1.3一元二次方程的根与系数的关系-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练（Word版 含答案）

1.3一元二次方程的根与系数的关系-苏科版九年级数学上册 培优训练
一、选择题
1、若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16
2、一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1?x2的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
3、已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2=- B．x1?x2＝1
C．x1，x2都是有理数 D．x1，x2都是无理数
4、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2
5、若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
6、已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0
7、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
8、若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　）
A．12 B．10 C．4 D．﹣4
9、若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
10、关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；
②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2； ③﹣1≤2m﹣2n≤1， 其中正确结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11、若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝　 　．
12、若方程的一个根为，则方程的另一个根为 ， ．
13、设、是方程的两个不同的实根，且，
则的值是 ．
14、已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝　 　．
15、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，
则k的值为　 　．
16、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，
则m的取值范围是　 　．
17、已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0两个实根，且满足（α+1）（β+1）＝m+1，
则m的值为　 　．
18、关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是整数，则整数a＝　 　．
19、已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　 　．
20、已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是　 　．
三、解答题
21、已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
22、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的
积大16，求的值．
23、已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．

24、已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求的取值范围．
25、已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
26、如果实数分别满足，，求的值
1.3一元二次方程的根与系数的关系-苏科版九年级数学上册 培优训练（答案）
一、选择题
1、若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
【解答】解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，
∴x1+x2=﹣10．
故选：A．
2、一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1?x2的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系求解．
【解答】解：x1?x2=﹣3． 故选D．
3、已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2=- B．x1?x2＝1
C．x1，x2都是有理数 D．x1，x2都是无理数
【分析】利用根与系数的关系对A、B进行判断；根据根的判别式对C、D进行判断．
【解析】x1+x2=，x1x2=，所以A、B选项错误，
因为△＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，
所以x1，x2都是有理数，则C选项正确，D选项错误．
故选：C．
4、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2
【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故选A．
5、若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故选A．
6、已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0
【分析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．
【解答】解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，
故选：A．
7、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】A
【解析】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．
故选：A．
8、若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　）
A．12 B．10 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；
故选：A．
9、若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】B
【解析】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3； 故选：B．
10、关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；
②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2； ③﹣1≤2m﹣2n≤1， 其中正确结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】根与系数的关系；根的判别式．菁
【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．
【解答】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，
y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；
②由根判别式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，
∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，
∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，
m2﹣2n+n2﹣2m+2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1≥2，
（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；
③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，
由y1、y2均为负整数，故（y1+1）?（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，
同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正确．
故选：D．
二、填空题
11、若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝　 　．
【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝2，将其代入α+αβ+β中即可求出结论．
【解析】∵方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，
∴α+β＝3，αβ＝2，
∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．
故答案为：5．
12、若方程的一个根为，则方程的另一个根为 ， ．
【答案】 ，
【解析】 根据韦达定理，，因为，所以，
所以
13、设、是方程的两个不同的实根，且，
则的值是 ．
【答案】
【解析】 由根与系数的关系得，．
且有，即．
所以．
从而，
解之得或．又，所以．
14、已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝　 　．
【答案】3﹣
【解析】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，
∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，
∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；
当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．
∴a≥8或a＜0，
∴x1+x2＝2﹣a，x1?x2＝a+1，
∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．
∵3＜＜4，
∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；
∴a＝3﹣．
故答案为：a＝3﹣．
15、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，
则k的值为　 　．
【答案】—2
【解析】解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
x12+x22﹣x1x2＝13＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，
则m的取值范围是　 　．
【答案】3＜m≤5
【解析】解：依题意得：，
解得3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
17、已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0两个实根，且满足（α+1）（β+1）＝m+1，
则m的值为　 　．
【答案】—1
【解析】解：根据题意可得
α+β＝﹣＝﹣＝，αβ＝＝，
∴（α+1）（β+1）＝αβ+α+β+1＝++1＝m+1， 即m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝﹣1或m＝2，
∵m﹣1≠0， ∴m≠1，
当m＝2时，△＝b2﹣4ac＝﹣3＜0，无实数根，故m≠2，
当m＝﹣1时，△＝b2﹣4ac＝9＞0，有实数根，故m＝﹣1．
故答案是﹣1．
18、关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是整数，则整数a＝　 　．
【分析】分两种情况讨论：当a＝1时，x＝1；当a≠1时，△＝4a2≥0，x1+x2=，再由已知，可得1﹣a＝±1，1﹣a＝±2，求出a的值即可．
【解析】当a＝1时，2x﹣2＝0，解得x＝1；
当a≠1时，（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0，
△＝4a2≥0，
x1+x2=，x1?x2==－1，
∵根都是整数，
∴1﹣a＝±1，1﹣a＝±2，
∴a＝0或a＝2或a＝﹣1或a＝3，
故答案为0或1或﹣1或2或3．
19、已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　 　．
【答案】1
【解析】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
故答案为：1．
20、已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是　 　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解析】由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1， a2＝1-a，
∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+
＝3﹣2a+1+＝4﹣2a+＝4+
＝4+＝4+4＝8，
故答案为：8．
三、解答题
21、已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
【答案】（1）a＜2
（2）a的值为﹣1，0，1
【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，
解得a＜2；
（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，
∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，
∴36﹣3（2a+5）≤30，
∴a≥﹣，∵a为整数，
∴a的值为﹣1，0，1．
22、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值．
【答案】 -1
【解析】 有实数根，则△≥0，且，联立解得的值．
依题意有：
由①②③解得：或，又由④可知≥
∴舍去，故
23、已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
【答案】（1）m≤2 （2）m=1
【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0， 解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，
解得：m＝1．
24、已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求的取值范围．
【答案】
【解析】 设，是方程的两根，且，，即，，
因此，解得．
25、已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
【答案】（1）k≤ ；（2）k=1
【解析】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤．
综上所述，k的取值范围为k≤．
（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
∵x1+x2+x1x2＝4，
∴+＝4，解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
26、如果实数分别满足，，求的值
【答案】 当时，；当时，当时，，
当时，
【解析】 由题意知：为方程的两个根，且，
解方程得：，
⑴当时，有，，；
⑵当时，方程的根为，．
当时，；
当时，．