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第一 章 导数及其应用
1.1.1 变 化 率 问 题
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等；
二、求曲线的切线；
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
姚明身高变化曲线图(部分)
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么
当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。
思考
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里,
在1≤ t ≤2这段时间里,
（1）不是. （2）平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映每一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.
计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗
探 究:
计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
可把△x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1+△x代替x2；类似地，△ y = f (x2) – f (x1) .
于是，平均变化率可表示为
定义:
平均变化率:
式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
理解：
1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但
的△x值不能为0， △ y 的值可以为0.
2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3、变式
思考：你能归纳求函数的平均变化率的步骤吗？
（1）作差，即求出Δy=f(x2)-f(x1)和Δx=x2-x1；
（2）作商，即对所求得的差作商即得
直线AB的斜率
典例分析
例1.求已知函数 f (x) = 5x +4在区间[0,1]上的平均变化率。
例2.求y=x2在x=x0附近的平均变化率。
例3 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
A、3 B、3Δx-(Δx)2
C、3-(Δx)2 D、3-Δx
小结：
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
（1）作差，即求出Δy=f(x2)-f(x1)和Δx=x2-x1；
（2）作商，即对所求得的差作商即得
已知函数 f (x) = 2 x +1, 分别计算在下列区间上 f (x) 的平均变化率.
(1) [–3,–1]; (2)[0,5] .
课时作业
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