2.4 积化和差与和差化积公式学案-2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第四章（含答案）

2.4积化和差与和差化积公式
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、了解，，，公式推导积化和差、和差化积公式的方法。 2、了解积化和差、和差化积公式的意义。
3、了解换元思想，方程思想在公式推导中所起的作用。 重点：1、积化和差、和差化积公式的推导。
2、积化和差、和差化积公式的意义。
难点：积化和差、和差化积公式的推导。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P150“三角函数的积化和差”部分
【复习导入】
1、两角和与差的正弦、余弦公式
公式特征：（1）余弦公式同名积异号连，余余正正，余在前；
（2）正弦公式异名积同号连，正余余正，交叉站。
2、公式意义：（1）通过角、的三角函数值求的三角函数值；
（2）逆用公式，可以将三角函数式化简。
问题1：能否根据上面公式求下列乘积的值？
（1）； （2）； （3）。
分析：，，
···①
···②
···③
···④
①②，得，
②-①，得，
③④，得。
问题2：如何根据两角和与差的正弦、余弦公式推导下列乘积？
（1）；（2）；（3）；（4）。
1、积化和差公式（不要求记忆，会推导）
积化和差公式顺口溜：
积化和差取一半；和角排在差角前。
同名积，两余弦；异名积，两正弦。
余弦在后加号连；正弦在后减号连。
积中有鱼（谐“余”）正脸看；积中无鱼（谐“余”）闭上眼。
例1求值：
（1）； （2）。
二、阅读教材P151“三角函数的和差化积”部分
由积化和差公式可以得出
设，，则，，
所以，上面公式可以写成
2、和差化积公式（不要求记忆，会推导）
和差化积公式顺口溜：
和差化积两倍半；和半排在差半前。
两余弦，积同源（谐“弦”）；两正弦，积名变。
加号相连后余弦；减号相连后正弦。
余余相减余不见；丢个负号放前面。
例2求值：
（1）； （2）。
例3把下列各式化成积的形式：
（1）； （2）。
3、和差角正切公式的变形
；
。
上面两个变形公式，起到“和差化积”的作用，特别地，当一个式子中，既有正切的和（或差），又有正切的积时，通常利用变形公式将正切的和（或差）化成正切的积。
例4计算：
（1）；
（2）。
1、把下列各式化成积的形式：
（1）； （2）； （3）。
2、把下列各式化成和或差的形式：
（1）； （2）； （4）。
3、在斜三角形中，证明：。