1.4.3几何图形相关问题-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练(Word版 含答案)

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名称 1.4.3几何图形相关问题-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练(Word版 含答案)
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资源类型 教案
版本资源 苏科版
科目 数学
更新时间 2021-05-22 10:04:59

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1.4.3几何图形相关问题-苏科版九年级数学上册 培优训练
一、选择题
1、若一个三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的一根,则这个三角形的周长为 ( )
A.7 B.3或7 C.15 D.11或15
2、在一块长,宽的长方形铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形,然后做成底面积是的无盖长方体盒子,设小正方形的边长为,则可列出的方程为( )
A. B.
C. D.
3、如图,把长40cm,宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分),将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子,设剪掉的小正方形边长为xcm(纸板的厚度忽略不计),若折成长方体盒子的表面积是950cm2,则x的值是(  )

A.3cm B.4cm C.4.8cm D.5cm
4、一个菱形的边长是方程的一个根,其中一条对角线长为8,则该菱形的面积为(  )
A.48 B.24 C.24或40 D.48或80
5、如图,△ABC中,∠C=90,AB=10cm,AC=8cm,点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动,点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动,若P、Q分别同时从A,B出发,( )秒后四边形APQB是△ABC面积的.
A.2 B.4.5 C.8 D.7
6、如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=11cm,点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,C两点同时出发,当它们相距10cm时所需的时间为(  )

A.3s B.4s C.5s D.3s或1.4s
7、如图,AB⊥BC,AB=10 cm,BC=8 cm,一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行,蝉开始爬行的同时,一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行,当螳螂和蝉爬行x秒后,它们分别到达了M,N的位置,此时,△MNB的面积恰好为24 cm2,由题意可列方程(  )

A.2x·x=24 B.(10-2x)(8-x)=24
C.(10-x)(8-2x)=24 D.(10-2x)(8-x)=48
8、如图,将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2,则它移动的距离AA′等于( )

A.4 cm B.8 cm C.6 cm D.4 cm或8 cm
9、在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角DA和DC(两边足够长),再用28m长的篱笆围成一个面积为192m2矩形花园ABCD(篱笆只围AB、BC两边),在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m,现要将这棵树也围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则AB的长为(  )

A.8或24 B.16 C.12 D.16或12
10、如图,在正方形中,边长为的等边三角形的顶点分别在和上,下列结论:,其中正确的序号是(  )
A.①②④ B.①② C.②③④ D.①③④
二、填空题
11、如图,一块矩形铁皮的长是80cm,宽为50cm,在这个铁皮的四角各剪去一个边长相同的小正方形,做成一个无盖的长方体盒子,若盒子的底面积是2800cm2,四个角剪去的小正方形的边长为xcm,则根据题意,列出的方程是   .
12、现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为864m2,那么小道的宽度应是   m.
13、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速运动,其速度均为2cm/s,  s后,△PCQ的面积是△ABC面积的一半.
14、如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动;当△PQC的面积等于16cm2时,运动时间为 s.

15、再读教材:如图,钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下,速度每秒增加1.5m/s.在这个问题中,距离=平均速度×时间t,,其中v0是开始时的速度,vt是t秒时的速度,如果斜面的长是18m,钢球从斜面顶端滚到底端的时间为   s.
16、如图,在中,,,,点P,Q分别同时从A,B出发,点P沿线段AC以的速度向点C移动,点Q沿线段BC以的速度向点C移动,当P,Q其中一点到达点C时,两点即停止运动,设运动时间为t秒,则当四边形APQB的面积是时,t的值为__________________.

17、如图,某小区有一块长为36m,宽为24m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为600m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为   m.
18、五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的面积是135cm2,则以小长方形的宽为边长的正方形面积是   cm2.
19、如图所示,中,,,,若点沿射线方向从点出发
以的速度移动,点沿射线方向从点出发以的速度移动,,同时出发,
要使的面积为,则运动时间为______秒.
20、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D.E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.则当t=   时,四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半.
三、解答题
21、如图,有一块宽为16m的矩形荒地,某公园计划将其分为A、B、C三部分,分别种植不同的植物.若已知A、B地块为正方形,C地块的面积比B地块的面积少40m2,试求该矩形荒地的长.
22、如图等腰直角三角形ABC中,AB=BC=8,点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动,过点P作PR∥BC、PQ∥AC分别交AC、BC于R、Q.问:
(1)平行四边形PQCR面积能否为7?如果能,请求出P点运动所需要的时间;如不能,请说明理由;
(2)平行四边形PQCR面积能否为16?能为20吗?如果能,请求分别出P点运动所需要的时间;如不能,请说明理由.
23、如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动;同时,点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中,只要有一点到达终点,则另一点运动立即停止).
(1)运动停止后,哪一点先到终点?另一点离终点还有多远?
(2)在运动过程中,△APQ的面积能否等于22cm2?若能,需运动多长时间?若不能,请说明理由.
24、如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=12cm,AC=8cm,现有动点P从点B出发,沿射线BA方向运动,动点Q从点C出发,沿射线CA方向运动,已知点P的速度是2cm/s,点Q的速度是1cm/s,它们同时出发,设运动时间是ts(t>0).
(1)当t=4时,求△APQ的面积.
(2)经过多少秒时,△APQ的面积是△ABC面积的一半.
1.4.3几何图形相关问题-苏科版九年级数学上册 培优训练(答案)
一、选择题
1、若一个三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的一根,则这个三角形的周长为 ( )
A.7 B.3或7 C.15 D.11或15
【答案】C
【分析】首先利用因式分解法计算出x的值,再根据三角形的三边关系确定出x的值,然后再计算出周长即可.
【解析】x2?10x+21=0,
(x?3)(x?7)=0,
则x?3=0,x?7=0,
解得:x=3或7,
当x=3时,2+3=5<6,不能组成三角形,故x=3不合题意舍去,
当x=7时,2+6=8>7,可以组成三角形,
则三角形的周长为2+6+7=15,
故答案选C.
2、在一块长,宽的长方形铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形,然后做成底面积是的无盖长方体盒子,设小正方形的边长为,则可列出的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】本题设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形,则可得出长方体的盒子底面的长和宽,根据底面积为,即长与宽的积是,列出方程化简.
【解析】解:设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形,
则得出长方体的盒子底面的长为:,宽为:,
又因为底面积为, 所以,
整理得:, 故选:.
3、如图,把长40cm,宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分),将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子,设剪掉的小正方形边长为xcm(纸板的厚度忽略不计),若折成长方体盒子的表面积是950cm2,则x的值是(  )

A.3cm B.4cm C.4.8cm D.5cm
【分析】观察图形可知小长方形的长为(x)cm,根据去除阴影部分的面积为950cm2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解析】依题意,得:40×30﹣2x2﹣2x?(x)=950,
整理,得:x2+20x﹣125=0,
解得:x1=5,x2=﹣25(不合题意,舍去).
故选:D.
4、一个菱形的边长是方程的一个根,其中一条对角线长为8,则该菱形的面积为(  )
A.48 B.24 C.24或40 D.48或80
【答案】B
【分析】利用因式分解法解方程得到x1=5,x2=3,利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5,利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6,然后计算菱形的面积.
【解析】,所以,,
∵菱形一条对角线长为8,∴菱形的边长为5,
∴菱形的另一条对角线为,
∴菱形的面积.
故选:B.
5、如图,△ABC中,∠C=90,AB=10cm,AC=8cm,点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动,点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动,若P、Q分别同时从A,B出发,( )秒后四边形APQB是△ABC面积的.
A.2 B.4.5 C.8 D.7
【答案】A
【分析】由于四边形APQB是一个不规则的图形,不容易表示它的面积,观察图形,可知S四边形APQB=S△ABC-S△PCQ,因此当四边形APQB是△ABC面积的时,△PCQ是△ABC面积的,即S△PCQ=S△ABC.
【解析】解:∵△ABC中,∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,
由勾股定理,得BC==6.
设t秒后四边形APQB是△ABC面积的,
则t秒后,CQ=BC﹣BQ=6﹣t,PC=AC﹣AP=8﹣2t.
根据题意,知S△PCQ=S△ABC, ∴CQ×PC=×AC×BC,
即(6﹣t)(8﹣2t)=××8×6, 解得t=2或t=8(舍去).
故选:A.
6、如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=11cm,点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,C两点同时出发,当它们相距10cm时所需的时间为(  )

A.3s B.4s C.5s D.3s或1.4s
【答案】D
【分析】设运动时间为ts时PQ=10cm,则CP=(11﹣x)cm,CQ=2xcm,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论.
【解析】设运动时间为ts时PQ=10cm,则CP=(11﹣x)cm,CQ=2xcm,
根据题意得:+=,
解得:=1.4,=3.
故选D.
7、如图,AB⊥BC,AB=10 cm,BC=8 cm,一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行,蝉开始爬行的同时,一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行,当螳螂和蝉爬行x秒后,它们分别到达了M,N的位置,此时,△MNB的面积恰好为24 cm2,由题意可列方程(  )

A.2x·x=24 B.(10-2x)(8-x)=24
C.(10-x)(8-2x)=24 D.(10-2x)(8-x)=48
【答案】D
【解析】设x秒后,螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,
由题意知(10-2x)(8-x)=24,
(10-2x)(8-x)=48,选D.
8、如图,将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2,则它移动的距离AA′等于( )

A.4 cm B.8 cm C.6 cm D.4 cm或8 cm
【答案】D
【解析】设AA′=xcm,则A′D=(12-x)cm,
∵正方形ABCD,∴∠D=90°,AD=CD,∴∠DAC=45°,
同理可证∠B′A′C′=45°,
∵△A′B′C′由△ABC沿着AD方向平移得到,∴A′B′⊥AD,∴∠A′EA=45°,∴∠B′A′C′=∠A′EA,∴A′F∥EC,∵A′E∥CF,∴四边形A′ECF为平行四边形,
所以SA′ECF= A′E×A′D=x(12-x)=32,解得x=4或8.
故选D.
9、在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角DA和DC(两边足够长),再用28m长的篱笆围成一个面积为192m2矩形花园ABCD(篱笆只围AB、BC两边),在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m,现要将这棵树也围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则AB的长为(  )

A.8或24 B.16 C.12 D.16或12
【答案】C
【分析】设AB=xm,则BC=(28﹣x)m,根据矩形的面积公式结合矩形花园ABCD的面积,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论.
【解析】设AB=xm,则BC=(28﹣x)m,
依题意,得:x(28﹣x)=192,
解得:x1=12,x2=16.
∵P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m,
∵,∴,
∴x2=16不合题意,舍去,∴x=12.
故选:C.
10、如图,在正方形中,边长为的等边三角形的顶点分别在和上,下列结论:,其中正确的序号是(  )
A.①②④ B.①② C.②③④ D.①③④
【答案】A
【分析】根据正方形的性质可得∠BAD=∠B=∠D=90°,AB=AD=BC=CD,然后等边三角形的性质可得AE=AF,∠EAF=60°,然后利用HL即可证出Rt△ABE≌Rt△ADF,从而证出BE=DF,∠BAE=∠DAF,即可判断①;先求出∠BAE,根据直角三角形的性质即可判断②;证出AE≠2BE,即可判断③;设正方形的边长为x,求出CE,最后利用勾股定理列出方程即可求出x,从而判断④.
【解析】∵四边形ABCD为正方形, ∴∠BAD=∠B=∠D=90°,AB=AD=BC=CD
∵△AEF为等边三角形,∴AE=AF,∠EAF=60°
在Rt△ABE和Rt△ADF中,∴Rt△ABE≌Rt△ADF
∴BE=DF,∠BAE=∠DAF, ∴BC-BE=CD-DF, ∴CE=CF,故①正确;
∴∠BAE=∠DAF=(∠BAC-∠EAF)=15°
∴∠AEB=90°-∠BAE=75°,故②正确;
在Rt△ABE中,∠BAE≠30°,∴AE≠2BE,∴EF≠BE+DF,故③错误;
设正方形的边长为x,
∵CE=CF,∠C=90°,EF=2, ∴△CEF为等腰直角三角形,∴∠CEF=45°,∴CE=
则BE=BC-CE=x-
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,∴x2+(x-)2=22
解得:x1=,x2=(不符合实际,舍去)
∴=,故④正确.
综上:正确的有①②④. 故选A.
二、填空题
11、如图,一块矩形铁皮的长是80cm,宽为50cm,在这个铁皮的四角各剪去一个边长相同的小正方形,做成一个无盖的长方体盒子,若盒子的底面积是2800cm2,四个角剪去的小正方形的边长为xcm,则根据题意,列出的方程是   .
【分析】根据长方形的面积公式即可列出方程.
【解析】设四个角剪去的小正方形的边长为xcm,
则根据题意,列出的方程是(80﹣2x)(50﹣2x)=2800,
故答案为:(80﹣2x)(50﹣2x)=2800.
12、现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为864m2,那么小道的宽度应是   m.
【分析】设小道进出口的宽度为x米,然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可.
【解析】设小道进出口的宽度为x米,依题意得(40﹣2x)(26﹣x)=864,
整理,得x2﹣46x+88=0.
解得,x1=2,x2=44.
∵44>40(不合题意,舍去),
∴x=2.
答:小道进出口的宽度应为2米.
故答案为:2.
13、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速运动,其速度均为2cm/s,  s后,△PCQ的面积是△ABC面积的一半.
【分析】设xs后,△PCQ的面积是△ABC面积的一半,根据三角形的面积公式结合△PCQ的面积是
△ABC面积的一半,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
【解析】设xs后,△PCQ的面积是△ABC面积的一半.
依题意,得:(6﹣2x)(8﹣2x)=××6×8,
整理,得:x2﹣7x+6=0,
解得:x1=1,x2=6(不合题意,舍去).
故答案为:1.
14、如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动;当△PQC的面积等于16cm2时,运动时间为 s.

【答案】2.
【分析】设运动时间为xs(0≤x≤6),则PB=(12-2x)cm,CQ=(6-x)cm,利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
【解析】设运动时间为xs(0≤x≤6),则PB=(12﹣2x)cm,CQ=(6﹣x)cm,
依题意,得:(12﹣2x)(6﹣x)=16,
整理,得:x2﹣12x+20=0,
解得:x1=2,x2=10(不合题意,舍去).
故答案为:2.
15、再读教材:如图,钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下,速度每秒增加1.5m/s.在这个问题中,距离=平均速度×时间t,,其中v0是开始时的速度,vt是t秒时的速度,如果斜面的长是18m,钢球从斜面顶端滚到底端的时间为   s.
【分析】设钢球从斜面顶端滚到底端的时间为x秒,则平均速度为xm/s,根据距离=平均速度×时间,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解析】设钢球从斜面顶端滚到底端的时间为x秒,则平均速度为=xm/s,
依题意,得:x?x=18,
解得:x=2或x=﹣2(不合题意,舍去).
故答案为:2.
16、如图,在中,,,,点P,Q分别同时从A,B出发,点P沿线段AC以的速度向点C移动,点Q沿线段BC以的速度向点C移动,当P,Q其中一点到达点C时,两点即停止运动,设运动时间为t秒,则当四边形APQB的面积是时,t的值为__________________.

【答案】2
【分析】求出△ABC的面积,用之减去四边形APQB的面积,得到△PCQ的面积,再据题意用t表示出△PCQ的面积,列方程求解.
【解析】解:在RT△ABC中,由勾股定理得
∴△ABC的面积是㎝2;
由题意得PC=AC-2t㎝=(16-2t)㎝,QC=BC-t㎝=(12-t) ㎝,由题意列方程为
解得(舍去),;
答:当t=2时,四边形APQB的面积是.
故答案为:2.
17、如图,某小区有一块长为36m,宽为24m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为600m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为   m.
【分析】将矩形绿地平移后,根据图中的等量关系列出方程即可求出答案.
【解析】设人行通道的宽度为x,
将脸矩形绿地平移,如图所示,
∴AB=2x,GD=3x,ED=24﹣2x
由题意可列出方程:36×24﹣600=2x×36+3x(24﹣2x)
解得:x=2或x=22(不合题意,舍去)
故答案为:2
18、五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的面积是135cm2,则以小长方形的宽为边长的正方形面积是   cm2.
【分析】设小长方形的长为xcm,宽为ycm,根据大长方形的周长结合图形可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出x、y的值,再根据正方形的面积公式即可得出结论.
【解析】设小长方形的长为xcm,宽为xcm,
根据题意得:(x+2×x)?x=135,
解得:x=9或x=﹣9(舍去),
则x=3.
所以3×3=9(cm 2).
故答案为:9.
19、如图所示,中,,,,若点沿射线方向从点出发
以的速度移动,点沿射线方向从点出发以的速度移动,,同时出发,
要使的面积为,则运动时间为______秒.
【答案】或或
【分析】利用、的位置分类讨论,再利用面积列方程即可求出.
【解析】解:由题意可知:点从点到所需时间为:,点从点到所需时间为:,设运动时间为秒时,的面积为,分类讨论:
(1)若点和点分别在线段和线段上时,此时,则,
∴,
∵的面积为,∴
解得:(不符合前提条件,舍去)

(2)若点和点分别在线段上和的延长线上时,此时,则,
∴,
∵的面积为,∴
解得:;
(3)若点和点分别在线段的延长线和的延长线线段上时,此时,
则,, ∴,
∵的面积为, ∴
解得:(不符合前提条件,舍去)
综上所述:或或
故答案为或或.
20、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D.E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.则当t=   时,四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半.
【分析】易证四边形AEFD为平行四边形,当点D.E运动的时间是t秒时,CD=2t,AE=t,CF=t,BF=BC﹣CF=5-t,根据四边形AEFD的面积是△ABC面积的一半,即可得出关于t的一元二次方程,解之即可得出结论.
【解析】∵∠C=30°,AB=5,
∴DF=CD,CF=CD,BC=AB=5.
∵点E的速度为点D速度的一半,∴AE=CD=DF.
又∵∠B=90°,DF⊥BC,∴AE∥DF,∴四边形AEFD为平行四边形.
当点D.E运动的时间是t秒时,CD=2t,AE=t,CF=t,BF=BC﹣CF=5-t,
依题意,得:AE?BF=×AB?BC,
即t?(5-t)=××5×5,
整理,得:4t2﹣20t+25=0,
解得:t1=t2=.
故答案为:.
三、解答题
21、如图,有一块宽为16m的矩形荒地,某公园计划将其分为A、B、C三部分,分别种植不同的植物.若已知A、B地块为正方形,C地块的面积比B地块的面积少40m2,试求该矩形荒地的长.
【分析】设B地块的边长为xm,根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可.
【解析】设B地块的边长为xm,
根据题意得:x2﹣x(16﹣x)=40,
解得:x1=10,x2=﹣2(不符题意,舍去),
∴10+16=26m,
答:矩形荒地的长为26m.
22、如图等腰直角三角形ABC中,AB=BC=8,点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动,过点P作PR∥BC、PQ∥AC分别交AC、BC于R、Q.问:
(1)平行四边形PQCR面积能否为7?如果能,请求出P点运动所需要的时间;如不能,请说明理由;
(2)平行四边形PQCR面积能否为16?能为20吗?如果能,请求分别出P点运动所需要的时间;如不能,请说明理由.
【分析】(1)设动点P从A点出发移动x个单位时,?PQCR的面积等于7,根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式可列方程求解;
(2)利用(1)中的方法建立方程,进一步解方程,根据方程根的情况判定即可.
【答案】解:(1)设动点P从A点出发移动x个单位时,?PQCR的面积等于7,依题意有
×82-x2-(8﹣x)2=7,
解得:x1=1,x2=7.
故运动时间是或秒
答:当动点P从A点出发移动或秒时,?PQCR的面积等于7cm2.
(2)由题意得×82-x2-(8﹣x)2=16
解得:x1=x2=4,此时运动时间为:(秒)
×82-x2-(8﹣x)2=20,此方程无解.
所以当动点P从A点出发移动2秒时,?PQCR的面积等于16.不存在PQCR的面积等于20.
23、如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动;同时,点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中,只要有一点到达终点,则另一点运动立即停止).
(1)运动停止后,哪一点先到终点?另一点离终点还有多远?
(2)在运动过程中,△APQ的面积能否等于22cm2?若能,需运动多长时间?若不能,请说明理由.
【答案】(1)点P先到终点,此时点Q离终点的距离是9cm
(2)需运动6+1=7s,△APQ的面积能否等于22cm2
【解析】解:(1)点P从开始到运动停止用的时间为:(12+6)÷2=9s,
点Q从开始到运动停止用的时间为:(6+12)÷1=18s,
∵9<18,只要有一点到达终点,则另一点运动立即停止,
∴点P先到终点,此时点Q离终点的距离是:(6+12)﹣1×9=9cm,
答:点P先到终点,此时点Q离终点的距离是9cm;
(2)在运动过程中,△APQ的面积能等于22cm2,
当P从点B运动到点C的过程中,设点P运动时间为as,
∵△APQ的面积能否等于22cm2,
∴12×6﹣=22,
解得,此方程无解;
当点P从C到D的过程中,设点P运动的时间为(b+6)s,
∵△APQ的面积能否等于22cm2,
∴12×6﹣=22,
解得,b1=1,b2=14(舍去),
即需运动6+1=7s,△APQ的面积能否等于22cm2.
24、如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=12cm,AC=8cm,现有动点P从点B出发,沿射线BA方向运动,动点Q从点C出发,沿射线CA方向运动,已知点P的速度是2cm/s,点Q的速度是1cm/s,它们同时出发,设运动时间是ts(t>0).
(1)当t=4时,求△APQ的面积.
(2)经过多少秒时,△APQ的面积是△ABC面积的一半.
【答案】(1)S△APQ=8;(2)经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半.
【分析】(1)根据点的速度是,点的速度是,,,利用面积公式求解;
(2)设经过秒的面积是面积的一半,则,,
进而表示出,,利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线,注意分类讨论.
【解析】解:(1)∵点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s,
当t=4时,BP=2t=8cm,CQ=t=4cm,
∴AP=4cm,AQ=4cm, ∴S△APQ4×4=8.
(2)设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半.
根据题意得:S△ABC12×8=24cm2,
当0<t<6 时如图1:S△APQ(12﹣2t)(8﹣t)=24,
整理得﹣14t+24=0,
解得t=12(舍去)或t=2.

当6<t<8时如图2:S△APQ(2t﹣12)(8﹣t)=24,
整理得t2﹣14x+72=0,△<0,无解.
当t>8时如图3:S△APQ(2t﹣12)(t﹣8)=24,
整理得﹣14t+24=0,
解得t=12或t=2(舍去).
综上所述:经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半.