河北省保定市博野县实验中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含答案

博野县实验中学2020-2021学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
单选题（每题五分，共计40分）
（原创）复数Z=4i+3，则||=（）
A．7 B．1 C．5 D．3.5
2、（原题）(2019·上海高一期中)在边长为1的等边三角形ABC中，|－|的值为(　　)
A．1 B．2 C. D．
3、（原题）平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B．2 C．4 D．12
4、在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)
A．2 B. C．3 D．
5、（原题）在不等边三角形中，a是最大的边，若a2A. B. C. D．
6、（原题）已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
7、 如图所示,为矩形所在平面外一点,矩形对角线交点为,为的中点,给出五个结论:①;②平面;③平面;④平面;⑤平面.其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
8．（改编）两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是(　　)
A．7 B．17 C．5或12 D．7或17
二、多选题（每题5分，共20分。少选得三分，多选或者错选不得分）
9．（原题）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　)
A．母线长是20 B．表面积是1 100π
C．高是10 D．体积是π
10、 一个正方体纸盒展开后如右图,在原正方体纸盒中有下列结论:
①; ②与成的角; ③与是异面直线; ④. 其中正确的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
11、 如图,在中,是的中点,是上的一点,且,若,其中,,则( )
A. B.
C. D.
12、 在中,,,为三个内角,,的对边,若,则角( )
A. B. C. D.
三、填空题（每题5分，共20分）
13、（改编）△ABC中，A＝30°，a＝3，则＝________.
14、已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为__________．
15、 如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________。
16、（原题）如图，AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角α＝30°，测得乙楼底部D处的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24 m，则乙楼高CD＝________ m.
简答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17、 如图所示，在□中，分别是的中点，若，试以表示和．
18、 为绘制海底地貌图,测量海底两点,间的距离,海底探测仪沿水平方向在,两点进行测量,,,,在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得,,,,,两点的距离为海里. (1)求的面积; (2)求,之间的距离.
19、已知向量,. (1)若,求的值; (2)若,求.
20、 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点．求证： (1)直线平面； (2)平面平面.
21、 已知的三个内角,,所对的边分别为,,,是锐角,且. (1)求; (2)若,的面积为,求 的值.
22、 已知某圆锥的轴截面是面积为的等边三角形,球内切于该圆锥. (1)求该圆锥的高; (2)求内切球的体积.
博野县实验中学2020-2021学年度第二学期期中考试
高一数学试卷 解析版
单选题（每题五分，共计40分）
（原创）复数Z=4i+3，则||=（）
A．7 B．1
C．5 D．3.5
解析：=-4i+3，则||=5
答案： C
2、（原题）(2019·上海高一期中)在边长为1的等边三角形ABC中，|－|的值为(　　)
A．1 B．2
C. D．
解析　
如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求得AD＝，所以|－|＝.
答案　D
3、（原题）平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B．2
C．4 D．12
解析　∵a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1.∴|a＋2b|＝＝2.
答案　B
4、在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)
A．2 B.
C．3 D．
解析　BC中点为D，＝，∴||＝.
答案　B
5、（原题）在不等边三角形中，a是最大的边，若a2A. B.
C. D．
解析　∵a20，∴cosA>0，A<.∵a是最大的边，∴A是最大的角．又三角形不是等边三角形，∴A>，∴答案　A
6、（原题）已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
解析　由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2，故选D.
答案　D
7、 如图所示,为矩形所在平面外一点,矩形对角线交点为,为的中点,给出五个结论:①;②平面;③平面;④平面;⑤平面.其中正确的个数是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】显然,又平面,平面, ∴平面,平面,∴①②③正确.
8．（改编）两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是(　　)
A．7 B．17
C．5或12 D．7或17
解析　如图①所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝ 12－ 5＝7；如图②所示，若两个平行平面在球心两侧，则CD＝ 12＋ 5＝17.
答案　D
二、多选题（每题5分，共20分。少选得三分，多选或者错选不得分）
9．（原题）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　)
A．母线长是20 B．表面积是1 100π
C．高是10 D．体积是π
解析　
如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π，故选ABD.
答案　ABD
10、 一个正方体纸盒展开后如下图,在原正方体纸盒中有下列结论:
①; ②与成的角; ③与是异面直线; ④.
其中正确的是( )
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
【答案】AC
【解析】将正方体纸盒展开图还原成正方体,如图,
由图知,,与是异面直线,,,只有①③正确.
11、 如图,在中,是的中点,是上的一点,且,若,其中,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A,B,C
【解析】在平行四边形中, 因为是中点，所以,所以, 因为,所以, 所以, 因为,所以,解得,所以,,,故选A、B、C.
12、 在中,,,为三个内角,,的对边,若,则角( )
A. B.
C. D.
【答案】B,D
【解析】根据余弦定理可知,则或.
三、填空题（每题5分，共20分）
13、（改编）△ABC中，A＝30°，a＝3，则＝________.
解析　设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝＝＝＝6.则＝＝2R＝6
答案　6
14、已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为__________．
【答案】.
【解析】圆台的上、下底面半径分别为，，高为，圆台的轴截面是等腰梯形，该圆台的母线长即为等腰梯形的腰长：.
15、 如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________。
【答案】
【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成平面图形——矩形，在矩形中求最短距离即可。如图所示，连接，则即为蚂蚁爬行的最短距离。∵，且，∴=∴蚂蚁爬行的最短路线的长为。
16、（原题）如图，AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角α＝30°，测得乙楼底部D处的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24 m，则乙楼高CD＝________ m.
解析　如图，AE⊥CD，垂足为E，则ED＝AB＝24 m，AE＝＝＝8(m)．
在Rt△ACE中，CE＝AE·tan30°＝8×＝8(m)，所以CD＝CE＋ED＝8＋24＝32(m)．
答案　32
简答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17、 如图所示，在□中，分别是的中点，若，试以表示和．
【答案】(1)， (2)．
【解析】（1）; （2）.
18、已知向量,. (1)若,求的值; (2)若,求.
【答案】见解析
【解析】(1)因为向量,,, 所以,解得:. (2)若,则,解得或; 因此或, 因此或.
19、 为绘制海底地貌图,测量海底两点,间的距离,海底探测仪沿水平方向在,两点进行测量,,,,在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得,,,,,两点的距离为海里. (1)求的面积; (2)求,之间的距离.
【答案】见解析;
【解析】(1)在中∵, ∴, 由正弦定理可得,,, 则的面积(平方海里) (2)∵,, ∴,∴. 在中,由余弦定理得,, 即(海里).
20、 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点．求证： (1)直线平面； (2)平面平面.
【答案】略
【解析】证明：(1)如图，连接， ∵分别是，的中点， ∴. 又∵平面，平面. ∴直线平面.
(2)连接，∵分别是，的中点， ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. 又平面， 且平面，平面，， ∴平面平面.
21、 已知的三个内角,,所对的边分别为,,,是锐角,且. (1)求; (2)若,的面积为,求的值.
【答案】见解析
【解析】(1)∵,由正弦定理得:,∵,∴,又为锐角,∴. (2)由面积公式得:,由余弦定理得:,∴.
22、 (2020安徽省池州市高二期末(理))已知某圆锥的轴截面是面积为的等边三角形,球内切于该圆锥. (1)求该圆锥的高; (2)求内切球的体积.
【答案】见解析
【解析】作出该圆锥的轴截面如图所示: (1)依题意,,解得,故,, 即该圆锥的高为.
(2)依题意,,故, 设,则,故,故, 故圆锥的内切球体积.