所以
，
由点
在双曲线上可得
，
代入
，C符合题意；
对于D，设圆I的半径为r
，
，
即
，
由双曲线的定义知，
，即
，
D符合题意；
故答案为：BCD．
9.【答案】
C,D
解：对于A选项，若动点
的轨迹为双曲线，则
，即
，
但
与
的大小关系未知，A选项错误；
对于B选项，由
可得
，
可得
，所以，点
为线段
的中点，
如下图所示：
当
为圆
的一条直径时，
与
重合；
当
不是圆
的直径时，由垂径定理可得
，
设
的中点为
，由直角三角形的几何性质可得
（定值），
所以，点
的轨迹为圆，B选项错误；
对于C选项，解方程
，可得
，
，
所以，方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；
对于D选项，双曲线
的焦距为
，焦点坐标为
，
椭圆
的焦距为
，焦点坐标为
，D选项正确.
故答案为：CD.
10.【答案】
A,B,C
解：A.
，故有
，则
左右两边同除
得
，解得
，A对
B.设圆
与
轴相切于点
，与
相切于点
，与
相切于点
，
则如图有
故
则有
则有
,又
，
故
则
，故
，点
的横坐标为定值
，则B对.
C.
若
成立，设内切圆半径为
，
则有
则
则
，C对
D.
若
垂直
轴于点
，设
则
则
又
，故
故
D不符合题意
故答案为：ABC
三、填空题
11.【答案】
解：不妨设双曲线方程焦点在
轴上，渐近线方程为
，则
故答案为：
12.【答案】
解：
，
，
，则可得
，
所以
的渐近线方程为
.
故答案为：
.
13.【答案】
解：解：根据题意，圆
的圆心为
，
双曲线的
的渐近线
，即
，
则点
到直线
的距离
，
即圆心到双曲线的渐近线的距离为
；
故答案为：
．
14.【答案】
解：如下图所示：
因为
，
，所以
，
，
又
，所以
，又
，所以
，
即
，化简得
，所以
，
故答案为：
．
四、解答题
15.【答案】
（1）解：由题可设双曲线方程为
，焦距为
，由题意可知
，
，
，
双曲线的标准方程为
（2）解：由题可设双曲线方程为
，焦距为
，
则
，渐近线方程为
的渐近线方程为
，即
又
，则
，
解得：
，
双曲线的标准方程为
.
16.【答案】
（1）解：由题意，得
，
∴
，即
∴所求双曲线
的渐进线方程
（2）解：由（1）得当
时,?
双曲线
的方程为
.
设A、B两点的坐标分别为
，线段AB的中点为
，
?由
得
（判别式
）,
?∴
,
∵点
在圆
上,∴
，∴
17.【答案】
（1）若命题
为真命题，则
，解得
.
当
时，若命题
为真命题，则方程
表示双曲线，则
，解得
.
或
为真，则
真或
真，所以，
或
，所以，
.
因此，实数
的取值范围是
；
（2）解：若命题
为真命题，则
，
，解得
.
或
，
或
，
因为
是
的充分不必要条件，则
或
?
或
，
可得
，解得
.
当
时，则有
或
?
或
，合乎题意；
当
时，则有
或
?
或
，合乎题意.
综上所述，实数
的取值范围为
.
18.【答案】
（1）解：设
，（不妨设
），
，
因为
已知，
所以只需求
即可.
当
时，
.
由双曲线方程知
，
由双曲线的定义，得
，
两边平方，得
，
又
，
即
，即
，
求得
（2）解：若
，则在
中，
，所以
，
求得
.
同理，可求得
时，
19.【答案】
（1）解：设弦的两端点为
，因为A(2,1)为中点，
所以
，因为
在双曲线上所以
，两式相减得
，所以
,所以
，
所以，所求弦所在直线方程为
，即
．
将直线方程代入双曲线方程，整理成关于x的一元二次方程，经检验
（2）解：假设直线l存在，由（1）中方法可求得直线方程为
，联立方程
，消去y得
，因为
，因此直线与双曲线无交点，所以直线l不存在
20.【答案】
（1）解：由于双曲线
的渐近线方程为
，可设双曲线
的方程为
，
将点
的坐标代入双曲线
的方程得
，
因此，双曲线
的方程为
；
（2）解：设射线
所在直线的方程为
，设点
，则
，
因为点
在双曲线
上，所以
，可得
.
，
.
所以，射线
所在直线的方程为
.
联立直线
的方程与椭圆
的方程
，解得
，
所以，点
的纵坐标为
，因此，
的面积为
；
（3）解：设点
、
，
由于点
在双曲线
上，则
，得
，
，
，
，
同理可得
，因此，
.
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