2020-2021学年华东师大版八年级数学下册19.2.1 菱形的性质（16张）

第1课时
菱形及其性质
第19章
矩形、菱形与正方形
19.2
菱
形
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
有一个角是直角
菱形的定义
思考
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
一组邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
知识要点
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
要点精析：
(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形;
二是一组邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可；
(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法．
问题1
菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2
猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的
两对角线有什么关系?
猜想1
菱形的四条边都相等.
猜想2
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
菱形的性质
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB
=
BC
=
CD
=AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB
=
CD，AD
=
BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
A
B
C
O
D
证一证
（2）∵AB
=
AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB
=
OD
（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB
=
OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形和中心对称图形.
角：对角相等.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每
条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
例1
如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B.
试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形.
解：
在菱形ABCD中，
∵∠B＋∠BAD＝180°，
∠BAD＝2∠B,
∴∠B＝60°.
在菱形ABCD中，
∵AB＝BC(菱形的四条边都相等），∠B＝60°,
∴△ABC是等边三角形.
例2
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD
相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E.
求∠BCD的大小.
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝CB＝BA(菱形的
四条边都相等).
又∵AE垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴AC＝AD＝DC＝CB＝BA，
即△ADC与△ABC都为等边三角形，
∴∠ACD＝∠ACB＝60°.
∴∠BCD＝120°.
例3
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，BD＝6
cm，AC＝4
cm.
求菱形的周长．
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝
AC，BO＝
BD.
∵AC＝4
cm，BD＝6
cm，
∴AO＝2
cm，BO＝3
cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
∴菱形的周长＝4AB＝
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积?
A
B
C
D
思考
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
菱形的面积
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC
+S△ADC
=
AC·BO+
AC·DO
=
AC(BO+DO)
=
AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积
=
底×高
=
对角线乘积的一半
菱形的面积计算有如下方法：
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
例4
如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
所以S△AOB＝
OA·OB＝
×5×12＝30，
所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
因为
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
所以13h＝120，得h＝
.
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角