湖南省湘西州民族中学2011年上学期高二选修2-2（理科）试卷
文档属性
| 名称 | 湖南省湘西州民族中学2011年上学期高二选修2-2（理科）试卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 186.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-03-25 22:51:39 | ||
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文档简介
湖南省湘西州民族中学2011年上学期高二选修2-2（理科）
数学试题 姓名_______________
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
2．因指数函数是增函数（大前提）,而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ）
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错
3．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．
C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，
由此推测各班都超过50人．
D．在数列中，由此归纳出的通项公式．
4．用数学归纳法证明等式：的过程中，第二步假设时等式成立，则当时应得到（ ）
A. B.
5．函数在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（ ）.
A. 1, 1 B. 1, 17 C. 3, 17 D. 9, 19
6．如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数( )
A. B.
C. D.
7．设，若为实数，则( )
A. B. C. D.
8．一个作直线运动的物体，它的速度(米/秒)与时间t（秒）满足，如果它在a秒内的平均速度与２秒时的瞬时速度相等，则a等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共35分）
9．设是原点，向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是_______
10．已知曲线上一点P处的切线与直线平行，则点P的坐标为_______ 11．_______.
12．下列命题中，错误命题的序号是____________．
①两个复数不能比较大小；②z1，z2，z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④z是虚数的一个充要条件是z＋∈R；⑤若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；⑥复数z∈R的一个充要条件是z＝；⑦在复数集内，－1的平方根是±i；⑧z＋z＝0 z1＝z2＝0.
13．已知函数，则=___ _____.
14、.观察下列式子 ( http: / / www. / wxc / ) , … … ,
则可归纳出________________________________ ( http: / / www. / wxc / )
15.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 _________________
三．解答题（本大题共75分）
16．（10分）已知函数，
（1）证明：函数是奇函数； （2）求的单调递增区间。
17.(本题满分10分)数列中，，其前n项和满足，
(1)计算；(2)猜想的表达式并用数学归纳法证明。
18．（本小题满分10分）已知函数，当时，的极大值为7.求（1）的值；（2）函数的极小值．
19．（本小题满分10分）设f(x)=，f′(x)＝2x＋2. 且方程f(x)＝0有两个相等的实根.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
20．（本小题满分10分）
已知中至少有一个小于2.
21．（12分）设函数的图象上以为切点的切线的倾斜角为.
（1）求的值；
（2）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？若存在，求出最小的正整数，若不存在，请说明理由.
22．(本小题满分13分)设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数
的取值范围;
(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.
湖南省湘西州民族中学2011年上学期高二选修2-2（理科）
数学试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．函数的导数是（ C ）
A． B． C． D．
2．因指数函数是增函数（大前提）,而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ A ）
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错
3．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ A ）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．
C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，
由此推测各班都超过50人．
D．在数列中，由此归纳出的通项公式．
4．用数学归纳法证明等式：的过程中，第二步假设时等式成立，则当时应得到（ B ）
A. B.
5．函数在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（ C ）.
A. 1, 1 B. 1, 17 C. 3, 17 D. 9, 19
6．如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数( B )
A. B.
C. D.
7．设，若为实数，则( C )
A. B. C. D.
8．一个作直线运动的物体，它的速度(米/秒)与时间t（秒）满足，如果它在a秒内的平均速度与２秒时的瞬时速度相等，则a等于（ D ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共35分）
9．设是原点，向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是_______
10．已知曲线上一点P处的切线与直线平行，则点P的坐标为_______ （1，1）
11．_______.0
12．下列命题中，错误命题的序号是____________．
①两个复数不能比较大小；②z1，z2，z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④z是虚数的一个充要条件是z＋∈R；⑤若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；⑥复数z∈R的一个充要条件是z＝；⑦在复数集内，－1的平方根是±i；⑧z＋z＝0 z1＝z2＝0.
[答案] ①②③④⑤⑧
[解析] ①错误，两个复数如果都是实数，则可比较大小；②错误，当z1，z2，z3不全是实数时不成立，如z1＝i，z2＝1＋i，z3＝1时满足条件，但z1≠z3；③错误，当x＝－1时，虚部也为零，是实数；④错误，此条件是必要非充分条件；⑤错误，当a＝b＝0时，是实数；⑥是正确的；⑦是正确的；⑧错误，如z1＝i，z2＝1满足i2＋12＝0，但z1≠0，z2≠0.
13．已知函数，则=___ _____. 2
14、.观察下列式子 ( http: / / www. / wxc / ) , … … ,
则可归纳出________________________________ ( http: / / www. / wxc / )
15.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 a<-3或a>6
三．解答题（本大题共75分）
16．（10分）已知函数，
（1）证明：函数是奇函数； （2）求的单调递增区间。
解：（1）证明： 的定义域是R。设任意，
，
函数是奇函数 …… 6分
（2）解：， …… 8分
令，由，解得
所以函数的单调增区间是（-1，1）； …… 10分
17.(本题满分10分)数列中，，其前n项和满足，
(1)计算；(2)猜想的表达式并用数学归纳法证明。
.。。。。。。。4分
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
18．（本小题满分10分）已知函数，当时，的极大值为7.求（1）的值；（2）函数的极小值．
解：（1）由已知得
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（2）由（1），当时，；当时，
故时，取得极小值，极小值为 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
19．（本小题满分10分）设f(x)=，f′(x)＝2x＋2. 且方程f(x)＝0有两个相等的实根.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f′(x)＝2ax＋b，
又已知f′(x)＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等的实根，
∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1..。。。。。。。。。。。。。。。。5分
(2)依题意，所求面积＝－1(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝.。。。。。。。10分
20．（本小题满分10分）
已知中至少有一个小于2.
证明：假设 都不小于2，则
因为，所以，
即，这与已知相矛盾，故假设不成立
综上中至少有一个小于2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
21．（12分）设函数的图象上以为切点的切线的倾斜角为.
（1）求的值；
（2）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？若存在，求出最小的正整数，若不存在，请说明理由.
解 (1) …… 2分
所以， …… 4分
从而由 故 …… 6分
(2), 当时, 恒成立,
所以时为增函数, …… 8分
∴ …… 10分
由有, 所以. …… 12分
故存在 …… 13分
22．(本小题满分13分)设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数
的取值范围;
(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.
解：（1）函数的定义域为.
由得; 由得,
则增区间为,减区间为..。。。。。。。。。。。。。4分
(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,
由,且,
时, 的最大值为,故时,不等式恒成立.
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
(3)方程即.记,则
.由得;由得.
所以在上递减;在上递增.
而,
所以,当时,方程无解;
当时，方程有一个解;
当时,方程有两个解;
当时,方程有一个解;
当时,方程无解.
综上所述,时,方程无解;
或时,方程有唯一解;
时,方程有两个不等的解.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
数学试题 姓名_______________
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
2．因指数函数是增函数（大前提）,而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ）
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错
3．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．
C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，
由此推测各班都超过50人．
D．在数列中，由此归纳出的通项公式．
4．用数学归纳法证明等式：的过程中，第二步假设时等式成立，则当时应得到（ ）
A. B.
5．函数在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（ ）.
A. 1, 1 B. 1, 17 C. 3, 17 D. 9, 19
6．如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数( )
A. B.
C. D.
7．设，若为实数，则( )
A. B. C. D.
8．一个作直线运动的物体，它的速度(米/秒)与时间t（秒）满足，如果它在a秒内的平均速度与２秒时的瞬时速度相等，则a等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共35分）
9．设是原点，向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是_______
10．已知曲线上一点P处的切线与直线平行，则点P的坐标为_______ 11．_______.
12．下列命题中，错误命题的序号是____________．
①两个复数不能比较大小；②z1，z2，z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④z是虚数的一个充要条件是z＋∈R；⑤若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；⑥复数z∈R的一个充要条件是z＝；⑦在复数集内，－1的平方根是±i；⑧z＋z＝0 z1＝z2＝0.
13．已知函数，则=___ _____.
14、.观察下列式子 ( http: / / www. / wxc / ) , … … ,
则可归纳出________________________________ ( http: / / www. / wxc / )
15.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 _________________
三．解答题（本大题共75分）
16．（10分）已知函数，
（1）证明：函数是奇函数； （2）求的单调递增区间。
17.(本题满分10分)数列中，，其前n项和满足，
(1)计算；(2)猜想的表达式并用数学归纳法证明。
18．（本小题满分10分）已知函数，当时，的极大值为7.求（1）的值；（2）函数的极小值．
19．（本小题满分10分）设f(x)=，f′(x)＝2x＋2. 且方程f(x)＝0有两个相等的实根.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
20．（本小题满分10分）
已知中至少有一个小于2.
21．（12分）设函数的图象上以为切点的切线的倾斜角为.
（1）求的值；
（2）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？若存在，求出最小的正整数，若不存在，请说明理由.
22．(本小题满分13分)设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数
的取值范围;
(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.
湖南省湘西州民族中学2011年上学期高二选修2-2（理科）
数学试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．函数的导数是（ C ）
A． B． C． D．
2．因指数函数是增函数（大前提）,而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ A ）
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错
3．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ A ）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．
C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，
由此推测各班都超过50人．
D．在数列中，由此归纳出的通项公式．
4．用数学归纳法证明等式：的过程中，第二步假设时等式成立，则当时应得到（ B ）
A. B.
5．函数在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（ C ）.
A. 1, 1 B. 1, 17 C. 3, 17 D. 9, 19
6．如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数( B )
A. B.
C. D.
7．设，若为实数，则( C )
A. B. C. D.
8．一个作直线运动的物体，它的速度(米/秒)与时间t（秒）满足，如果它在a秒内的平均速度与２秒时的瞬时速度相等，则a等于（ D ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共35分）
9．设是原点，向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是_______
10．已知曲线上一点P处的切线与直线平行，则点P的坐标为_______ （1，1）
11．_______.0
12．下列命题中，错误命题的序号是____________．
①两个复数不能比较大小；②z1，z2，z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④z是虚数的一个充要条件是z＋∈R；⑤若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；⑥复数z∈R的一个充要条件是z＝；⑦在复数集内，－1的平方根是±i；⑧z＋z＝0 z1＝z2＝0.
[答案] ①②③④⑤⑧
[解析] ①错误，两个复数如果都是实数，则可比较大小；②错误，当z1，z2，z3不全是实数时不成立，如z1＝i，z2＝1＋i，z3＝1时满足条件，但z1≠z3；③错误，当x＝－1时，虚部也为零，是实数；④错误，此条件是必要非充分条件；⑤错误，当a＝b＝0时，是实数；⑥是正确的；⑦是正确的；⑧错误，如z1＝i，z2＝1满足i2＋12＝0，但z1≠0，z2≠0.
13．已知函数，则=___ _____. 2
14、.观察下列式子 ( http: / / www. / wxc / ) , … … ,
则可归纳出________________________________ ( http: / / www. / wxc / )
15.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 a<-3或a>6
三．解答题（本大题共75分）
16．（10分）已知函数，
（1）证明：函数是奇函数； （2）求的单调递增区间。
解：（1）证明： 的定义域是R。设任意，
，
函数是奇函数 …… 6分
（2）解：， …… 8分
令，由，解得
所以函数的单调增区间是（-1，1）； …… 10分
17.(本题满分10分)数列中，，其前n项和满足，
(1)计算；(2)猜想的表达式并用数学归纳法证明。
.。。。。。。。4分
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
18．（本小题满分10分）已知函数，当时，的极大值为7.求（1）的值；（2）函数的极小值．
解：（1）由已知得
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（2）由（1），当时，；当时，
故时，取得极小值，极小值为 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
19．（本小题满分10分）设f(x)=，f′(x)＝2x＋2. 且方程f(x)＝0有两个相等的实根.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f′(x)＝2ax＋b，
又已知f′(x)＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等的实根，
∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1..。。。。。。。。。。。。。。。。5分
(2)依题意，所求面积＝－1(x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝.。。。。。。。10分
20．（本小题满分10分）
已知中至少有一个小于2.
证明：假设 都不小于2，则
因为，所以，
即，这与已知相矛盾，故假设不成立
综上中至少有一个小于2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
21．（12分）设函数的图象上以为切点的切线的倾斜角为.
（1）求的值；
（2）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？若存在，求出最小的正整数，若不存在，请说明理由.
解 (1) …… 2分
所以， …… 4分
从而由 故 …… 6分
(2), 当时, 恒成立,
所以时为增函数, …… 8分
∴ …… 10分
由有, 所以. …… 12分
故存在 …… 13分
22．(本小题满分13分)设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数
的取值范围;
(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.
解：（1）函数的定义域为.
由得; 由得,
则增区间为,减区间为..。。。。。。。。。。。。。4分
(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,
由,且,
时, 的最大值为,故时,不等式恒成立.
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
(3)方程即.记,则
.由得;由得.
所以在上递减;在上递增.
而,
所以,当时,方程无解;
当时，方程有一个解;
当时,方程有两个解;
当时,方程有一个解;
当时,方程无解.
综上所述,时,方程无解;
或时,方程有唯一解;
时,方程有两个不等的解.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分