1.2.7一元二次方程解法的灵活运用-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练（Word版 含答案）

1.2.7一元二次方程解法的灵活运用-苏科版九年级数学上册 培优训练
一、选择题
1、方程3x(x＋1)＝3x＋3的解为(　　)
A．x＝1； B．x＝－1； C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1
2、下列一元二次方程能用因式分解法解的有(　　)
①x2＝x；②x2－x＋＝0；③x－x2－3＝0；④(3x＋2)2＝16.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、关于方程根的情况，下列判断正确的是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4、下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝0
5、把方程x2﹣x﹣5＝0，化成（x+m）2＝n的形式得（　　）
A． B．= C．= D．=
6、关于代数式的取值，下列说法正确的是　　
A．有最小值 B．有最大值2 C．有最大值 D．恒小于零
7、若实数，满足，则的值为　　
A．8 B．8或 C． D．28
8、已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
9、已知三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程x?—16x+55=0的一个根，则第三边长是（ ）
A、5 B、5或11 C、6 D、11
10、已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是(　　)
A．5 B．7 C．5或7 D．10
二、填空题
11、用配方法解一元二次方程，则方程可变形为　　．
12、如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为________．
13、关于的一元二次方程总有两个实数根，则常数的取值范围是________．
14、一元二次方程无实数根，则的取值范围为　　．
15、关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）
则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是　 　．
16、已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长是　　．
17、实数，满足，则值为　　 ．
18、方程的解为__________．
19、已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为　 　．
20、对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，
则m＝________
三、解答题
21、用合适的方法解方程：
(1)(2x－1)2＝9；　 (2)(x－5)(3x－2)＝10； (3)x2＋6x＝1; (4)(2x－3)(x＋1)＝x＋1.
22、解方程
（1）(x+3)(x﹣3)=3 （2）x2﹣2x﹣3=0(用配方法))； （3）(x-5)2=2(5-x) （4）6x2﹣x﹣2=0
23、用指定的方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0；
（3）用因式分解法解方程：
24、若k是整数，已知关于x的一元二次方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣1=0只有整数根，求k的值。
25、关于x的一元二次方程的解是多少？
26、基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
27、阅读理解：
解方程：．
解：方程左边分解因式，得，
解得，，．
问题解决：（1）解方程：．
（2）解方程：．
（3）方程的解为 ．
28、解方程：
29、已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
1.2.7一元二次方程解法的灵活运用-苏科版九年级数学上册 培优训练（答案）
一、选择题
1、方程3x(x＋1)＝3x＋3的解为(　　)
A．x＝1； B．x＝－1； C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1
【答案】
【解析】移项：3x（x+1）—3（x+1）=0
提公因式：（x+1）（3x—3）=0
解得：x=—1或1
故本题选D
2、下列一元二次方程能用因式分解法解的有(　　)
①x2＝x；②x2－x＋＝0；③x－x2－3＝0；④(3x＋2)2＝16.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①x?=x 可得：x（x—1）=0，此方程可用因式分解解；
②（x— ）?=0，此方程可用因式分解法解；
③x?—x—3=0，此方程可用公式法解；
④（3x+2）?—16=0 即（3x+2+4）（3x+2—4）=0，此方程可用因式分解法解。
故本题选C。
3、关于方程根的情况，下列判断正确的是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解析】一元二次方程可化为，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
4、下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝0
【分析】若方程有两个不相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，可据此判断出正确的选项．
【解析】A、△＝36﹣4×9＝0，原方程有两个相等的实数根，故A错误；
B、△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0，原方程没有实数根，故B错误；
C、△＝9﹣4×5＝﹣11＜0，原方程没有实数根，故C错误；
D、△＝81﹣4×2×5＝41＞0，原方程有两个不相等的实数根，故D正确．
故选：D．
5、把方程x2﹣x﹣5＝0，化成（x+m）2＝n的形式得（　　）
A． B．=
C．= D．=
【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．
【解析】x2﹣x﹣5＝0，
x2﹣3x＝15，
x2﹣3x+=15+，
=．
故选：C．
6、关于代数式的取值，下列说法正确的是　　
A．有最小值 B．有最大值2 C．有最大值 D．恒小于零
【解析】，
又，，，
代数式有最大值2． 故选：．
7、若实数，满足，则的值为　　
A．8 B．8或 C． D．28
【解析】设为，可得：，
解得：，（不合题意舍去），
所以的值为8，
故选：．
8、已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．
【答案】解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故选：D．
9、已知三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程x?—16x+55=0的一个根，则第三边长是（ ）
A、5 B、5或11 C、6 D、11
【答案】
【解析】解此一元二次方程得：x1=5，x2=11
∵4+7=11
∴第三边长只能是5
故本题选A。
10、已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是(　　)
A．5 B．7 C．5或7 D．10
【答案】B
【解析】x?—4x+3=（x—3）（x—1）=0
解得：x=3或1
∴此三角形可能是：3,3,1或3,1,1
又∵三角形两边之和大于第三边
∴3,1,1舍去
故三角形的周长为：3+3+1=7，选B。
二、填空题
11、用配方法解一元二次方程，则方程可变形为　　．
【解析】， ，
， ，
故答案为：．
12、如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为________．
【答案】2
【解析】计算：x?—x—1=1即x?—x—2=0
（x—2）（x+1）=0
解得：x=2或—1
又∵x+1≠0
∴x≠—1 故x=2
13、关于的一元二次方程总有两个实数根，则常数的取值范围是________．
【答案】且
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；注意一元二次方程的二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解．
14、一元二次方程无实数根，则的取值范围为　　．
【解析】一元二次方程无实数根，
△，
解得：，
故答案为：．
15、关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）
则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是　 　．
【分析】将方程变形为a（﹣x﹣2+m）2+b＝0，将﹣x﹣2看做原方程中的x可得答案．
【解析】∵方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，
∴方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根满足﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，
解得x＝﹣7或x＝4，
故答案为：x＝﹣7或x＝4．
16、已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长是　　．
【解析】，
，
或，
所以，，
当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为，
当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为7．
故答案为7．
17、实数，满足，则值为　　 ．
【解析】设，则原方程转化为，
所以．
所以或．
所以．
所以或．
故答案是：或2．
18、方程的解为__________．
【答案】
【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x+2=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．
【解析】原方程变形为：x+2=x2即x2-x-2=0 ∴（x-2）（x+1）=0 ∴x=2或x=-1
∵x=-1时不满足题意．∴x=2．故答案为：2．
19、已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为　 　．
【答案】解：令x2﹣x＝t，
∴t＝x2﹣x＝，
∴t2﹣2t﹣3＝0，解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，即x2﹣x＝3，
∴原式＝3+2020＝2023，
故答案为：2023．
20、对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，
则m＝________
【答案】﹣3或4
【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4．
三、解答题
21、用合适的方法解方程：
(1)(2x－1)2＝9；　 (2)(x－5)(3x－2)＝10； (3)x2＋6x＝1; (4)(2x－3)(x＋1)＝x＋1.
解：(1)开平方，得2x－1＝3或2x－1＝－3，
解得x1＝2，x2＝－1.
(2)整理，得3x2－17x＝0，
∴x(3x－17)＝0.
∴x＝0或3x－17＝0，
解得x1＝0，x2＝.
(3)∵x2＋6x＝1，∴x2＋6x＋9＝1＋9，
即(x＋3)2＝10，则x＋3＝±，
∴x＝－3±，
即x1＝－3＋，x2＝－3－.
(4)原方程变形为(x＋1)(2x－3－1)＝0，
即2(x＋1)(x－2)＝0，
∴x＋1＝0或x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝2.
22、解方程
（1）(x+3)(x﹣3)=3 （2）x2﹣2x﹣3=0(用配方法))； （3）(x-5)2=2(5-x) （4）6x2﹣x﹣2=0
【答案】（1）x1=2 ，x2=-2；（2）x1=3，x2=-1；（3）x1=5，x2=3；（4），
【分析】（1）去括号整理后，用直接开平方法解答即可；（2）应用配方法的步骤解题即可；
（3）移项后用因式分解法解题即可； （4）采用十字相乘法解题即可；
解：（1）整理得，x2=12 ∴x1=2 ，x2=-2
（2）x2﹣2x+1=4 ∴(x-1)2=4 ∴x-1=2或x-1=-2 ∴x1=3，x2=-1
（3）移项，得(x-5)2-2(5-x)=0 ∴ ∴x1=5，x2=3
（4）将原方程因式分解，得 ∴，
23、用指定的方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0；
（3）用因式分解法解方程：
【答案】（1），；（2），；（3）.
【分析】（1）采用配方法将方程转化为，然后利用直接开平方法计算即可；
（2）直接利用公式法，求解即可；（3）采用因式分解法转化为求解即可.
【解析】（1）

故方程的解为，；
（2）5x2+2x﹣1=0
故方程的解为，；
（3） 解得，
故方程的解为.
24、若k是整数，已知关于x的一元二次方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣1=0只有整数根，求k的值。
【答案】1或—1
【解析】kx2+（2k﹣1）x+k﹣1=0
∴（kx+k—1）（x+1）=0
解得：x=—1或
∵ 等于整数，
∴ —1 为整数，即为整数
∴=±1 解得k=1或—1
25、关于x的一元二次方程的解是多少？
【答案】x1=4，x2=﹣1
【解析】解：∵方程是一元二次方程，
∴k2+1=2，k﹣1≠0，
解得：k=﹣1，
∴方程为：﹣2x2+6x+8=0，
即x2﹣3x﹣4=0，
（x﹣4）（x+1）=0，
∴x﹣4=0，x+1=0，
解得：x1=4，x2=﹣1，
故答案为：x1=4，x2=﹣1．
26、基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【分析】（1）利用材料中的因式分解法解该方程；
（2）设t＝m2+n2（t≥0），将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程求得t的值即可．
【答案】解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0，∴x＝0或3x﹣1＝0
解得：x1＝0，x2=；
（2）t＝m2+n2（t≥0），则由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．
整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．
所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．
即m2+n2的值是3．
27、阅读理解：
解方程：．
解：方程左边分解因式，得，
解得，，．
问题解决：（1）解方程：．
（2）解方程：．
（3）方程的解为 ．
【答案】（1），，；（2），，，；（3），．
【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【解析】解：（1），∴，∴，，
解得：，，；
（2），∴，
∴，，
解得：，，，；
（3），整理得：，
开方得：，∴，，
解方程得：，；
方程中，此方程无解，
所以原方程的解为：，，
故答案为：，．
28、解方程：
【答案】原方程的解为或
【分析】令，将方程转化为，解出或，
再代回中，即可解答．
【解析】解：令，则原方程转化为：，整理得：，
解得：或，经检验：或都是方程的根，
当时，即，去分母得：，解得：或
经检验，或是方程的根，
当时，，去分母得：，整理得：
∵，∴方程无解，
综上，原方程的解为或．
29、已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【解析】（1）是等腰三角形，
理由：当时，，
，是等腰三角形，
（2）是直角三角形，
理由：方程有两个相等的实数根，
△，
，是直角三角形；
（3）是等边三角形，，
原方程可化为：，
即：，，，，
即：这个一元二次方程的根为，．