6.3.2 二项式系数的性质-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册复习巩固训练（含答案）

6.3.2 二项式系数的性质
一、知识梳理
1. 二项式系数的性质
⑴对称性：与首末两端“等距”的两个二项式系数相等，即_____________.
⑵增减性与最大值：
当时，随k的增大而增大；当时，随k的增大而减小。
当n是偶数时，中间的一项____取最大值；当n是奇数时，中间的两项______与_____相等，且同时取得最大值。
⑶二项式系数的和：
①_______.
②______.
二、重要题型
知识点一：求二项式系数、系数最大的项
1.的展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A．第3项 B．第6项 C．第6、7项 D．第5、6项
2．在(1－x)201的展开式中，系数的最大值是(　　)
A．C B．C C．C D．C
3．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　)
A. B． C. D．
知识点二：赋值法求系数的和
4．若(x＋3y)n的展开式中的系数之和等于(7a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和，则n的值为(　　)
A．5 B．8 C．10 D．15
5.若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝________.
6．已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值为________．
7．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为________．
三．巩固练习
1．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝(　　)
A．32 B．1 C．－243 D．1或－243
2．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
3．已知(x2＋1)(x－2)10＝a0(x－1)12＋a1(x－1)11＋…＋a11(x－1)1＋a12，则a0＋a1＋…＋a11的值为(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
4．在(x－2)6的展开式中，二项式系数的最大值为a，x5的系数为b，则＝(　　)
A． B．－ C． D．－
5．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等．则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan等于(　　)
A．32 B．64 C．128 D．256
6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
7．(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则(　　)
A．n＝7
B．所有项的系数和为0
C．偶数项的系数和为－64
D．展开式的中间项为－35x3和35x4
8.. (多选题)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为2 048　
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大　
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大　
D．展开式中第6项的系数最小
9.．二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝________，a1＋a3＋a5＝________．
10.若(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020(x∈R)，则＋＋＋…＋的值为________．
11．已知(n∈N*)的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项．
12.已知(＋3x2)n的展开式中各项系数和比二项式系数和大992.求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中系数最大的项．
6.3.2 二项式系数的性质 答案
一、知识梳理
1. ⑴。
⑵,,.
⑶,。
二、重要题型
1．C 因为11为奇数，所以展开式正中间两项的二项式系数最大，即第6、7项的二项式系数最大．故选C.
2.B　 二项式系数最大的项是第101项和第102项，因为T101＝Cx100，T102＝－Cx101＝－Cx101，且第102项的系数为负，所以第101项的系数最大，为C，故选B.
3.A　 a＝C＝70，设b＝C2r，则解得5≤r≤6，
4.A　 (7a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210.对于(x＋3y)n，令x＝1，y＝1，则由题意，知4n＝210，解得n＝5.
所以b＝C26＝C25＝1 792，所以＝.
5.1　 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10；令x＝－1，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10.故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(－1)10(＋1)10＝1.
6.36　 令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1 ①，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36②， ②
①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝，①－②得a1＋a3＋a5＝.
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…|a6|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝－＝36.
7． 令x＝0，则a0＝1，令x＝2，a0＋2a1＋22a2＋…＋29a9＝39，∴2a1＋22a2＋…＋29a9＝39－1.
三．巩固练习
1．B (a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCa5－kxk，令k＝2，得a2＝10a3，由题可知
10a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，
得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.故选B.
2.B　 设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令x＝1，x＝－1，得
两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝.由已知，得＝364，
∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大．
3.C　 在展开式中，令x＝2，得a0＋a1＋…＋a11＋a12＝0，令x＝1，得a12＝2，
∴a0＋a1＋…＋a11＝－2.故选C.
4．B 在(x－2)6的展开式中，二项式系数的最大值为C＝20，即a＝20，其展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k·(－2)k，令6－k＝5，则k＝1，可得x5的系数b＝C×(－2)1＝－12，所以＝＝－.故选B.
5.D　 因为C＝C，所以n＝4.令二项式中x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256.故选D.
6.B　 由二项式系数的性质知：二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数最大值有一项
C＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数最大值有两项C＝C＝b，因此13C＝7C，所以13·＝7·，解得m＝6.故选B.
7.ABC　 由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．所有项的系数和为0，偶数项的系数和为－64.展开式的中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4·(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，故选ABC.
8.ACD　 对于A，B，C选项，分别利用赋值法，二项式系数的性质即可解决；
对于选项D，先根据通项写出其系数的表达式，构造不等式即可．
对于A：二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；
对于B、C：展开式共12项，中间第6、7项的二项式系数最大，故B错误，C正确；
对于D：展开式中各项的系数为Ck＋1＝(－1)kC，k＝0,1，…，11，
易知当k＝5时，该项的系数最小．故D正确．
9.．80　122 Tk＋1＝C2kxk，∴a4＝C24＝80，a1＝C21＝10，a3＝C23＝80，
a5＝C25＝32，∴a1＋a3＋a5＝10＋80＋32＝122.
10.－1　 令x＝0，得(1－2x)2 020＝1＝a0；
令x＝，得(1－2x)2 020＝0＝a0＋＋＋＋…＋，
∴＋＋＋…＋＝0－1＝－1.
11．解：(1)由展开式中所有的偶数项二项式系数和为64，得2n－1＝64，所以n＝7
所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项．因为的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x2)7－k(－1)k＝C27－k(－1)kx14－3k，
所以f(x)的展开式中二项式系数最大的项为T4＝－500x5，T5＝280x2.
(2)由(1)知n＝7，且的展开式中x－1项为T6＝－，x2项为T5＝280x2，
所以展开式的常数项为2×(－84)＋1×280＝112.
12.解：令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n.
又展开式二项式系数和为C＋C＋…＋C＝2n，
由题意有4n－2n＝992，即(2n)2－2n－992＝0，(2n－32)(2n＋31)＝0.
所以2n＝－31(舍去)或2n＝32.所以n＝5.
(1)因为n＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第3、4两项，
T3＝C()3·(3x2)2＝90x6，T4＝C()2(3x2)3＝270.
(2)设展开式中第(r＋1)项的系数最大．又Tr＋1＝C()5－r·(3x2)r＝得
即解得≤r≤.
又因为r∈N*，所以r＝4，所以展开式中第5项系数最大．T5＝C34＝405 .