1.2.5一元二次方程根的判别式-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练（Word版 含答案）

1.2.5一元二次方程根的判别式-苏科版九年级数学上册 培优训练
一、选择题
1、下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝0
2、若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2
3、已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2
4、一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5、若a*b＝ab2﹣2ab﹣3，则方程3*x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
6、已知m为实数，则关于x的方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0的实数根情况一定是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
7、若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．1
8、已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
9、小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
10、定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
二、填空题
11、一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为　 　．
12、若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于　 　．
13、若关于x的一元二次方程x2+kx+4=0有两个相等的实数根，则实数k的值为____.
14、如果关于x的一元二次方程ax2+x+1＝0没有实数根，则a的取值范围是　 　．
15、关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是　 ．
16、如果关于x的一元二次方程mx2+4x﹣1＝0没有实数根，那么m的取值范围是　 　．
17、关于 x 的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．
18、对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是　 　．
19、若关于x的方程无解，则m的取值范围是______．
20、关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是___________
三、解答题
21、不解方程，判别下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x＋5＝0；　 　(2)x2－2 x＋2＝0.
22、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，求k的取值范围．
23、关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
24、已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．
25、已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
26、已知关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．
1.2.5一元二次方程根的判别式-苏科版九年级数学上册 培优训练（答案）
一、选择题
1、下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝0
【答案】D
【分析】若方程有两个不相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，可据此判断出正确的选项．
【解析】A、△＝36﹣4×9＝0，原方程有两个相等的实数根，故A错误；
B、△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0，原方程没有实数根，故B错误；
C、△＝9﹣4×5＝﹣11＜0，原方程没有实数根，故C错误；
D、△＝81﹣4×2×5＝41＞0，原方程有两个不相等的实数根，故D正确．
故选：D．
2、若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解析】由题意可知：△＝4+4（k+2）≥0，
∴解得：k≥﹣3，
∵k+2≠0，
∴k≥﹣3且k≠﹣2，
故选：D．
3、已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．
【解析】∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得：k＝±4．
故选：C．
4、一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解析】∵△＝42﹣4×5＝﹣4＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
5、若a*b＝ab2﹣2ab﹣3，则方程3*x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
【分析】方程利用题中的新定义化简，判断根的情况即可．
【解析】方程利用题中的新定义化简得：3x2﹣6x﹣3＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝36+36＝72＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6、已知m为实数，则关于x的方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0的实数根情况一定是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【分析】计算△＝b2﹣4ac，然后根据结果判断与0的大小关系，从而得出结论．
【解析】△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣2m）＝（m+2）2．
对于任意实数m，都有（m+2）2≥0，即△≥0，
所以原方程一定有两个实数根，
故选：C．
7、若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．1
【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
【解析】∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，
解得：m<，
故选：A．
8、已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【答案】解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，解得：k＝6，
当k＝6时，原方程为x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝2，x2＝4，
∵2+4＝9，6＞4，∴k＝3符合题意；
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解得：k＝7，
当k＝7时，原方程为x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，
∵3+3＝6，6＞4，∴k＝4符合题意．
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
9、小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
10、定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用
△＞0可判断方程根的情况．
【解析】∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
二、填空题
11、一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为　 　．
【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac即可求出值．
【解析】∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．
所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．
故答案为：13．
12、若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于　 　．
【答案】1
【解析】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
13、若关于x的一元二次方程x2+kx+4=0有两个相等的实数根，则实数k的值为____.
【答案】
【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可．
【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，，，
∴，解得：．故答案为：．
14、如果关于x的一元二次方程ax2+x+1＝0没有实数根，则a的取值范围是　 　．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△＝12﹣4a＜0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解析】根据题意得a≠0且△＝12﹣4a＜0， 解得a>．
故答案为：a>．
15、关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是　 ．
【分析】分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑，当k﹣1＝0时，通过解一元一次方程可得出方程有解，即k＝1符合题意；当k﹣1≠0时，由根的判别式△≥0，可求出k的取值范围．综上即可得出结论．
【解析】当k﹣1＝0，即k＝1时，原方程为2x﹣2＝0， 解得：x＝1，∴k＝1符合题意；
当k﹣1≠0，即k≠1时，有△＝22﹣4×（k﹣1）×1≥0， 解得：k≤2且k≠1．
综上所述：k的取值范围是k≤2．
故答案为：k≤2．
16、如果关于x的一元二次方程mx2+4x﹣1＝0没有实数根，那么m的取值范围是　 　．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝42﹣4m×（﹣1）＜0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解析】根据题意得m≠0且△＝42﹣4m×（﹣1）＜0，
解得m＜﹣4．
故答案为：m＜﹣4．
17、关于 x 的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．
【答案】-2
【解析】根据题意得：a+1≠0且△=（-2）2-4×（a+1）×3≥0，解得a≤且a≠－1，
所以整数a的最大值为－2．故答案为－2．
18、对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是　 　．
【答案】﹣6＜b＜6
【解析】解：由题意可知：2b2﹣5ab+3a2＞﹣3，
∴3a2﹣5ab+2b2+3＞0，
∵对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，
∴△＝25b2﹣12（2b2+3）＝b2﹣36＜0，
∴﹣6＜b＜6；
故答案为﹣6＜b＜6；
19、若关于x的方程无解，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①时，有此时方程无解，可求出m的值；②时，由根的判别式，即可求出m的取值范围．
【解析】解：根据题意，∵关于x的方程无解，
①当时，则原方程是一元一次方程，即；
则有：，解得：；
②当时，则原方程为一元二次方程，∴，，
∴，解得：；
综合上述，m的取值范围是；故答案为：．
20、关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是___________
【答案】①②③
【分析】利用c=-a可判断△=b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=-（a+b）得到
△=b2-4ac=（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到△=4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2-5ac＜0，不能判断△=b2-4ac=b2-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．
【解析】①当a+c=0，即c=-a，则△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确；
②当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有两个实数根，
所以②正确；
③当b=2a+3c，则△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确；
④当b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误．
三、解答题
21、不解方程，判别下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x＋5＝0；　　(2)x2－2 x＋2＝0.
解：(1)∵b2－4ac＝32－4×2×5＝－31＜0，
∴方程没有实数根．
(2)∵b2－4ac＝(－2 )2－4×1×2＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
22、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，求k的取值范围．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解析】根据题意得k≠0且△＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，
解得k≤1且k≠0．
23、关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【答案】m=1，方程的根为：x1＝x2＝1
【解析】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，
∵m为正整数，∴m＝1，
∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0， 解得：x1＝x2＝1．
24、已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．
【分析】（1）根据根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得；
（2）取m＝3，再利用因式分解法求解可得．
【解析】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2m）2﹣4×（m+1）（m﹣3）＞0且m+1≠0，
解得m＞且m≠﹣1；
（2）取m＝3，此时方程为4x2+6x＝0，
整理为2x（2x+3）＝0，
∴2x＝0或2x+3＝0，
解得x1＝0，x2=．
25、已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）将x＝﹣1代入方程中，化简即可得出b＝c，即可得出结论；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，进而得出结论；
（3）先判断出a＝b＝c，再代入化简即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出结论．
【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．
26、已知关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝[2(m－1)]2－4(m2－4)＝－8m＋20＞0，解得m＜.
(2)∵m为正整数，∴m的值为1或2.
当m＝1时，原方程为x2－3＝0，解得x1＝，x2＝－.
此种情况不符合题意，故m≠1.
当m＝2时，原方程为x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝－2，符合题意．
综上可得，m的值为2.