2.3 辅助角公式及其应用学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章（含答案）

2.3辅助角公式及其应用
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、能逆用，，，化简三角函数式，并总结出“辅助角”公式。 2、会利用“辅助角”公式化简三角函数式。
3、掌握形如函数的图像与性质。 重点：1、“辅助角”公式的推导及其应用。
2、函数图像与性质。
难点：“辅助角”公式的推导及图像与性质。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P148“三角函数的叠加及其应用”部分
【复习导入】
1、两角和与差的余弦公式
公式特征：同名积异号连，余余正正，余在前。
2、两角和与差的正弦公式
公式特征：异名积同号连，正余余正，正两边。
3、两角和与差的正切公式
公式特征：子同母异符号连，楼上隔开两正间（谐“切”），
楼下一人积两间（谐“切”）。
思考：正用和、差角公式，可以把的三角函数转化为，的三角函数，从而可由，的三角函数值求得的三角函数；如果逆用公式，是不是可以将三角函数式化简？
问题1：如何将下列三角函数式化简？
（1） ；
（2） ；
（3） 或 ；
（4） 或 ；
（5） 或 。
问题2：如何将化简？
分析：
由于，所以，引入辅助角，使得
，，
所以，
（其中）。
于是，得 （其中）；
同理： （其中）。
上面两个公式，统称为辅助角公式。公式推导的方法，称为“配方法”，通过提取系数，从而配出“系数平方和等于1”。
【抽象概括】
1、辅助角公式
（1）（其中）；
（2）（其中）。
注意：只有同角的正弦和余弦的线性表示，才可以使用辅助角公式。
例1求函数的最值、周期和单调区间。
解：
。
所以，当，即时，；
当，即时，。
函数最小正周期。
由，得，
所以，函数的增区间为；
同理：函数的减区间为。
思考：上面解法是利用辅助角公式化为“正弦型函数”，再结合“整体思想”研究函数的性质。如果化为“余弦型函数”，函数的性质会不一样吗？
另解：
。
所以，当，即时，；
当，即时，。
函数最小正周期。
由，得，
所以，函数的增区间为；
同理：函数的减区间为。
例2已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是
，，（其中，，
求它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求这个函数的振幅。
解：设
（其中），
所以，合成函数的振幅是。
点评：振幅和初相不同但频率相同的几个正弦（或余弦）型函数的和，总可以化为一个具有同频率的正弦（或余弦）型函数。
1、化简：
（1）； （2）。
2、求下列函数的最值和周期：
（1）；
（2）；
（3）。
3、求函数的最小正周期。
4、求函数的单调区间。