1.2.6因式分解法-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练（Word版 含答案）

1.2.6因式分解法-苏科版九年级数学上册 培优训练
一、选择题
1、我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是(　)
A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
2、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是(　　)
A．(x＋1)(x－3)＝2 B．2(x－2)2＝x2－4 C．x2＋3x－1＝0 D．5(2－x)2＝3
3、下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
①； ②； ③； ④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、用因式分解法解方程3x(2x－1)＝4x－2，则原方程应变形为(　　)
A．2x－1＝0 B．3x＝2 C．(3x－2)(2x－1)＝0 D．6x2－7x＋2＝0
5、方程x2－3x＝0的解为(　　)
A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3
6、一元二次方程x(x－3)＝3－x的解是(　　)
A．x＝－1 B．x＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
7、在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，
甲同学说：“由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根为x1＝－1，x2＝7.”
乙同学说：“应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，即(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为
x1＝－3，x2＝3.”
对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是(　　)
A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
8、一元二次方程+5x=0的较大的一个根设为m，3x+2=0较小的根设为n，则m+n的值为（ ）
A、1 B、2 C、—4 D、4
9、k是常数，关于x的一元二次方程x（x+1）＝k（k+1）的解是（　　）
A．x＝k B．x＝±k
C．x＝k或x＝﹣k﹣1 D．x＝k或x＝﹣k+1
10、定义一种新运算：a?b＝a(a－b)．例如，4?3＝4×(4－3)＝4.若x?2＝3，则x的值是(　　)
A．x＝3 B．x＝－1 C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－1
二、填空题
11、用因式分解法解方程5(x＋3)－2x(x＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程： 、
_____________________求解，其解为x1＝________，x2＝________．
12、(1)方程x2＋x＝0的解是 ．(2)方程3(x－5)2＝2(x－5)的根是____________．
13、小华在解一元二次方程x2－4x＝0时，只得出一个根是x＝4，则被她漏掉的一个根是________．
14、若实数x满足(x－1)2－8(x－1)＋16＝0，则x＝________．
15、方程2x2+5x﹣3=0的解是
16、已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的两个根，
则A，B两点间的距离是________．
17、当x=______________时，代数式x－3的值与x(x－3)的值的差为0.
18、三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是
19、当a＝_______时，最简二次根式与是同类二次根式．
20、已知三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，
则这个三角形的周长是
三、解答题
21、用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋16x＝0；　　 (2)(3x＋2)2－4x2＝0； (3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0.
22、用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋16x＝0； (2)(3x＋2)2－4x2＝0； (3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0；
(4)x(2x－5)＝4x－10； (5)(x－1)2＋2x(x－1)＝0； (6)(x－5)2－2(x－5)＋1＝0.
23、当x为何值时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数？
24、小红、小亮两名同学一起解方程x(2x－5)＋4(5－2x)＝0.
小红是这样解的：先将方程变形为x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移项，得x(2x－5)＝4(2x－5)，方程两边同除以(2x－5)，得x＝4.
小亮看后说小红的解法不对，请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请说明理由，并给出正确的解法．
25、我们知道可以用公式来分解因式，解一元二次方程．
（1），方程分解为 =0，
，方程分解为 =0．
（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程可分解为，从而可以快速求出方程的解．利用此方法解一元二次方程．

26、阅读下面的文字，并回答问题．
解方程：x4－5x2＋4＝0.
解：令x2＝y，
则原方程可变形为y2－5y＋4＝0，①
即(y－1)(y－4)＝0.
解得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝－1；
当y＝4时，x2＝4，∴x3＝2，x4＝－2.
问题：(1)上述解题过程中，将原方程化成①的形式用到的数学思想是(　　)
A．数形结合思想 B．整体思想 C．分类讨论思想
(2)上述解一元二次方程的过程中，用到了什么方法？
(3)上述解题过程是否完整？若不完整，请补充．
(4)用上面的解法解方程：(2x＋1)2－4(2x＋1)＋3＝0.
27、阅读题例，解答后面的问题：
解方程：x2－|x－1|－1＝0.
解：①当x－1≥0，即x≥1时，
原方程化为x2－(x－1)－1＝0，则x2－x＝0，
解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1；
②当x－1＜0，即x＜1时，
原方程化为x2＋(x－1)－1＝0，则x2＋x－2＝0，
解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.
综上所述，原方程的解是x＝1或x＝－2.
依照上面的解法，解方程：x2＋2|x＋2|－4＝0.
1.2.6因式分解法-苏科版九年级数学上册 培优训练（答案）
一、选择题
1、我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是(　)
A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
[答案]A
2、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是(　　)
A．(x＋1)(x－3)＝2 B．2(x－2)2＝x2－4 C．x2＋3x－1＝0 D．5(2－x)2＝3
[解析] A，C，D项不适合用分解因式法解方程，B项最适合用分解因式法解方程．故选B.
3、下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
①； ②； ③； ④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案．
【解析】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解；
方程可变形为，故②能用分解因式法求解；
方程不能用因式分解法求解；
方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解．
综上，能用因式分解法求解的方程有3个，故选：C．
4、用因式分解法解方程3x(2x－1)＝4x－2，则原方程应变形为(　　)
A．2x－1＝0 B．3x＝2 C．(3x－2)(2x－1)＝0 D．6x2－7x＋2＝0
[解析] 3x(2x－1)＝4x－2，3x(2x－1)－(4x－2)＝0，3x(2x－1)－2(2x－1)＝0，(2x－1)(3x－2)＝0.
故选C.
5、方程x2－3x＝0的解为(　　)
A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3
[解析] ∵x2－3x＝0，
∴x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，
∴x1＝0，x2＝3.故选D.
6、一元二次方程x(x－3)＝3－x的解是(　　)
A．x＝－1 B．x＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
[答案]D　
[解析] 原方程可化为x(x－3)＋(x－3)＝0，
∴(x－3)(x＋1)＝0，
∴x－3＝0或x＋1＝0，
∴x1＝3，x2＝－1.
7、在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，
甲同学说：“由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根为x1＝－1，x2＝7.”
乙同学说：“应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，即(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为
x1＝－3，x2＝3.”
对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是(　　)
A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
[解析] (x＋2)(x－2)＝5，
整理，得x2－9＝0.
分解因式，得(x＋3)(x－3)＝0，
则x＋3＝0，x－3＝0，
解得x1＝－3，x2＝3.
所以甲错误，乙正确．故选A.
8、一元二次方程+5x=0的较大的一个根设为m，3x+2=0较小的根设为n，则m+n的值为（ ）
A、1 B、2 C、—4 D、4
【答案】A
【解析】第一个一元二次方程解得：x1=0，x2=—5，故m=0；
第二个一元二次方程解得：x1=1，x2=2，故n=1；
∴m+n=1，即m+n的值是1。
9、k是常数，关于x的一元二次方程x（x+1）＝k（k+1）的解是（　　）
A．x＝k B．x＝±k
C．x＝k或x＝﹣k﹣1 D．x＝k或x＝﹣k+1
【答案】C
【分析】移项后用分解因式法解答即可．
【解析】解：∵x（x+1）＝k（k+1），∴x2+x﹣k（k+1）＝0，
∴（x﹣k）（x+k+1）＝0，
∴x＝k或x＝﹣1﹣k．
故选：C．
10、定义一种新运算：a?b＝a(a－b)．例如，4?3＝4×(4－3)＝4.若x?2＝3，则x的值是(　　)
A．x＝3 B．x＝－1 C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－1
[解析] ∵x?2＝3，
∴x(x－2)＝3，
整理，得x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，x－3＝0或x＋1＝0，
∴x1＝3，x2＝－1.
故选D.
二、填空题
11、用因式分解法解方程5(x＋3)－2x(x＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程： 、
_____________________求解，其解为x1＝________，x2＝________．
[答案]5－2x＝0　 x＋3＝0 　　 －3　
[解析] 把方程5(x＋3)－2x(x＋3)＝0化为(5－2x)(x＋3)＝0，则5－2x＝0或x＋3＝0.
12、(1)方程x2＋x＝0的解是 ．(2)方程3(x－5)2＝2(x－5)的根是____________．
[答案] (1)x1＝0，x2＝－1 (2)x1＝5，x2＝
[解析](1) x(x＋1)＝0，x＝0或x＋1＝0，
∴x1＝0，x2＝－1.
(2) 移项，得3(x－5)2－2(x－5)＝0，
分解因式，得(x－5)[3(x－5)－2]＝0，
可得x－5＝0或3x－17＝0，
解得x1＝5，x2＝.
13、小华在解一元二次方程x2－4x＝0时，只得出一个根是x＝4，则被她漏掉的一个根是________．
[答案] x＝0
[解析] x2－4x＝0，
x(x－4)＝0，
x＝0或x－4＝0，
∴x1＝0，x2＝4.
14、若实数x满足(x－1)2－8(x－1)＋16＝0，则x＝________．
[答案] 5
[解析] (x－1)2－8(x－1)＋16＝0，(x－1－4)2＝0，(x－5)2＝0，x1＝x2＝5.
15、方程2x2+5x﹣3=0的解是
【答案】 或—3
【解析】因式分解：（2x—1）（x+3）=0
解得：x= 或—3
16、已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的两个根，
则A，B两点间的距离是________．
[解析] 因为(x＋1)(x－2)＝0，所以x＋1＝0或x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
所以A，B两点间的距离是|2－(－1)|＝3.
故答案是3.
17、当x=______________时，代数式x－3的值与x(x－3)的值的差为0.
解：根据题意，得x－3－x(x－3)＝0，
方程变形为(x－3)(1－x)＝0.
∴x－3＝0或1－x＝0，
∴x1＝3，x2＝1，
即当x为3或1时，代数式x－3的值与x(x－3)的值的差为0.
18、三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是
【答案】10
【解析】x2﹣6x+8=0
（x—2）（x—4）=0
解得：x=2或4
∴三角形三边长为：2，2，4或4，4，2
又∵三角形两边之和大于第三边
所以2，2，4这种情况要舍去
∴三角形的周长为4+4+2=10
19、当a＝_______时，最简二次根式与是同类二次根式．
【答案】－4
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，再由被开方数为非负数可得出a的值．
【解析】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴a2?3＝1?3a，a2?3≥0，1?3a≥0，解得：a＝?4，故答案为：?4．
20、已知三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，
则这个三角形的周长是
【答案】12
【分析】求出方程的解，根据三角形三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出即可．
【解析】，因式分解得，
∴或，解得：，
①三角形的三边为2，5，5，符合三角形三边关系定理，即三角形的周长是2+5+5=12；
②三角形的三边为2，5，2，∵2+2=4，∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
故答案为：12．
三、解答题
21、用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋16x＝0；　　 (2)(3x＋2)2－4x2＝0； (3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0.
[解析] (1)用提公因式法因式分解求出方程的根；
(2)用平方差公式因式分解求出方程的根；
(3)提取公因式(x＋3)，即可得解．
解：(1)原方程可变形为x(x＋16)＝0，
∴x＝0或x＋16＝0，
∴x1＝0，x2＝－16.
(2)原方程可变形为(3x＋2－2x)(3x＋2＋2x)＝0，
即(x＋2)(5x＋2)＝0，
∴x＋2＝0或5x＋2＝0，
∴x1＝－2，x2＝－.
(3)根据题意，原方程可化为(x＋3)(2x－3)＝0，
∴原方程的解为x1＝－3，x2＝.
22、用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋16x＝0； (2)(3x＋2)2－4x2＝0； (3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0；
(4)x(2x－5)＝4x－10； (5)(x－1)2＋2x(x－1)＝0； (6)(x－5)2－2(x－5)＋1＝0.
解：(1)原方程可变形为x(x＋16)＝0，
∴x＝0或x＋16＝0，
∴x1＝0，x2＝－16.
(2)原方程可变形为(3x＋2－2x)(3x＋2＋2x)＝0，
即(x＋2)(5x＋2)＝0，
∴x＋2＝0或5x＋2＝0，
∴x1＝－2，x2＝－.
(3)原方程可化为(x＋3)(2x－3)＝0，
∴x＋3＝0或2x－3＝0，
∴x1＝－3，x2＝.
(4)原方程可变形为x(2x－5)－2(2x－5)＝0，即(2x－5)(x－2)＝0，
∴2x－5＝0或x－2＝0，
∴x1＝，x2＝2.
(5)分解因式，得(x－1)(x－1＋2x)＝0，
∴x－1＝0，x－1＋2x＝0，
∴x1＝1，x2＝.
(6)分解因式，得[(x－5)－1]2＝0，
∴x1＝x2＝6.
23、当x为何值时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数？
解：由题意，得x2－2x－3＝－(4x＋4)．
整理，得x2＋2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝－1.
即当x为－1时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数．
24、小红、小亮两名同学一起解方程x(2x－5)＋4(5－2x)＝0.
小红是这样解的：先将方程变形为x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移项，得x(2x－5)＝4(2x－5)，方程两边同除以(2x－5)，得x＝4.
小亮看后说小红的解法不对，请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请说明理由，并给出正确的解法．
解：小红的解法不正确．理由：方程两边同除以(2x－5)时，她认为2x－5≠0，事实上，2x－5可以为零，这样做，会导致丢根．
正确解法如下：
x(2x－5)＋4(5－2x)＝0，
x(2x－5)－4(2x－5)＝0，
(2x－5)(x－4)＝0，
∴2x－5＝0或x－4＝0，
∴x1＝，x2＝4.
25、我们知道可以用公式来分解因式，解一元二次方程．
（1），方程分解为 =0，
，方程分解为 =0．
（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程可分解为，从而可以快速求出方程的解．利用此方法解一元二次方程．

【答案】（1），；（2）或．
【分析】借助于题目中所给的方法可进行因式分解可求得两个填空的答案，同样的方法可对 进行因式分解，可求得答案；
【解析】（1），，
可分解为可分解为．
故答案为，．
（2）可分解为，
或，或．
26、阅读下面的文字，并回答问题．
解方程：x4－5x2＋4＝0.
解：令x2＝y，
则原方程可变形为y2－5y＋4＝0，①
即(y－1)(y－4)＝0.
解得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝－1；
当y＝4时，x2＝4，∴x3＝2，x4＝－2.
问题：(1)上述解题过程中，将原方程化成①的形式用到的数学思想是(　　)
A．数形结合思想 B．整体思想 C．分类讨论思想
(2)上述解一元二次方程的过程中，用到了什么方法？
(3)上述解题过程是否完整？若不完整，请补充．
(4)用上面的解法解方程：(2x＋1)2－4(2x＋1)＋3＝0.
解：(1)B　 (2)换元法
(3)不完整．补充：∴原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
(4)设2x＋1＝y，则原方程可变形为y2－4y＋3＝0，即(y－1)(y－3)＝0.
解得y1＝1，y2＝3.
当y＝1时，2x＋1＝1，∴x＝0；
当y＝3时，2x＋1＝3，∴x＝1.
∴原方程的解为x1＝0，x2＝1.
27、阅读题例，解答后面的问题：
解方程：x2－|x－1|－1＝0.
解：①当x－1≥0，即x≥1时，
原方程化为x2－(x－1)－1＝0，则x2－x＝0，
解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1；
②当x－1＜0，即x＜1时，
原方程化为x2＋(x－1)－1＝0，则x2＋x－2＝0，
解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.
综上所述，原方程的解是x＝1或x＝－2.
依照上面的解法，解方程：x2＋2|x＋2|－4＝0.
[解析] 根据题中所给的材料把绝对值符号内的x＋2分两种情况讨论(x＋2≥0和x＋2＜0)，去掉绝对值符号后再解方程．
解：①当x＋2≥0，即x≥－2时，
原方程化为x2＋2(x＋2)－4＝0，
则x2＋2x＝0，x(x＋2)＝0，
解得x1＝0，x2＝－2；
②当x＋2＜0，即x＜－2时，
原方程化为x2－2(x＋2)－4＝0，
则x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，
解得x1＝4(不合题意，舍去)，x2＝－2(不合题意，舍去)．
综上所述，原方程的解是x＝0或x＝－2.