1.2.4公式法-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练（Word版 含答案）

1.2.4公式法-苏科版九年级数学上册 培优训练
一、选择题
1、方程3x2－2＝x中，a，b，c的值分别是(　　)
A．3，－2，1 B．3，－1，2 C．3，－1，－2 D．3，1，2
2、用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是(　　)
A．16 B．24 C．8 D．4
3、用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是 (　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
4、x=是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0
5、一元二次方程x2＋2 x－6＝0的根是(　　)
A．x1＝x2＝ B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝，x2＝－3 D．x1＝－，x2＝3
6、方程x2＋4x＋6＝0的根是(　　)
A．x1＝，x2＝ B．x1＝6，x2＝
C．x1＝2，x2＝ D．x1＝x2＝－
7、一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是(　　)
A．1＋ B. C. D.
8、已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是（　　）
A．2＜α＜3 B．1.5＜α＜2 C．1＜α＜1.5 D．0＜α＜1
9、若在实数范围内定义一种运算“*”，使，则方程的根为( )
A． B．
C． D．
10、定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4．因此，max{﹣2，﹣4}＝﹣2；按照这个规定，若,则x的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣1或 C． D．1或
二、填空题
11、用公式法解方程，则________；方程的解为________．
12、把方程(x＋3)(x－1)＝x(1－x)整理成ax2＋bx＋c＝0的形式为__________，b2－4ac的值是________．
13、方程x2x﹣6＝0的解为　 　．
14、方程2x2＋5x－3＝0的解是______________．
15、写出以x＝为根的一个一元二次方程为________________．
16、用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是　 　．
17、给出下列方程：①x2+6x﹣2＝0；②3x2﹣4＝0；③2y2﹣3y﹣1＝0．你认为选用哪种方法解方程较简便（填序号）？
开平方法：　 　，配方法：　 　，公式法：　 　．
18、已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是整数，那么符合条件的所有整数a的和为　 　．
19、若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝　 　．
20、新定义型在实数范围内定义某种运算“※”，作如下规定：a※b＝a2＋ab－b2，
求x※(x＋1)＝0中x的值=___________________________．
三、解答题
21、用公式法解下列方程：
(1)x2＋4x－1＝0； 　　　(2)x2－13x＋40＝0； (3)2x2－3x＋4＝0;
(4)t2＝2t－1； (5)3y2＋1＝2 y; (6)
，
22、用公式法解方程：
(1)x2＋4x－1＝0；　 (2)(x＋1)(x－1)＝2 x；
(3)5x2－x－6＝0; 　 (4)(x－2)(1－3x)＝2.
23、小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
（1）小明解答过程是从第　 步开始出错的，其错误原因是　 　．
（2）写出此题正确的解答过程．
24、解一元二次方程：.
25、已知一元二次方程x2－2x－＝0的某个根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
26、已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出此方程的根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
1.2.4公式法-苏科版九年级数学上册 培优训练（答案）
一、选择题
1、方程3x2－2＝x中，a，b，c的值分别是(　　)
A．3，－2，1 B．3，－1，2 C．3，－1，－2 D．3，1，2
[答案] C
[解析]方程3x2－2＝x可化为3x2－x－2＝0.
2、用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是(　　)
A．16 B．24 C．8 D．4
[解析]∵a＝1，b＝－4，c＝－2，∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝16＋8＝24.
故选B.
3、用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是 (　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
[解析]∵3x2＋4＝12x，∴3x2－12x＋4＝0，∴a＝3，b＝－12，c＝4，
∴x＝.
故选D.
4、x=是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解.
【解析】一元二次方程的求根公式是，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.
所以答案选D.
5、一元二次方程x2＋2 x－6＝0的根是(　　)
A．x1＝x2＝ B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝，x2＝－3 D．x1＝－，x2＝3
[解析] ∵a＝1，b＝2 ，c＝－6，b2－4ac＝8－4×1×(－6)＝32，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝－3 .
故选C.
6、方程x2＋4x＋6＝0的根是(　　)
A．x1＝，x2＝ B．x1＝6，x2＝
C．x1＝2，x2＝ D．x1＝x2＝－
【答案】D
【解析】本题考查公式法。将a、b、c的值代入公式得两个根是相等的，即x1＝x2＝－，
选D
7、一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是(　　)
A．1＋ B. C. D.
[答案] B　
[解析]∵一元二次方程x2－x－1＝0中，a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴x＝＝，
∴一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是.
故选B.
8、已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是（　　）
A．2＜α＜3 B．1.5＜α＜2 C．1＜α＜1.5 D．0＜α＜1
【分析】先求出方程的解，再估算出的范围，求出的范围，即可得出选项．
【解析】解方程x2﹣x﹣1＝0得：x1=，x2=，
即a=，
∵2<<3，∴3＜1+<4，
∴<<2，即1.5＜a＜2，
故选：B．
9、若在实数范围内定义一种运算“*”，使，则方程的根为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据运算“*”的规则，可将所求的方程化为：（x+2+1）2-5（x+2）=0，然后解这个一元二次方程即可．
解：依题意，可将所求方程转化为：（x+2+1）2-5（x+2）=0，
化简得：x2+x-1=0
解得x1= ，x2= ．
故选：D．
10、定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4．因此，max{﹣2，﹣4}＝﹣2；按照这个规定，若,则x的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣1或 C． D．1或
解：若x＞﹣x，即x＞0，则x＝，解得x＝（负值舍去）；
若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x＝，解得x＝﹣1（正值舍去）；
故选：B．
二、填空题
11、用公式法解方程，则________；方程的解为________．
【答案】5
【分析】先将方程化为一般形式确定a、b、c的值，再根据公式即可得出
【详解】∵a=1，b=3，c=1
∴=5>0
∴x=
故答案为：5，
12、把方程(x＋3)(x－1)＝x(1－x)整理成ax2＋bx＋c＝0的形式为__________，b2－4ac的值是________．
[答案]2x2＋x－3＝0　25
13、方程x2x﹣6＝0的解为　 　．
【分析】根据公式法即可求出答案．
【解析】∵x2x﹣6＝0，
∴a＝1，b=，c＝﹣6，
∴△＝3+24＝27，
∴x=，
∴x＝2或x=，
故答案为：x＝2或x=
14、方程2x2＋5x－3＝0的解是______________．
[答案] x1＝，x2＝－3
[解析] 运用公式法．
∵a＝2，b＝5，c＝－3，b2－4ac＝49，
∴x1＝ ＝＝，
x2＝＝＝－3.
15、写出以x＝为根的一个一元二次方程为________________．
[答案] x2＋5x＋5＝0(答案不唯一)
16、用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是　 　．
解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，
则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，
故答案为：3x2+5x+1＝0
17、给出下列方程：①x2+6x﹣2＝0；②3x2﹣4＝0；③2y2﹣3y﹣1＝0．你认为选用哪种方法解方程较简便（填序号）？
开平方法：　 　，配方法：　 　，公式法：　 　．
解：②3x2﹣4＝0用直接开平方法求解最简便；
①x2+6x﹣2＝0用配方法求解最简便；
③2y2﹣3y﹣1＝0用公式法求解最简便；
故答案为：②，①，③．
18、已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是整数，那么符合条件的所有整数a的和为　 　．
【答案】5
【解析】解：当a﹣1＝0，即a＝1，方程化为2x﹣1﹣1＝0，解得x＝1；
当a﹣1≠0，△＝22﹣4（a﹣1）（﹣a﹣1）＝4a2， x＝，
解得x1＝1， x2＝﹣1﹣，
则整数a为﹣1，0，2，3，
所以符合条件的所有整数a的和为﹣1+0+1+2+3＝5．
故答案为5．
19、若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝　 　．
解：a2+ab﹣b2＝0
△＝b2+4b2＝5b2．
a＝＝b
∴＝．
故答案是：
20、新定义型在实数范围内定义某种运算“※”，作如下规定：a※b＝a2＋ab－b2，
求x※(x＋1)＝0中x的值=___________________________．
解：由x※(x＋1)＝0，得x2＋x(x＋1)－(x＋1)2＝0.
化简，得x2－x－1＝0.
解得x1＝，x2＝.
三、解答题
21、用公式法解下列方程：
(1)x2＋4x－1＝0；　　　(2)x2－13x＋40＝0； (3)2x2－3x＋4＝0;
(4)t2＝2t－1； (5)3y2＋1＝2 y; (6)
解：(1)∵a＝1，b＝4，c＝－1，
b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20>0，
∴x＝，∴x＝－2±，
即x1＝－2＋，x2＝－2－.
(2)∵a＝1，b＝－13，c＝40，
b2－4ac＝(－13)2－4×1×40＝9，
∴x＝＝，
∴x1＝8，x2＝5.
(3)∵a＝2，b＝－3，c＝4，
b2－4ac＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，
∴原方程无实数根．
(4)整理，得2t2－6t＋3＝0.
∵a＝2，b＝－6，c＝3，
b2－4ac＝(－6)2－4×2×3＝12＞0，
∴t＝＝，
即t1＝，t2＝.
(5)移项，得3y2－2 y＋1＝0.
∵a＝3，b＝－2 ，c＝1，
b2－4ac＝(－2 )2－4×3×1＝0，
∴y＝＝，
即y1＝y2＝.
(6)
公式法中的
则 即
解得．
22、用公式法解方程：
(1)x2＋4x－1＝0；　 (2)(x＋1)(x－1)＝2 x；
(3)5x2－x－6＝0; 　 (4)(x－2)(1－3x)＝2.
解：(1)∵a＝1，b＝4，c＝－1，b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20>0，
∴x＝＝，
∴x＝－2±，
即x1＝－2＋，x2＝－2－.
(2)∵(x＋1)(x－1)＝2 x，
∴x2－2 x－1＝0，
则a＝1，b＝－2 ，c＝－1，
b2－4ac＝(－2 )2－4×1×(－1)＝12＞0，
∴x＝＝±，
∴x1＝ ＋，x2＝－.
(3)∵a＝5，b＝－，c＝－6，
b2－4ac＝5－4×5×(－6)＝125>0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝－.
(4)整理，得3x2－7x＋4＝0，
∵a＝3，b＝－7，c＝4，
b2－4ac＝(－7)2－4×3×4＝1>0，
∴x＝，∴x1＝，x2＝1.
23、小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
（1）小明解答过程是从第　 步开始出错的，其错误原因是　 　．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；（2）见解析
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解析】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴ ∴，．
24、解一元二次方程：.
【答案】，
【提示】利用公式法求解即可.
【详解】解:a=2，b=-5，c=1，
∴
∴
∴，
25、已知一元二次方程x2－2x－＝0的某个根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
解：对于方程x2－2x－＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－)＝9>0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝－.
把x1＝代入x2－(k＋2)x＋＝0， 解得k＝；
把x2＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0，解得k＝－7.
即k的值为或－7.
26、已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出此方程的根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
解：(1)根据题意，得m≠1.
b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，
则x＝，
∴x1＝＝， x2＝1.
(2)由(1)知，x1＝＝1＋.
∵方程的两个根都为正整数，
∴是正整数．
又∵m为整数，
∴m－1＝1或m－1＝2，
∴m＝2或m＝3.
即当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．