6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册复习巩固训练（含答案）

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、知识梳理
1. 1分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有________种的不同方法。
2. 分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有________种的不同方法。
3.两个计数原理的区别：
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法_______，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法________，只有每一个步骤都完成才算做完这件事。
二、重要题型
知识点一：分类加法计数原理的应用
1.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游,从广州到深圳一天中动车组有30个班次,特快列车有20个班次,汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有(　　)
A.240种 B.180种 C.120种 D.90种
2.若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是(　　)
A.15 B.12 C.5 D.4
知识点二：分步乘法计数原理的应用
3.若x∈{1,2,3},y∈{5,7,9},则x·y的不同取值的个数是(　　)
A.2 B.6 C.9 D.8
4.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是(　　)
A.2 160 B.720 C.240 D.120
知识点三：两个计数原理的综合应用
5.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中取出2个几何体,使多面体和旋转体各一个,则不同的取法种数是(　　)
A.14 B.23 C.48 D.120
6.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(　　)
A.21种 B.315种 C.153种 D.143种
7.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.
(1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡,共有多少种不同的取法?
(2)某人手机是双卡双待机,想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用,问一共有多少种不同的取法?
三、巩固练习
1.如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为(每处只接通一条线路)(　　)
A.8 B.6 C.5 D.3
2.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是(　　)
A.100 B.90 C.81 D.72
3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为(　　)
A.42 B.30 C.20 D.12
4.如右图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以从分开不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为(　　)
A.26 B.24 C.20 D.19
5.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有(　　)
A.12种 B.24种 C.72种 D.216种
6.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有______种不同的选法(　　)?
A.10 B.20 C.21 D.40
7.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图,
表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图:
如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为(　　)
A.46 B.44 C.42 D.40
8.如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有　　　　　个.?
9.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,宣传广告与公益广告不能连续播放,2个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?
10.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个符合下列要求的无重复数字的数?
(1)四位整数;
(2)比2 000大的四位偶数.
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、知识梳理
1. 。
2.
3. 相互独立; 互相依存。
二、重要题型
1.D. 根据分类加法计数原理,得方法种数为30+20+40=90(种).
2.A 利用分类加法计数原理.当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6个不同的有序自然数对;
当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5个不同的有序自然数对;
当x=3时,y=0,1,2,3,有4个不同的有序自然数对.
根据分类加法计数原理可得,共有6+5+4=15(个)不同的有序自然数对.
3.C 求x·y需分两步.第1步,x的取值有3种;第2步,y的取值有3种,故共有3×3=9(个)不同的值.
4.B 第1张门票有10种分法,第2张门票有9种分法,第3张门票有8种分法,由分步乘法计数原理得共有10×9×8=720(种)分法.
5.C 分两步:第1步,取多面体,有5+3=8(种)不同的取法;第2步,取旋转体,有4+2=6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是8×6=48.
6.D 由题意,选一本语文书一本数学书有9×7=63(种),选一本数学书一本英语书有5×7=35(种),选一本语文书一本英语书有9×5=45(种),
根据分类加法计数原理,共有63+45+35=143(种)选法.故选D.
7.解:(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况:
第1类,从第一个袋子中取一张移动手机卡,共有10种取法;
第2类,从第二个袋子中取一张联通手机卡,共有12种取法.
根据分类加法计数原理,共有10+12=22(种)取法.
(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行:
第一步,从第一个袋子中任取一张移动手机卡,共有10种取法;
第二步,从第二个袋子中任取一张联通手机卡,共有12种取法.
根据分步乘法计数原理,共有10×12=120(种)取法.
三、巩固练习
1.B 从A处到B处的电路接通可分两步.第1步,前一个并联电路接通有2条线路;第2步,后一个并联电路接通有3条线路.由分步乘法计数原理,知电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为2×3=6.
2.C 分两步,第1步选b,因为b≠0,所以有9种不同的选法;第2步选a,因为a≠b,所以也有9种不同的选法.由分步乘法计数原理知共有9×9=81(个)点满足要求.。
3.A 原定的5个节目产生6个空位,将其中1个新节目插入,有6种不同的插法,然后6个节目产生7个空位,将另一个新节目插入,有7种不同的插法.由分步乘法计数原理知共有7×6=42(种)不同的插法.
4.D 因信息可以分开沿不同的路线同时传递,由分类加法计数原理,完成从A向B传递有四种方法,12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6,故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和,即3+4+6+6=19,故选D.
5.A 先填第一行,有3×2×1=6(种)不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理,共有6×2=12(种)不同的填法.故选A.
6.B. “完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”,故需分三类:①既会英语又会日语的不当选;②既会英语又会日语的按会英语当选;③既会英语又会日语的按会日语当选.既会英语又会日语的有7+3-9=1(人),仅会英语的有6人,仅会日语的有2人.先分类后分步,从仅会英、日语的人中各选1人有6×2种选法; 从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有6×1种选法;仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有2×1种选法.根据分类加法计数原理,共有6×2+6×1+2×1=20(种)不同选法.
7.B 按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下,
(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),
(1,1,3),(1,0,4).2根及2根以上的算筹可以表示两个数字,运用分步乘法计数原理,
则上述情况能表示的三位数字个数分别为2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2.
根据分步加法计数原理,5根算筹能表示的三位数字个数为
2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.故选B.
8. 40 满足条件的三角形有两类.第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32(个),所以满足条件的三角形共有8+32=40(个).
9.解：用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序,则完成这件事有3类方法.
第1类,宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;
第2类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;
第3类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6.同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.
由分类加法计数原理,得6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108(种).
10.解：(1)分步解决:第1步,千位数字有5种选取方法;第2步,百位数字有5种选取方法;
第3步,十位数字有4种选取方法;第4步,个位数字有3种选取方法.
由分步乘法计数原理知,可组成无重复数字的四位整数5×5×4×3=300(个).
(2)(方法一)按个位是0,2,4分为三类:
第1类,个位是0的有4×4×3=48(个);第2类,个位是2的有3×4×3=36(个);第3类,个位是4的有3×4×3=36(个).则由分类加法计数原理知,有48+36+36=120(个)无重复数字的比2000大的四位偶数.
(方法二)按千位是2,3,4,5分四类:第1类,千位是2的有2×4×3=24(个);
第2类,千位是3的有3×4×3=36(个);第3类,千位是4的有2×4×3=24(个);
第4类,千位是5的有3×4×3=36(个).
由分类加法计数原理知,有24+36+24+36=120(个)无重复数字的比2000大的四位偶数.