1.1.2 导数的概念
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(共27张PPT)
成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话
一．创设情景
（一）平均变化率
（二）探究：
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
又如何求
瞬时速度呢
二．新课讲授
1．瞬时速度
△t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0。
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
当△t<0时， 2+△t 在2之前；
当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ,2]和区间[2,2+△t ]内的平均速度 ，可以得到如下表格：
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时
间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
当△t = – 0.01时,
当△t = 0.01时,
当△t = – 0.001时,
当△t =0.001时,
当△t = –0.0001时,
当△t =0.0001时,
△t = – 0.00001,
△t = 0.00001,
△t = – 0.000001,
△t =0.000001,
……
……
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢
当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势
观察？
当△t趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度 都趋近于一个确定的值-13.1。
从物理的角度看：
时间间隔|△t |无限变小时，平均速度
就无限趋近于t=2时的瞬时速度。
因此，运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s
为了表述方便，我们用：
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”
从平均速度 过渡到瞬时速度
，得到瞬时速度 的值为-13.1 .
探究？
1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时速度变化率怎样表示？
1.如何反映瞬时速度？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度，
由极限的观点可知：
当 时，
为瞬时速度.
一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数，
记作
2.导数的概念：
即：
其它形式
或
表示函数y关于自变量x在x0处的导数。
注意：
说明：
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
求函数的增量:
2. 求平均变化率:
3. 求(极限)值:
记忆：一差、二比、三极限
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
三．典例分析
解：
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
1、 质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.
解：
四、课堂练习
解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是
练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
课堂小结
1、求物体运动的瞬时速度：
(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求极限
2、由导数的定义可得求导数的一般步骤：
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率
(3)求极限
课后作业
1、质点运动规律为s=3t2，求质点在t=3的瞬时速度.
2、求曲线f(x)=x3在x=1时的导数.
3、习题1.1A组第2题.
例： 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
分析:
备选例题
解:
(1)将 Δt=0.1代入上式，得:
(2)将 Δt=0.01代入上式，得:
如图,
取极限得
两类问题直接导致了导数的产生：
1.根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度：
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
高度h关于时间t的导数为物体的瞬时速度.
成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话
一．创设情景
（一）平均变化率
（二）探究：
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
又如何求
瞬时速度呢
二．新课讲授
1．瞬时速度
△t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0。
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
当△t<0时， 2+△t 在2之前；
当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ,2]和区间[2,2+△t ]内的平均速度 ，可以得到如下表格：
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时
间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
当△t = – 0.01时,
当△t = 0.01时,
当△t = – 0.001时,
当△t =0.001时,
当△t = –0.0001时,
当△t =0.0001时,
△t = – 0.00001,
△t = 0.00001,
△t = – 0.000001,
△t =0.000001,
……
……
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢
当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势
观察？
当△t趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度 都趋近于一个确定的值-13.1。
从物理的角度看：
时间间隔|△t |无限变小时，平均速度
就无限趋近于t=2时的瞬时速度。
因此，运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s
为了表述方便，我们用：
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”
从平均速度 过渡到瞬时速度
，得到瞬时速度 的值为-13.1 .
探究？
1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时速度变化率怎样表示？
1.如何反映瞬时速度？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度，
由极限的观点可知：
当 时，
为瞬时速度.
一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数，
记作
2.导数的概念：
即：
其它形式
或
表示函数y关于自变量x在x0处的导数。
注意：
说明：
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
求函数的增量:
2. 求平均变化率:
3. 求(极限)值:
记忆：一差、二比、三极限
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
三．典例分析
解：
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
1、 质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.
解：
四、课堂练习
解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是
练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
课堂小结
1、求物体运动的瞬时速度：
(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求极限
2、由导数的定义可得求导数的一般步骤：
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率
(3)求极限
课后作业
1、质点运动规律为s=3t2，求质点在t=3的瞬时速度.
2、求曲线f(x)=x3在x=1时的导数.
3、习题1.1A组第2题.
例： 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
分析:
备选例题
解:
(1)将 Δt=0.1代入上式，得:
(2)将 Δt=0.01代入上式，得:
如图,
取极限得
两类问题直接导致了导数的产生：
1.根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度：
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
高度h关于时间t的导数为物体的瞬时速度.