高中数学复习 活跃在高考中的一个恒等式-极化恒等式

活 跃 在 高 考 中 的 一 个 恒 等 式 — — 极 化 恒 等 式
0 1 何 谓 极 化 恒 等 式
三 角 形 模 型 ：
在 中 ， D 为 B C 的 中 点 ：
平 行 四 边 形 模 型
在 平 行 四 边 形 A B C D 中 ：
0 2 极 化 恒 等 式 应 用
例 1 ， （ 2 0 1 7 全 国 I I ， 理 1 2 ） 已 知 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 ， P 为 平 面 内 一 点 ，
则 的 最 小 值 是 （ ）
A . B . C . D .
解 法 1 （ 坐 标 法 ） ：
以 B C 所 在 直 线 为 轴 ， B C 的 中 垂 线 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， ，
设 ， 则 ，
，
当 且 仅 当 ， 即 ， 取 得 最 小 值 .
解 法 2 （ 极 化 恒 等 式 ） ：
设 B C 的 重 点 为 O ， O C 的 中 点 为 M ， 连 接 O P ， P M ，
，
当 且 仅 当 M 与 P 重 合 始 去 等 号 .
例 2 在 中 ， 已 知 是 的 中 点 ， E ， F 分 别 是 B C ， A C 上 的
动 点 ， 且 E F = 1 ， 则 的 最 小 值 为 （ ）
A . B . C . D .
解 法 1 （ 坐 标 法 ）
以 A C 所 在 直 线 为 轴 ， B C 所 在 直 线 为 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则
设 则 ， ，
，
由 柯 西 不 等 式 可 得 ： ， 即 ， 当 且 仅 当 时 取
等 号 ， ， 故 选 B
解 法 2 （ 极 化 恒 等 式 ）
设 E F 的 中 点 为 M ， 连 接 C M ， 则 ， 即 点 M 在 如 图 所 示 的 圆 弧 上 ， 则
,故 选 B
本 题 也 可 用 三 角 换 元 法 解 决
例 3 ， （ 2 0 1 3 浙 江 ） 设 ， 是 边 A B 上 的 一 定 点 ， 满 足 ， 且 对 于 边 A B 上
任 一 点 P ， 恒 有 ， 则 （ ）
A . B . C . D .
解 法 1 （ 坐 标 法 ）
以 A B 为 轴 ， A B 的 中 垂 线 为 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 ， 设 ，
则 ，
恒 成 立 ， 即 ： 恒 成 立 ，
即 ： ， 点 C 在 轴 上 ， ,故 选 D
解 法 2 （ 基 地 法 ）
解 法 3 （ 极 化 恒 等 式 ）
例 4 、 （ 2 0 1 6 江 苏 ） 如 图 ， 在 中 ， D 是 B C 的 中 点 ， E ， F
是 A D 上 的 两 个 三 等 分 点 ， ， 则
值 为
解 法 1 （ 坐 标 法 ）
以 B C 为 ， D 为 坐 标 原 点 ，
建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系
解 法 2 （ 基 底 法 ）
解 法 3 （ 极 化 恒 等 式 ）
例 5 、（ 2 0 1 8 宝 鸡 一 模 ） 直 线 与 圆 相 交 于 两 点 M ，N ， 若 ，
P 为 圆 O 上 任 意 一 点 ， 则 的 取 值 范 围 为
解 法 1 （ 坐 标 法 ）
以 O 为 坐 标 原 点 ， M N 的 平 行 线 为
轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 ，
解 法 2 （ 基 底 法 ）
解 法 3 （ 极 化 恒 等 式 ）
例 6 ， 如 图 ， 已 知 B ， D 是 直 角 C 两 边 上 的 动 点 ，
, ，
则 的 最 大 值 为
解 法 1 （ 坐 标 法 ）
以 C 为 坐 标 原 点 ， B C 为 轴 ，
建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 ，
解 法 2 （ 基 底 法 ）