7．3 多边形及其内角和
7．3．1 多边形
[教学目标]
1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．
2．区别凸多边形与凹多边形．
[教学重点、难点]
1．重点：
（1）了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念．
（2）区别凸多边形和凹多边形．
2．难点：
多边形定义的准确理解．
[教学过程]
一、新课讲授
投影：图形见课本P84图7．3一l．
你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗？
上面三图中让同学边看、边议．
在同学议论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？
（1）它们在同一平面内．
（2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的．
这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？
提问：三角形的定义．
你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？
1．在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形．
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）
2．多边形的边、顶点、内角和外角．
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
3．多边形的对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
让学生画出五边形的所有对角线．
4．凸多边形与凹多边形
看投影：图形见课本P85．7．3—6．
在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形．
5．正多边形
由正方形的特征出发，得出正多边形的概念．
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
二、课堂练习
课本P86练习1．2．
三、课堂小结
引导学生总结本节课的相关概念．
四、课后作业
课本P90第1题．
备用题：
一、判断题．
1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（ ）
2．由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（ ）
3．由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形．（ ）
4．在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（ ）
二、填空题．
1．连接多边形 的线段，叫做多边形的对角线．
2．多边形的任何 所在的直线，整个多边形都在这条直线的 ，这样的多边形叫凸多边形．
3．各个角 ，各条边 的多边形，叫正多边形．
三、解答题．
1．画出图（1）中的六边形ABCDEF的所有对角线．
2．如图（2），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？
3．如图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
4．如图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？7．3．2 多边形的内角和
[教学目标]
1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．
2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
[教学重点、难点]
1．重点：
（1）多边形的内角和公式．
（2）多边形的外角和公式．
2．难点：多边形的内角和定理的推导．
[教学过程]
一、探究
1．我们知道三角形的内角和为180°．
2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．
3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？
画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．
从中你得到什么结论？
同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．
二、思考几个问题
1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？
3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？
综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？
设多边形的边数为n，则
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？
由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）
分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．
如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．
分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．
三、例题
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．
分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．
解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°，
∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．
由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°
∴它的外角和为6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）
同样也可以得到其外角和等于360°．即
多边形的外角和等于360°．
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
四、课堂练习
课本P89练习1、2、3题．
P90第2、3题
五、课堂小结
引导学生总结本节课主要内容．
六、课后作业
课本P90第4、5、6题．
备选题：
一、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（ ）
2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（ ）
3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（ ）
4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（ ）
5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（ ）
二、填空题．
1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 边形．
2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 边形．
3．内角和等于外角和的多边形是 边形．
4．内角和为1440°的多边形是 ．
5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大的是140°，那么这个多边形是 边形．
6．若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 边形．
7．五边形的对角线有 条，它们内角和为 ．
8．一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为 ．
9．多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为 ．
10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D= ．
11．四边形的四个内角中，直角最多有 个，钝角最多有 个， 锐角最多有 个．
12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 ．
三、选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角
2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）
A．增加 B．减小 C．不变 D．不定
5．若多边形的外角和等于内角和的号，它的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
6．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（ ）
A．四边形 B，五边形 C．六边形 D．七边形
8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
9．n边形的n个内角中锐角最多有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D，十一边形
四、解答题．
1．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．
（1）求它的边数； （2）求少的那个内角的度数．
2．一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？
3．已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．
4．若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
5．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数．
6．n边形的内角和与外角和互比为13：2，求n．
7．五边形ABCDE的各内角都相等，且AE＝DE，AD∥CB吗？
8．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？
9．四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C或∠D的度数．
10．在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DAC＝2∠BAC．
求证：∠DBC＝2∠BDC．
