微专题1 利用数轴、维恩图解决集合问题
在集合的关系与运算中，特别是涉及到集合的交集、并集、补集时，往往要对集合的可能情况进行分类讨论，运算较大，容易出错，而若能巧用数轴、维恩图化解集合问题，就可避免分类讨论，使解题显得直观、形象，从而简化解题步骤，提高解题效率．
类型1 利用数轴解决集合的运算问题
【例1】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
[解] 如图，首先在数轴上表示出全集U和集合A，B．
这样A∩B＝{x|－2≤x≤2}，?UA＝{x|x＜－2或3＜x≤4}，?UB＝{x|x＜－3或2＜x≤4}，(?UA)∪B＝{x|x≤2或3＜x≤4}，A∩(?UB)＝{x|2＜x≤3}，(?UA)∪(?UB)＝{x|x＜－2或2＜x≤4}．
类型2 利用数轴解决集合的关系问题
【例2】 设集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－1≤x≤1－2m}．
(1)若B?A，求m的取值范围；
(2)若A?B，求m的取值范围．
[解] (1)①当B≠?时，∵B?A，数轴表示如图所示：
∴解得0≤m≤.
②当B＝?时，m－1＞1－2m，解得m＞.
综上所述，实数m的取值范围是[0，＋∞)．
(2)∵A≠?，A?B，∴B≠?.
∴m－1≤1－2m，即m≤，数轴表示如图所示，
则解得m≤0.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，0]．
类型3 利用数轴解决集合运算中求参数范围问题
【例3】 已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1，或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝?；(2)A?(A∩B)．
[解] (1)若A＝?，则A∩B＝?成立．
此时2a＋1>3a－5，即a<6.
若A≠?，如图所示，
则
解得6≤a≤7.
综上，满足条件A∩B＝?的实数a的取值范围是{a|a≤7}．
(2)因为A?(A∩B)，且(A∩B)?A，
所以A∩B＝A，即A?B．
显然A＝?满足条件，此时a<6.
若A≠?，如图所示，
则或
由解得a∈?.
由解得a＞.
综上，满足条件A?(A∩B)的实数a的取值范围是.
类型4 利用维恩图解决集合中元素问题
【例4】 设全集U＝{不大于20的质数}，M，P是U的两个子集，且满足M∩(?UP)＝{3,5}，(?UM)∩P＝{7,19}，(?UM)∩(?UP)＝{2,17}，求集合M，P.
[解] 根据题意，已知全集U＝{不大于20的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由M∩(?UP)＝{3,5}可知，
3∈M,5∈M且3?P,5?P；
由(?UM)∩P＝{7,19}可知，
7∈P,19∈P且7?M,19?M；
又由(?UM)∩(?UP)＝{2,17}可知，
2?M,17?M,2?P,17?P.
这样依次可画出维恩图，结合图示对11,13分别进行分析，
可知11,13在两个集合的交集内．
因此集合M＝{3,5,11,13}，P＝{7,11,13,19}.
PAGE1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
1．通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.
问题 同学们是如何理解集合及集合中的元素这些概念的？
知识点一 元素与集合的概念
1．集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示．
(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175
cm的男生能否构成一个集合？
[提示] (1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．
(2)某班身高高于175
cm的男生能构成一个集合，因为标准确定．
2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示．
3．元素的性质
(1)确定性：集合的元素必须是确定的．
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．
(3)无序性：集合中的元素可以任意排列．
集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三个特性中任一个，则这组对象就不能构成集合，故集合中元素的这三个特性是判断一组对象是否能构成集合的重要依据．
4．集合相等：给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)漂亮的花可以组成集合．
( )
(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．
( )
(3)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相等的．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示](1)“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．
(2)由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素．
(3)集合中的元素具有无序性，所以元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是同一集合．
知识点二 元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于
a是集合A中的元素
a∈A
a属于A
不属于
a不是集合A中的元素
a?A
a不属于A
2.已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________．
0或－1 [∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，a＝0或a＝－1．]
知识点三 空集、常见数集、集合的分类
1．空集
(1)定义：不含任何元素的集合．
(2)符号：?.
2．常用的数集及其记法
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N
或N＋
Z
Q
R
3.集合的分类
(1)集合
(2)空集是有限集．
3.(1)下列元素与集合的关系判断正确的是________．(填序号)
①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤?R.
(2)下列集合中________是有限集，________是无限集．(填序号)
①由小于8的正奇数组成的集合；
②由大于5且小于20的实数组成的集合；
③由小于0的自然数组成的集合．
(1)①④ (2)①③ ② [(1)N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π?Q，?Q，－1∈Z，∈R.
(2)①因为小于8的正奇数为1,3,5,7，所以其组成的集合是有限集．
②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．
③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集．]
类型1 集合的有关概念
【例1】 (1)下列对象能构成集合的是( )
①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；②所有的钝角三角形；③2020年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．
A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④
(2)集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________.
(1)D (2)±2 [(1)由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．
(2)由题意，得a2＝4，a＝±2.]
判断一组对象能否组成集合的标准是什么？
[提示] 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；
(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．
[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．
(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．
(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．
类型2 元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②?Q；③0∈N
；④|－5|?N
.
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)(对接教材P9练习B④)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2
B．2或4
C．4
D．0
(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确；②是无理数，所以?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N
错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N
错误．故选B．
(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，
所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B．]
判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：
①使用前提：集合中的元素是直接给出的；
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
2．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
0,1,2 [∵∈N，
∴3－x＝1或2或3或6，
即x＝2或1或0或－3.
又x∈N，故x＝0或1或2.
即集合A中的元素为0,1,2.]
类型3 集合中元素的特性及应用
1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？
[提示] a≠b.
2．若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？
[提示] a＝1或b＝1．
【例3】 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
[思路点拨]
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a，
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1．
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
[变条件]已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1．
当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1．
1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．
1．下列选项能组成集合的是( )
A．兴趣广泛的同学
B．个子较高的男生
C．英文26个字母
D．非常大的数
C [对于A，兴趣广泛的标准不明确，不能组成集合；
对于B，个子较高的标准不明确，不能组成集合；
对于C，英文26个字母能组成集合；
对于D，非常大的标准不明确，不能组成集合．]
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列表示正确的是( )
A．∈M
B．0?M
C．1∈M
D．－∈M
D [＞1，故A错；－2＜0＜1，故B错；1?M，故C错；－2＜－＜1，故D正确．]
3．下列各组对象不能构成一个集合的是( )
A．不超过20的非负实数
B．方程x2－9＝0在实数范围内的解
C．的近似值的全体
D．某校身高超过170厘米的同学的全体
C [A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内有解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C．]
4．(多选题)下列给出的对象构成的集合是有限集的是( )
A．方程x2－6x－16＝0的根
B．大于0且小于5的实数
C．小于22的质数
D．倒数等于它本身的实数
ACD [方程x2－6x－16＝0的根为－2,8；大于0且小于5的实数有无穷多个；小于22的质数为2,3,5,7,11,13,17,19；倒数等于它本身的实数为±1，故它们构成的集合均为有限集．故选ACD．]
5．下列说法中：
①集合N与集合N＋是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________(填序号)．
②④ [因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一组对象能否构成集合的依据是什么？
[提示] 判断一组对象的全体能否构成集合的重要依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合．
2．集合的三个特性是什么？
[提示] (1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．
3．由集合中元素的特性求参数解题的方法是什么？
[提示] 分类讨论法：解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．第2课时 集合的表示方法
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握集合的两种表示方法．(重点)2．掌握区间的概念及表示方法．(重点)
1．借助空集、区间的概念，培养数学抽象的素养．2．通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的素养.
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”，英文为“Happy
Birthday”……那么，对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点一 集合的表示方法
1．列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．
1．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？
[提示] 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；
(2)集合中的元素必须是明确的；
(3)集合中的元素不能重复；
(4)集合中的元素可以是任何事物．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．
( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.
( )
[答案] (1)× (2)×
[提示] (1)集合中的元素是互异的．
(2)集合{(1,2)}中的元素是(1,2)．
2.不等式x－3＜2且x∈N
的解集用列举法可表示为________．
{1,2,3,4} [∵x－2＜3，∴x＜5.又x∈N
，∴x＝1,2,3,4，故可表示为{1,2,3,4}．]
2．描述法
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
2.观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x2－1的图像上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
[提示] 不能．
问题2：如何表示这两个集合？
[提示] 利用描述法．
3.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
{0,1,2,3,4} {x∈N|－1＜x＜5} [大于－1小于5的自然数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为{0,1,2,3,4}；用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1＜x＜5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1＜x＜5}．]
知识点二 区间的概念及其表示方法
1．设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如：
符号
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
集合
{x|x≥a}
x＞a
{x|x≤a}
{x|x＜a}
(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．
4.用区间表示下列集合：
(1){x|－1≤x≤2}：________；
(2){x|1＜x≤3}：________；
(3){x|x＞2}：________；
(4){x|x≤－2}：________.
[答案] (1)[－1,2] (2)(1,3] (3)(2，＋∞) (4)(－∞，－2]
类型1 用列举法表示集合
【例1】 (1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)用列举法表示下列集合．
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
④方程组的解集．
(1)B [集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选B．]
(2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
④解方程组得
∴用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
提醒：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．
1．(1)用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，则集合B＝________.
(1)C (2){0,1,2,3} [(1)由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．
(2)对任意a∈A，有|a|∈B，因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B．
又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}．]
类型2 用描述法表示集合
【例2】 (对接教材P9练习A④)用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
1．描述法表示集合的2个步骤
2．选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
2．用描述法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．
[解] (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
类型3 区间及其表示
【例3】 (对接教材P9练习A⑤)将下列集合用区间及数轴表示出来：
(1){x|x＜2}；
(2){x|x≥3}；
(3){x|－1≤x＜5}．
[解] (1){x|x＜2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：
(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：
(3){x|－1≤x＜5}用区间表示为[－1,5)，用数轴表示如下：
用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错．
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
3．(1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是( )
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(－∞，2]
(2)若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围为_________.
(1)B (2) [(1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．
(2)由区间的定义可知3a－1＞a，即a＞.]
类型4 集合与方程的综合问题
【例4】 (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝( )
A．1
B．2
C．0
D．0或1
(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．
(1)D (2) [(1)当a＝0时，
原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)因为∈，
所以－a－＝0，
解得a＝－.
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝－4×＝＞0，由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9，所以＝，故集合的所有元素的积为×9＝.]
[变条件]若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a的取值范围．
[解] A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a＞0，即a＜1且a≠0.所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为(－∞，1]．
集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数根．
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数(含参数)的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2}
B．{x|x＝1，x＝2}
C．{x2－3x＋2＝0}
D．{1,2}
D [解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或x＝2，
故集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]
2．已知M＝{x|x－1＜}，那么( )
A．2∈M，－2∈M
B．2∈M，－2?M
C．2?M，－2?M
D．2?M，－2∈M
A [若x＝2，则x－1＝1＜，所以2∈M；
若x＝－2，则x－1＝－3＜，所以－2∈M.故选A．]
3．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
C [x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]
4．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
D [集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D．]
5．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2
[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．?与{0}有什么区别？
[提示] (1)?是不含任何元素的集合；
(2){0}是含有一个元素的集合．
2．在用列举法表示集合时应注意什么问题？
[提示] (1)元素间用分隔号“，”；
(2)元素不重复；
(3)元素无顺序；
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
3．在用描述法表示集合时应注意什么问题？
[提示] (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
4．关于无穷大的两点注意事项是什么？
[提示] (1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端点时，这一端必须用小括号．
以实际问题为背景的集合问题
幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区2020年率先发布了幼升小入学政策：
1．本市户籍适龄儿童入学．凡年满6周岁(2014年8月31日以前出生)的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证(监护人持有)的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学．
2．非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学．
该市东城区2021年的入学顺位可以参考2020年公布的入学顺位说明：
第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市房口”；
第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”；
第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”；
第七顺序：“本片户口＋‘(外)曾祖父’房屋产权”．
若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，则
(1)某儿童a具有该市户口(非本区)，a是集合A的元素吗？
[提示] a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母．
(2)某儿童b的父母在东城区有房屋产权，b是集合A中的元素吗？
[提示] b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口．
PAGE1.1.2 集合的基本关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集．3．了解维恩图的含义，会用维恩图表示两个集合间的关系.
1．通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集，真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推理的数学素养．3．利用维恩图，培养直观想象数学素养.
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B．
问题 (1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？
(2)集合A与集合B又存在什么关系？
知识点一 子集与真子集
1．子集与真子集的定义
概念
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集
A?B(或B?A)
真子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集
A?B(或B?A)
2.子集、真子集的性质
(1)任意集合A都是它自身的子集，即A?A．
(2)空集是任意一个集合A的子集，即??A．
(3)对于集合A，B，C．
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若A?B，B?C，则A?C；
3．维恩图
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．
(1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“?”有何不同？
[提示] (1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；
而“?”表示集合与集合之间的关系．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何集合至少有两个子集．
( )
(2){0,1,2}?{2,0,1}．
( )
(3)若A?B，且A≠B，则A?B．
( )
(4)集合{0,1}的子集是{0}，{1}，{0,1}．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若??A，则A≠?.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [在①中，空集的子集是空集，故①错误；
在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；
在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；
在④中，若??A，则A≠?，故④正确．故选B．]
3.下列图形中，表示M?N的是( )
A B C D
C [由维恩图知，易选C．]
知识点二 集合相等与子集的关系
1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．
2．由集合相等以及子集的定义可知：如果A?B且B?A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A?B且B?A．
4.若M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y＝(x－1)(x＋2)}，则这三个集合中，具有相等关系的是________．
[答案] M和N
5.设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.
[答案] －1
类型1 集合间关系的判断
【例1】 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
(1)B [对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以??{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B．]
(2)[解] ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B．
③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N
?M.
判断集合关系的方法有哪些？
[提示] (1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或维恩图．
1．判断下列两个集合之间的关系：
(1)A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的约数}；
(2)A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}；
(3)A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}．
[解] (1)∵A＝{1,2,4}，B＝{1,2,4,8}，如图，
∴A?B(A?B亦可，但A?B更准确)．
(2)∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，用数轴表示如下：
∴A?B．
(3)法一：任取x0∈A，则x0＝2k0＋1，k0∈Z.
又∵x0＝2(k0＋1)－1，k0∈Z，∴k0＋1∈Z，
∴x0∈B，则A?B．同理可得，B?A．
由A?B，B?A，得A＝B．
法二：集合A＝{…，－5，－3，－1,1,3,5,7，…}，集合B＝{…，－7，－5，－3，－1,1,3,5，…}，根据规律可知集合A与B所含元素相同，所以A＝B．
类型2 集合的子集、真子集的个数问题
【例2】 (对接教材P11例1)(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
(2)若{1,2}?A?{1,2,3,4,5}，则集合A的个数是( )
A．8
B．7
C．4
D．3
(1)B (2)A [(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为?，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B．
(2)法一：(列举法)：满足条件{1,2}?A?{1,2,3,4,5}的集合A有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．
法二：(计数法)：因为集合A满足{1,2}?A?{1,2,3,4,5}，所以，集合A一定含有元素1,2(可不考虑)，可能含有元素3,4,5，故集合A的个数即集合{3,4,5}的子集个数，即23＝8(个)．故选A．]
1．求集合子集、真子集个数的3个步骤
2．与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n个．
(2)A的真子集的个数为2n－1个．
(3)A的非空真子集的个数为2n－2个．
2．(1)已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
(2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
(1)B [(1)根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．]
(2)[解] ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，
∴A的子集有?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
A的真子集有?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．
类型3 利用集合关系求参数的值或取值范围
1．集合A＝[m,2m－1]，集合A一定是非空集合吗？
[提示]不一定．当m≤2m－1，即m≥1时集合A非空；当m＜1时，A＝?.
2．已知区间A＝(－∞，2]和B＝(－∞，a)，且B?A，则实数a的取值范围是什么？
[提示] 借助数轴可知a≤2.
由集合相等求参数
【例3】 已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}，且A＝B，求x，y的值．
[解] 因为A＝B，所以集合A与集合B中的元素相同，所以或
解得或或
验证得，当x＝0，y＝0时，A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．
所以x，y的取值为或
3．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值．
[解] 由已知A＝B＝{0，|x|，y}，所以0∈A．
若x＝0，则A＝{0,0，－y}，不满足元素的互异性；
若xy＝0，即y＝0，则B＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异性．
所以只有x－y＝0，即y＝x.
所以A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}．
所以x2＝|x|，所以x＝0(舍)或x＝1或x＝－1．
当x＝1时，A＝B＝{1,1,0}，不满足元素的互异性，故x≠1．
当x＝－1时，A＝B＝{－1,1,0}，满足题意．所以x＝y＝－1即为所求．
由集合间包含关系求参数
【例4】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)若A?B，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 两个集合都是连续型的无限集，可考虑用数轴来表示．
[解] (1)①当B≠?，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
②当B＝?时，由m＋1＞2m－1，得m＜2.
综上可得，m的取值范围m≤3.
(2)当A?B时，如图所示，此时B≠?.
∴即∴m不存在．
即不存在实数m使A?B．
类似本题的设问，我们还可以得到下列的问题：
(1)[变条件]若A?B，求实数m的取值范围；
(2)[变条件]若B?A，求实数m的取值范围．
[解] (1)若A?B，则集合B肯定不是空集，则有或无解，
∴m不存在．
即不存在实数m使A?B．
(2)由B?A得，①若B＝?，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B?A；
②若B≠?，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为{m|m≤3}．
利用集合间的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．
1．(多选题)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )
A．P?T
B．T?P
C．P＝T
D．PT
AB [P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，
则P?T，也可表示为T?P.
故选AB．]
2．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是( )
A B C D
B [由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1,0,1}，∴N?M，故选B．]
3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，那么( )
A．若a＝3，则A?B
B．若A?B，则a＝3
C．若a＝3，则AB
D．若A?B，则a＝2
A [当a＝3时，A＝{1,3}，B＝{1,2,3}，A?B成立．当A?B时，a＝2或3.]
4．已知集合A＝(－∞，3)，集合B＝(－∞，m)且A?B，则实数m的取值集合是________．
[3，＋∞) [将集合A在数轴上表示出来，如图所示，
要满足A?B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.]
5．若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
0或 [因为集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，所以A中只含有一个元素．
当a＝0时，A＝；当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝9－8a＝0得a＝.
综上，当a＝0或a＝时，集合A的子集只有两个．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．对子集、真子集有关概念你是怎样理解的？
[提示] (1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A．
2．集合子集的个数问题的数学式子是什么？
[提示] 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
3．{0}，?，{?}之间有什么区别与联系？
[提示] {0}是含有一个元素0的集合，?是不含任何元素的集合，因此??{0}，而{?}是含有一个元素?的集合，因此?作为一个元素时，有?∈{?}，?作为一个集合时，有??{?}．
4．子集的性质是怎样的？
[提示] (1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A；
(2)对于集合A，B，C，如果A?B且B?C，那么A?C，即集合间的子集关系具有传递性；
(3)规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．
PAGE1.1.3 集合的基本运算
第1课时 交集和并集
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点)2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)
1．通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养.
某班有学生20人，他们的学号分别是1,2,3，…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.
问题 (1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？
(2)问至少读过一本书的有哪些同学？
知识点一 交集
1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0}
B．{1}
C．{1,2}
D．{0,1,2}
C [由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．]
知识点二 并集
集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
[提示]不一定．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
对概念中的“所有”的理解，不能认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，即简单拼凑，还要注意满足集合中元素的互异性，相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素．例如，A＝{1,2,4}，B＝{1,4,5,7}，A∪B＝{1,2,4,5,7}，而不能写成A∪B＝{1,2,4,1,4,5,7}．
2.(1)已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M},
则M∪N＝( )
A．{0}
B．{0,3}
C．{1,3,9}
D．{0,1,3,9}
(2)已知A＝(0，＋∞)，B＝(－∞，1)，则A∪B＝________.
(1)D (2)R [(1)易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．
(2)∵A＝(0，＋∞)，B＝(－∞，1)，∴A∪B＝(－∞，＋∞]．]
知识点三 并集与交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
A∪A＝A
A∩A＝A
A∪?＝?∪A＝A
A∩?＝?∩A＝?
如果A?B，则A∪B＝B，反之也成立
如果A?B，则A∩B＝A，反之也成立
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A∪B＝A∪C，则B＝C．
( )
(2)若A∩B＝?，则A，B均为空集．
( )
(3)A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素．
( )
(4)若x∈A∩B，则x∈A∪B．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
类型1 交集的概念及其应用
【例1】 (对接教材P15例1)(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(1)A (2)D [(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，
故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选A．
(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，
∴8∈A,14∈A，
∴A∩B＝{8,14}，故选D．]
求两个集合的交集有什么方法？
[提示] (1)定义法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{－2，－1,0,1,2}
A [由题意知A∩B＝{0,2}．]
2．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－1B．a>2
C．a≥－1
D．a>－1
D [因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1．]
类型2 并集的概念及其应用
【例2】 (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )
A．{0}
B．{0,2}
C．{－2,0}
D．{－2,0,2}
(2)(对接教材P17例3)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
(1)D (2)A [(1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2，0,2}，故选D．
(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，
则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
]
求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助维恩图写并集．
(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．
(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．
3．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________.
{0,1,2,3,4,5} [A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]
4．若集合A＝(－∞，－1)，B＝(－2,2)，则A∪B＝________.
(－∞，2) [画出数轴如图所示，
故A∪B＝(－∞，2)．
]
类型3 集合交、并运算的性质及综合应用
1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？
[提示] A∩B＝A?A∪B＝B?A?B．
2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？
[提示] 若A∩B＝A∪B，则集合A＝B．
【例3】 已知集合A＝{x|－3[思路点拨]
[解] (1)当B＝?，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A．
(2)当B≠?时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知k≤.
1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
[解] 由A∩B＝A可知A?B．
所以即所以k∈?.
所以k的取值范围为?.
2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3[解] 由题意可知解得k＝3.
所以k的值为3.
1．集合运算常用的性质
(1)A∪B＝B?A?B．
(2)A∩B＝A?A?B．
(3)A∩B＝A∪B?A＝B．
2．利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解．
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解．
1．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1,0,1}
B．{0,1}
C．{－1,1}
D．{0,1,2}
A [集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1,0,1}．]
2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{0,1}
B．{0}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,2,3}
D [由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P，因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D．]
3．(多选题)已知集合A＝{x|x＝4n－1，n∈N}，B＝{y|y＝2n－1，n∈N}，C＝{－1,0,1,3,5,7,9}，则集合A∩B∩C中的元素为( )
A．－1
B．3
C．5
D．7
ABD [A＝{x|x＝4n－1，n∈N}＝{－1,3,7,11，…}，B＝{y|y＝2n－1，n∈N}＝{－1,1,3,5,7，…}，所以A∩B∩C中的元素为－1,3,7.故选ABD．]
4．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3
B [法一(利用并集的性质及子集的含义求解)∵A∪B＝A，∴B?A．又A＝{1,3，}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝.由m＝得m＝0或m＝1．但m＝1不满足集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.
法二(利用排除法求解)∵B＝{1，m}，∴m≠1，故可排除选项C、D．又当m＝3时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，∴A∪B＝{1,3，}＝A，故m＝3符合题意，故可排除选项A．]
5．已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
{a|－3≤a＜－1} [由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，
则解得－3≤a＜－1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．对交集概念你是怎样理解的？
[提示] (1)A∩B仍是一个集合，A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素，同时A与B的公共元素都属于A∩B．
(2)“且”字的意义：A∩B中的元素既属于A，又属于B．
(3)两个集合A与B没有公共元素不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝?.
2．对并集概念你是怎样理解的？
[提示] (1)A∪B仍是一个集合，A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成．
(2)“或”字的意义：并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同，生活中的“或”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定互相排斥．
“x∈A，或x∈B”包括三种情况．如下图所示：
x∈A，但x?B x∈A，且x∈B x∈B，但x?A
(3)求集合A与B的并集时，公共元素只能算一次(元素的互异性)．
3．本节课用到的数学解题思想有哪些？
[提示] 数形结合思想、分类讨论思想．
4．本节课求参数时常见的解题误区是什么？
[提示] 由交集、并集的关系求解参数时漏掉对空集的讨论产生错误．
PAGE第2课时 补集
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用维恩图、数轴进行集合的运算．(重点)
1．通过补集的运算，培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.
太阳系有8颗行星，即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星．原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联会通过的第5号决议中，被划为矮行星，并命名为小行星134
340号，从太阳系九大行星中被除名．如果我们把名字中含有“王”的行星除去，还有几颗行星？上小学的小朋友也会回答还有6颗，但是如果我们用集合的眼光来看，就会发现一个问题：若把太阳系的行星的集合作为U，把名字中含有“王”的行星的集合作为A，把名字中不含有“王”的行星的集合作为B，那么集合A，B，U之间有怎样的关系呢？
知识点一 全集
1．定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．
2．记法：全集通常记作
U.
1．全集一定是实数集R吗？
[提示] 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
1．设全集为U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，则U等于( )
A．{0,2,4,6}
B．{0,2,4}
C．{6}
D．?
A [∵M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，
∴U＝M∪?UM＝{0,2,4,6}，故选A．]
知识点二 补集
1．补集
文字语言
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
2.补集的运算性质
条件
给定全集U及其任意一个子集A
结论
A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A
2.?UA，A，U三者之间有什么关系？
[提示] (1)?UA表示集合U为全集时，集合A在全集U中的补集，则?UA?U.如果全集换成其他集合(如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合(如?RA)．
(2)求?UA的前提条件为集合A是全集U的子集．
(3)若x∈U，则x∈A，x∈?UA必居其一．
补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)?UU＝?，?U?＝U.
( )
(2)若A?B?U，则?UA??UB．
( )
(3)若x∈U，则x∈A或x∈?UA，二者必居其一．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
3.(对接教材P19练习A⑤)若集合A＝{x|x>1}，则?RA＝________.
{x|x≤1} [∵A＝{x|x>1}，
∴?RA＝{x|x≤1}．]
4.设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{x∈Z|1＜x＜4}，则?U(A∪B)＝( )
A．{0,1,2,3}
B．{5}
C．{1,2,4}
D．{0,4,5}
D [∵B＝{x∈Z|1＜x＜4}，∴B＝{2,3}．
∵A＝{1,2}，∴A∪B＝{1,2,3}．
∵全集U＝{0,1,2,3,4,5}，∴?U(A∪B)＝{0,4,5}．故选D．]
类型1 补集的运算
【例1】 (1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝________.
(1){2,3,5,7} (2){x|x<－3或x＝5} [(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又?UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．
法二(维恩图法)：满足题意的维恩图如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知?UA＝{x|x<－3或x＝5}．]
通过上面的例题，你能总结一下求集合的补集的方法吗？
[提示] (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解．
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
1．(1)设集合A＝{x∈N
|x≤6}，B＝{2,4}，则?AB等于( )
A．{2,4}
B．{0,1,3,5}
C．{1,3,5,6}
D．{x∈N
|x≤6}
(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则?UA＝______.
(1)C (2){x|0|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以?AB＝{1,3,5,6}．故选C．
(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，?UA＝{x|0类型2 集合交、并、补集的综合运算
【例2】 (对接教材P18例4)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解] 把集合A，B在数轴上表示如下：
由图知?RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2因为?RA＝{x|x<3，或x≥7}，
所以(?RA)∩B＝{x|2求集合交、并、补运算的方法
2．全集U＝{x|x<10，x∈N
}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，求集合A，B．
[解] 法一(维恩图法)：根据题意作出维恩图如图所示．
由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．
法二(定义法)：(?UB)∩A＝{1,9}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，∴?UB＝{1,4,6,7,9}．
又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴B＝{2,3,5,8}．
∵(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，
∴A＝{1,3,9}．
类型3 与补集有关的参数值的求解
1．若A，B是全集U的子集，且(?UA)∩B＝?，则集合A，B存在怎样的关系？
[提示] B?A．
2．若A，B是全集U的子集，且(?UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？
[提示] A?B．
【例3】 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[思路点拨] 法一：
法二：
[解] 法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
法二(集合间的关系)：由(?UA)∩B＝?可知B?A，
又B＝{x|－2结合数轴：
得－m≤－2，即m≥2.所以m的取值范围是{m|m≥2}．
1．[变条件]将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
[解] 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x<－m}，又(?UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.
2．[变条件]将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
[解] 由已知得A＝{x|x≥－m}，?UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又(?UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.
1．由集合的补集求解参数的方法
2．含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决．
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9}，则?UA等于( )
A．{x|x＜0或x＞4}
B．{x|x≤0或x＞4}
C．{x|x≤0或x≥4}
D．{x|x＜0或x≥4}
D [因为U＝R，A＝{x|0≤x＜4}，所以?UA＝{x|x＜0或x≥4}．]
2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为( )
A．{1,2,4}
B．{2,3,4}
C．{0,2,3,4}
D．{0,2,4}
D [∵?UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(?UA)∪B＝{0,2,4}．]
3．如图阴影部分表示的集合是( )
A．A∩(?UB)
B．(?UA)∩B
C．?U(A∩B)
D．?U(A∪B)
A [由维恩图可知，阴影部分在集合B外，同时在集合A内，应是A∩(?UB)．]
4．已知集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，则A∩B＝________，?RA＝________.
[－5，－2) (－∞，－5)∪(3，＋∞) [因为集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，
可得A∩B＝[－5，－2)，
可得?RA＝(－∞，－5)∪(3，＋∞)．]
5．已知全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋1,2}，?UA＝{7}，则a＝________.
3 [因为?UA＝{7}，U＝{2,4，a2－a＋1}，
所以解得a＝3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．全集是固定不变的吗？试举例说明．
[提示] 全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R作为全集；当我们只讨论大于0且小于5的实数时，可选{x|0＜x＜5}为全集，通常也会把给定的集合作为全集．
2．你对补集概念是如何理解的？
[提示] (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
(3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比：
实数
集合
被减数a
被减集合(全集)U
减数b
减集合B
差a－b
补集?UB
集合运算中的新定义问题
我们知道，如果集合A?S，那么S的子集A相对于全集S的补集为?SA，即?SA＝{x|x∈S，且x?A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x?B}叫做集合A与B的差集，记作A－B．例如，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．
1．若S是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班全体女同学组成的集合，求S－A及?SA．
[提示] S－A＝{x|x∈S，且x?A}＝?SA＝{高一(1)班全体男同学}．
2．在下列各图中用阴影表示集合A－B．
[提示] A中去掉B的部分，得到下列图．
3．如果A－B＝?，那么集合A与B之间具有怎样的关系？
[提示] A－B＝?说明集合{x|x∈A，且x?B}中无元素，即A中的元素都在B中，所以A?B．
4．现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可用下列图中阴影部分表示的为( )
A B C D
[提示] 选A ∵A－B＝{x|x∈A，且x?B}，即A－B
是集合A中的元素去掉A∩B中的元素，记作集合D．
如图所示：
∴集合C－(A－B)就是C中的元素去掉集合C∩D中的元素．故选A．
由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2
000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝?，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(M，N)，下列选项中，可能成立的是________．
①M没有最大元素，N有一个最小元素；
②M没有最大元素，N也没有最小元素；
③M有一个最大元素，N有一个最小元素；
④M有一个最大元素，N没有最小元素．
①②④ [若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；
若M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}，则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；
若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}，则M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；
M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能成立，因为这样就会至少有一个有理数不存在于M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数集矛盾，故③不可能成立．]
PAGE1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解命题的含义，并会判断其真假.
2．理解全称量词与全称量词命题的定义；理解存在量词与存在量词命题的定义．3．能准确地使用全称量词和存在量词符号(即“?，?”)来表述相关的数学内容．(重点)4．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(重点、难点)
1．通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培养数学抽象的素养．2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算能力.
德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题“任意取一奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,77＝53＋17＋7”，同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是还需要证明．这也就是当今人们称之为哥德巴赫猜想，并誉为数学皇冠上的明珠.200多年来我国著名数学家陈景润才证明了“1＋2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数，从陈景润的“1＋2”到“1＋1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题．
在我们的日常生活中，我们常常遇到这样的命题：
(1)对任意实数x，都有x2≥0；
(2)存在有理数x，使x2－2＝0.
问题 上述命题中有哪些关键的量词？
知识点一 命题的概念
1．下列语句是命题的有________．(填序号)
①是有理数；
②3x2≤5；
③梯形是不是平面图形呢？
④一个数的算术平方根一定是负数．
①④ [①“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
②因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
③“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
④“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．]
2.下列命题中，真命题是__________，假命题是________．(填序号)
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1＜0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个正整数不是素数就是合数；
(5)若x∈N，则x2＋4x＋7＞0.
(1)(3)(5) (2)(4) [(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，由于整数1既不是素数，也不是合数．
(5)是真命题，因为当x∈N时，x2＋4x＋7＞0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．]
知识点二 全称量词和存在量词
全称量词
存在量词
量词
任意、所有、每一个
存在、有、至少有一个
符号
?
?
命题
含有全称量词的命题称为全称量词命题
含有存在量词的命题称为存在量词命题
命题形式
“对集合M中所有元素x，r(x)”，可用符号简记为“?x∈M，r(x)”
“存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符号简记为“?x∈M，s(x)”
“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] 是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．
( )
(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．
( )
(3)全称量词命题一定含有全称量词．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] 有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”，即“所有正数都大于0”．
4.下列命题中，全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
C [①②是全称量词命题，③是存在量词命题．]
类型1 命题与真假命题的判断
【例1】 判断下列语句是不是命题？若是，判断其真假，并说明理由．
(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)5x＞4x；
(4)未来是多么美好啊！
(5)你是高二的学生吗？
(6)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数．
[解] (1)是命题，而且是真命题．
(2)是命题，而且是假命题．对角线互相垂直平分的四边形才是菱形．如图，四边形ABCD中，只满足AC⊥BD，显然不是菱形．
(3)不是命题．因为x是未知数，不能判断不等式的真假．
(4)是感叹句，不涉及真假，不是命题．
(5)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(6)是命题，而且是假命题．如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数．
怎样判断一个语句是不是命题？怎样判断一个命题的真假？
[提示] (1)判断一个语句是不是命题，关键看这个语句是否具备命题的两个特征：一是陈述句，二是能判断真假．
(2)在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证明；而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．
1．下列语句是不是命题？若是，判断其真假，并说明理由．
(1)一个数不是合数就是质数．
(2)x≥16.
(3)一个实数不是正数就是负数．
(4)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．
(5)空集是任何非空集合的真子集．
[解] (1)是假命题．例如：1既不是质数也不是合数．
(2)不是命题．因为没有给定变量x的值，无法确定其真假．
(3)是假命题．因为0既不是正数也不是负数．
(4)是真命题．代入验证即可．
(5)是真命题．由空集的定义和性质不难得出．
类型2 全称量词命题与存在量词命题
全称量词命题与存在量词命题的识别
【例2】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin∠A＝cos∠B．
[解] (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．
全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例3】 判断下列命题的真假．
(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意矩形的对角线相等；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
[解] (1)2是素数，但2不是奇数．
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题．
(2)真命题．
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题．
全称量词命题和存在量词命题真假的判断
(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，都有命题r(x)成立；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题r(x0)不成立即可．
(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题s(x0)成立即可；要判断一个存在量词命题为假，需要说明集合中每一个x，都使s(x)不成立．
2．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1)?x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0.
[解] (1)是全称量词命题，因为?x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
类型3 依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例4】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
[解] (1)由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，所以B?A，又B≠?，
所以解得2≤m≤3.
即m的取值范围是{m|2≤m≤3}．
(2)q为真，则A∩B≠?，
因为B≠?，所以m≥2.
所以
解得2≤m≤4.
即m的取值范围是{m|2≤m≤4}．
求解含有量词的命题中参数范围的策略
对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)．
3．已知命题p：?x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图像总在x轴上方，显然不能恒成立；
②当a≠0时，由二次函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方，得
即∴a＞.
综上，a的取值范围为.
.
1．下列语句不是命题的有( )
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<7.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B [①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．故选B．]
2．下列命题是存在量词命题的是( )
A．对顶角相等
B．正方形都是四边形
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于1
D [选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题的定义知选D．]
3．(多选题)下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是( )
A．至少有一个x∈Z，使得x2＜3成立
B．对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a＋b－1)
C．平行四边形的对角线互相平分
D．菱形的两条对角线长度相等
BC [选项A：因为02＜3,0∈Z，所以至少有一个x∈Z，使得x2＜3成立，是真命题，但不是所有的x∈Z，都有x2＜3成立，不是全称量词命题；
选项B：∵a2＋b2－2(a＋b－1)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，∴本命题是真命题，又因为a，b∈R都使命题成立，故本命题符合题意；
选项C：是真命题，是全称量词命题；
选项D：并不是所有的菱形对角线长度都相等，故本命题是假命题．故选BC．]
4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．
①③ [①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．]
5．已知命题p：“?x∈R，关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是________．
(－∞，3] [因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，
所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤3，所以实数m的取值范围是(－∞，3]．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何判断全称量词命题与存在量词命题？
[提示] 判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断．
2．怎样判断全称量词命题的真假？
[提示] 要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题．
3．怎样判断存在量词命题的真假？
[提示] 要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题．
PAGE1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能正确写出一个命题的否定，并判断其真假．2．理解含有一个量词的命题的否定的意义，会对含有一个量词的命题进行否定．(重点)3．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(重点、难点)
1．通过对命题的否定的认识，提升数学抽象的素养．2．通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的素养.
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．”
问题 请问探险家该如何保命？
知识点一 命题的否定
1．定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“?p”，读作“非p”或“p的否定”．
2．命题p与其否定?p的真假关系
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．
1．(1)圆周率π是无理数的否定是__________，它是________命题(填“真”或“假”)．
(2)?是集合A的子集的否定是________________，它是________命题(填“真”或“假”)．
[答案] (1)圆周率π不是无理数 假 (2)?不是集合A的子集 假
知识点二 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．存在量词命题的否定
存在量词命题p
?p
结论
?x∈M，p(x)
?x∈M，?p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
2.全称量词命题的否定
全称量词命题q
?q
结论
?x∈M，q(x)
?x∈M，?q(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
[提示] 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
命题的否定与集合运算的关系
(1)已知全集为U，设命题p对应的集合为P，则命题的否定?p对应的集合为?UP＝{x|x∈U，且x?P}，这样可以从集合的角度进一步认识命题的否定．
(2)已知全集为U，若“p是真命题”对应“a∈P”，则“p是假命题”对应“a∈?UP”；若“?p是真命题”对应“a∈?UP”，则“?p是假命题”对应“a∈P”．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题?p的否定是p.
( )
(2)?x∈M，p(x)与?x∈M，?p(x)的真假性相反．
( )
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)命题p与?p互为否定．
(2)存在量词命题p与其否定?p一真一假．
(3)尽管存在量词命题的否定是全称量词命题，只是对“p(x)”进行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为“同时否定”．
3.命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是________．
对任意的x∈R,2x＞0 [存在量词命题的否定是全称量词命题．]
4.已知命题p：?x＞2，x－2＞0，则?p是________．
?x＞2，x－2≤0 [全称量词命题的否定为存在量词命题．]
类型1 命题的否定
【例1】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：y＝sin
x是周期函数；
(2)p：实数的绝对值都大于0；
(3)p：菱形的对角线垂直平分；
(4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0.
[解] (1)?p
：y＝sin
x不是周期函数．假命题．
(2)?p：实数的绝对值不都大于零．真命题．
(3)?p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题．
(4)?p：若xy＝0，则x≠0且y≠0.假命题．
如何对一个命题进行否定？
[提示] 否定一个命题是对这个命题结论的否定，要灵活应用常见关键词对应的否定词．另外，命题和它的否定真假性相反，可运用此结构检查所写命题的否定是否正确．
1．写出下列命题的否定形式，并判断其真假．
(1)p：面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.
[解] (1)?p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题．
(2)?p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题．
(3)?p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题．
类型2 全称量词命题的否定
【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；
(2)p：等圆的面积相等，周长相等；
(3)p：偶数的平方是正数．
[解] (1)?p：存在n∈Z，使n?Q，这是假命题．
(2)?p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．
(3)?p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
1．写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
2．有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．
2．写出下列全称量词命题的否定．
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；
(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.
[解] (1)?p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)?p：?x∈Z，x2的个位数字等于3.
(3)?p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．
(4)?p：存在被5整除的整数，末位不是0.
类型3 存在量词命题的否定
【例3】 写出下列存在量词命题的否定．
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：有一个素数含三个正因数．
[解] (1)?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)?p：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)?p：每一个素数都不含三个正因数．
与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定.
3．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；
(2)存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(3)存在偶函数为单调函数．
[解] (1)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题．
(2)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题．
(3)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题．
类型4 全称量词命题与存在量词命题中的求参问题
1．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)恒成立的条件是什么？
[提示] 判别式Δ＝b2－4ac＜0.
2．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的条件是什么？
[提示] 判别式Δ＝b2－4ac≥0.
【例4】 已知命题p：“?x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 命题p的否定?p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．
[解] 法一：?p：?x∈R，x2－2x＋m＞0，是真命题，即m＞－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，
当x＝1时，y最大值＝1，∴m＞y最大值＝1，
即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
法二：?p：?x∈R，x2－2x＋m＞0，是真命题，
设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，
只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜0，即4－4m＜0，得m＞1，
即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
若命题“?x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范围是________．
(－∞，1] [?x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1．]
含有量词的命题求参数问题的思路
(1)此类题目常以二次方程或二次不等式等为载体，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可用判别式法求参数范围，也可以利用分离参数法求得参数的范围．
(2)求参数的范围时，从真命题的角度比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题，且是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求得参数的范围．
1．已知a＜b，则下列结论中正确的是( )
A．?c＜0，a＞b＋c
B．?c＜0，a＜b＋c
C．?c＞0，a＞b＋c
D．?c＞0，a＜b＋c
D [A项，若a＝1，b＝2，c＝－1，满足a＜b，但a＞b＋c不成立；
B项，若a＝9.5，b＝10，c＝－1，a＜b＋c不成立；
C项，因为a＜b，c＞0，所以a＜b＋c恒成立，故C错误；
D项，?c＞0，a＜b＋c成立，故选D．]
2．设命题p：?x∈R，x2＋1＞0，则?p为( )
A．?x∈R，x2＋1＞0
B．?x∈R，x2＋1≤0
C．?x∈R，x2＋1＜0
D．?x∈R，x2＋1≤0
B [命题p：?x∈R，x2＋1＞0，是一个全称量词命题，
∴?p：?x∈R，x2＋1≤0.故选B．]
3．下列命题的否定为假命题的是( )
A．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．?x∈R，x3＜1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．任意一个梯形的对角线都不互相平分
D [对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以?x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；
对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以?x∈R，x3＜1是假命题，故其否定为真命题；
对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；
对于选项D，任意一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题，因此其否定是假命题．故选D．]
4．若命题p：?x∈R，使得x2－x－2＝0，则?p为________．
[答案] ?x∈R，使得x2－x－2≠0
5．命题“?x∈R，|2－x|＋|x＋3|＞4”的否定是________．
[答案] ?x∈R，|2－x|＋|x＋3|≤4
回顾本节知识，自我完成下列问题：
1．对含有一个量词的命题的否定要注意哪些问题？
[提示] (1)确定命题类型：命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定．
2．含有量词的命题中求参数问题如何解答？
[提示] (1)转化法：已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为?p是真命题后，再求参数的值或取值范围．
(2)分离参数法：存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)．
PAGE1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件与必要条件
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解充分条件、必要条件的定义．(难点)
2．会判断充分条件、必要条件．(重点)
3．会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的取值范围．(重点、难点)
1．通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．通过充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示．
问题 (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
知识点一 充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p?q.(2)等价．
对于“p?q”，蕴含以下多种解释：
①“若p，则q”形式的命题为真命题；
②由条件p可以得到结论q；
③p是q的充分条件或q的充分条件是p；
④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的；
⑤q是p的必要条件或p的必要条件是q；
⑥一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的．
显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p?q，只是说法不同而已．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．
( )
(2)“x＞0”是“x＞1”的充分条件．
( )
(3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)因为“x2＝9”“x＝3”．
(2)因为“x＞0”“x＞1”．
(3)不唯一，如x＞3，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件．
2.“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件．(填“充分”或“必要”)
必要 充分 [由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．]
知识点二 用集合知识理解充分条件和必要条件
1．充分条件、必要条件与集合的关系
A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A?B
p是q的充分条件q是p的必要条件
AB
p是q的不充分条件q是p的不必要条件
B?A
q是p的充分条件p是q的必要条件
BA
q是p的不充分条件p是q的不必要条件
2.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
3.x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件( )
A．x＋y＝0
B．x2＋y2＞0
C．x－y＝0
D．x3＋y3≠0
B [因为xy≠0?x≠0且y≠0?x2＞0且y2＞0?x2＋y2＞0，所以“x2＋y2＞0”是“xy≠0”的必要条件．]
4.设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”或“必要”)
必要 [由于N?M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．]
类型1 充分条件
【例1】 判断下列各题中，p是否是q的充分条件：
(1)p：a∈Q，q：a∈R；
(2)p：a＜b，q：＜1；
(3)p：x＞1，q：x2＞1；
(4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(5)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；
(6)已知a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
[解] (1)由于Q?R，所以p?q，
所以p是q的充分条件．
(2)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
(3)由x＞1可以推出x2＞1．因此p?q，所以p是q的充分条件．
(4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，
则B?A．因此pq，所以p不是q的充分条件．
(5)由三角形中大角对大边可知，若∠A＞∠B，
则BC＞AC．因此，p?q，所以p是q的充分条件．
(6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，
由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p?q，
所以p是q的充分条件．
将本例(2)的条件改为“p：0＜ab＜1，q：b＜”如何判断？
[解] 当0＜ab＜1，a＜0，b＜0时，有b＞；
当0＜ab＜1，a＞0，b＞0时，有b＜，因此pq，所以p不是q的充分条件．
充分条件的判断方法
1．判断下列各题中，p是否是q的充分条件：
(1)p：x2＝y2，q：x＝y；
(2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，q：b2－4ac≥0；
(3)p：整数a能被4整除，q：整数a的个位数字为偶数；
(4)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
[解] (1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
(2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2－4ac≥0，所以p?q，所以p是q的充分条件．
(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，所以a的个位数字为偶数，
所以p?q，所以p是q的充分条件．
(4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)·(y－2)＝0，
所以p?q，所以p是q的充分条件．
类型2 必要条件
【例2】 判断下列各题中，q是否是p的必要条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：x＝1，q：x－1＝；
(4)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；
(5)p：a是自然数，q：a是正整数；
(6)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．
[解] (1)若|x|＝|y|，
则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以q不是p的必要条件．
(2)直角三角形不一定是等腰三角形．
因此pq，所以q不是p的必要条件．
(3)当x＝1时，x－1＝＝0，
所以p?q，所以q是p的必要条件．
(4)设A＝[－2,5]，B＝[－1,5]，
则B?A，所以pq，所以q不是p的必要条件．
(5)0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，所以q不是p的必要条件．
(6)等边三角形一定是等腰三角形，所以p?q，所以q是p的必要条件．
必要条件的判断方法
2．判断下列各题中，q是否是p的必要条件：
(1)p：a是1的平方根，q：a＝1；
(2)p：4x2－mx＋9是完全平方式，q：m＝12；
(3)p：a是无理数，q：a是无限小数；
(4)p：a与b互为相反数，q：a与b的绝对值相等．
[解] (1)1的平方根是±1，
所以pq，
所以q不是p的必要条件．
(2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，
所以m＝±12，所以pq，
所以q不是p的必要条件．
(3)因为无理数是无限不循环小数，
所以p?q，
所以q是p的必要条件．
(4)若a与b互为相反数，
则a与b的绝对值相等，
所以p?q，
所以q是p的必要条件．
类型3 充分条件和必要条件的应用
【例3】 (1)“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )
A．0
B．2
C．4
D．16
(2)已知p：－4(1)B (2)[－1,6] [(1)由“x＝2”能得出“x2＝4”，所以选项B正确．
(2)化简p：a－4应用充分条件和必要条件的2个思路
(1)条件与结论：确定p和q谁是条件，谁是结论．
(2)p?q和q?p的应用：充分条件确保p?q为真，必要条件确保q?p为真．
3．已知α：－3≤x≤2，β：t－5≤x≤2t＋4，且α是β的充分条件，则实数t的取值范围为________．
[－1,2] [设α：－3≤x≤2对应的集合为A＝{x|－3≤x≤2}，β：t－5≤x≤2t＋4对应的集合为B＝{x|t－5≤x≤2t＋4}，因为α是β的充分条件，所以A?B，则解得－1≤t≤2，故实数t的取值范围为[－1,2]．]
4．已知p：x＜－3或x＞1，q：x＞a，若p是q的必要条件，则a的取值范围为________．
[1，＋∞) [由于p是q的必要条件，则{x|x＞a}?{x|x＜－3或x＞1}，
即(a，＋∞)?(1，＋∞)．所以a≥1，
因此，实数a的取值范围是[1，＋∞)．]
1．p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
B [由p：(a＋b)·(a－b)＝0，
得|a|＝|b|，推不出a＝b，
由a＝b，能推出|a|＝|b|，
故p是q的必要条件．]
2．“同位角相等”是“两直线平行”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
C [“同位角相等”?“两直线平行”，“两直线平行?“同位角相等”，故选C．]
3．使x>3成立的一个充分条件是(
)
A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2
A [只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.]
4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的________条件．
充分 [因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，
所以a∈B且a≠1，所以a＝2或3，
所以“a＝3”是“A?B”的充分条件．]
5．“2x＋3≤0”是“2x－6≤0”的________条件．
充分 [不等式2x＋3≤0的解集为A＝，不等式2x－6≤0的解集为B＝(－∞，3]，由于A?B，所以“2x＋3≤0”是“2x－6≤0”的充分条件．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．对充分条件是怎样理解的？
[提示] (1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论或使此结论成立．
(2)只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立，例如x＝6?x2＝36，但是，当x≠6时，x2＝36也可以成立，“x＝－6”也是“x2＝36成立”的充分条件．
2．对必要条件是怎样理解的？
[提示] (1)必要条件是在充分条件的基础上得出的，真命题的条件是结论成立的充分条件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题的条件不是结论成立的充分条件，但有可能是结论成立的必要条件．
(2)“p是q的必要条件”的理解：若有q，则必须有p；而具备了p，则不一定有q.
3．充分条件、必要条件有哪些判断方法？
[提示] (1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p既是q的充分条件，也是q的必要条件．
4．如何根据充分条件、必要条件求参数范围？
[提示] 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
PAGE第2课时 充要条件
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解充要条件的概念．(难点)2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点、易混点)3．会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点)
1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养.
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
知识点 充要条件
1．充要条件的概念
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
2．充要条件的判断
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(1)如果p?q且qp，则称p是q的充分不必要条件．
(2)如果pq且q?p，则称p是q的必要不充分条件．
(3)如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
充要条件的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p?q，q?s，则有p?s，即p是s的充要条件．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若p是r的充要条件，r是s的充要条件，则s是p的充要条件．
( )
(2)设x∈R，则x＞1是x3＞1的充要条件．
( )
(3)不等式(2x＋1)(x－3)≥0成立的充要条件是x≥3.
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
A [∵x>2?x>1，但x>1x>2，∴选A．]
3.已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝?的充要条件是________．
0≤a≤2 [A∩B＝???0≤a≤2.]
类型1 充要条件的判断
【例1】 (对接教材P34例3)下列各题中，p是q的什么条件？(“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；
(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；
(3)p：x>5，q：x>10；
(4)p：a>b，q：a2>b2.
[解] 命题(1)中，p?q，但qp，故p是q的充分不必要条件；
命题(2)中，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要条件；
命题(3)中，pq，但q?p，故p是q的必要不充分条件；
命题(4)中，pq，且qp，故p既不是q的充分条件也不是必要条件．
充要条件判断2种方法
(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．
1．在下列四个结论中，正确的有( )
①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
C [对于结论①，∵x＞2?x＞1，但x>1
x＞2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0?a，b不全为0，反之，由a，b不全为0?a2＋b2≠0，故④正确．]
类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
[提示] 若p是q的充分不必要条件，则A?B；若p是q的必要不充分条件，则B?A．
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件？若N?M，M＝N呢？
[提示] 若M?N，则p是q的充分条件；若N?M，则p是q的必要条件；若M＝N，则p是q的充要条件．
【例2】 已知命题p：－2≤x≤10，命题q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路点拨] →→
[9，＋∞) [因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qp，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．]
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
(1)化简p，q两命题．
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系．
(3)利用集合间的关系建立不等式(组)．
(4)求解参数范围．
2．已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P.
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是[－1,5]．
类型3 有关充要条件的证明或求解
【例3】 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac＜0”，如何证明？
[证明] 因为ac＜0，所以Δ＝b2－4ac＞0，方程ax2＋bx＋c＝0中有两个不等实根，由根与系数关
系可知这两个根的积为＜0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0(※)有一个正根和一个负根，
所以ac＜0?方程(※)有一个正根和一个负根．
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，
由根与系数关系可知这两个根的积为＜0，
所以ac＜0.所以方程(※)有一个正根和一个负根?ac＜0，从而ac＜0?方程(※)有一个正根和一个负根，因此ac＜0是方程(※)有一个正根和一个负根的充要条件．
充要条件的证明要分充分性、必要性两个方面分别证明，注意证明方向不要反了?易错点?.
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [当x＝1时，x2－2x＋1＝0.由x2－2x＋1＝0,
解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要条件.
]
2．设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a－b＞0”是
“a＋b＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [由a－b＞0，得a＞b.又|a|＞|b|，得
a＋b＞0；由a＋b＞0，得a＞－b.又|a|＞|b|，得a－b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充要条件．]
3．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [根据题意得，AB，B?A，B?C，D?C，CD，
所以D?C?B?A，即D?A，
可从集合的角度考虑得出AD，所以A是D的必要不充分条件．]
4．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是________．
0＜x＜1 [由题意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1．]
5．若“x＞a”是“x＞6”的必要条件，则实数a的取值范围是________．
(－∞，6] [由“x＞a”是“x＞6”的必要条件，知a≤6，故实数a的取值范围为(－∞，6]．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何从命题角度判断p是q的充分必要条件？
[提示] (1)原理：
判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立．
(2)方法：
①若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；
③若二者都成立，则p与q互为充要条件．
2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件？
[提示]
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
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