2.1 两角和与差的余弦公式及其应用学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章（含答案）

§2 两角和与差的三角函数式
2.1两角和与差的余弦公式及其应用
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、理解用向量法推导出两角差的余弦公式的过程。 2、掌握由两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式的方法。
3、熟记两角和与差的余弦公式的形式及其符号特征，并能应用公式进行求值、计算。 重点：1、两角和与差的余弦公式及其应用。
2、两角和与差的余弦公式的推导。
难点：两角和与差的余弦公式的推导方法。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
【预备知识】
1、向量的夹角
范围：
2、数量积的定义
。
特别地，当向量和为单位向量时，则
。
3、数量积的坐标表示
若，，则
。
思考：由和的正弦和余弦能求，的正弦和余弦？下式成立吗？
，；
，。
一、阅读教材P143“两角和与差的余弦公式及其应用”部分
已知任意角，，不妨设。
设角，的终边与单位圆分别交于点，，则
，，
所以，
，。
（1）若（如图1），则与的夹角，
由数量积定义知
，
由数量积的坐标表示知
所以 。
（2）若（如图2），则
与的夹角，
由数量积定义及诱导公式知
，
所以，同样有 。
（3）若（如图3），与的夹角，
由数量积定义及诱导公式知
，
所以，同样有 。
于是，得到了两角差的余弦公式：
，记作。
由于角，为任意角，以代，得
，
所以 。
于是，得到了两角和的余弦公式：
，记作。
【抽象概括】
1、两角和与差的余弦公式
公式特征：余弦公式同名积异号连，余余正正，余在前。
例1 求值：
（1）； （2）； （3）
例2填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
例3填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
例4已知，，求的值。
例5已知，，，求的值。
1、利用公式，证明：
（1）； （2）。
2、已知，，求的值。
3、已知，为第二象限角，求的值。
4、已知，，，，求的值。