2020-2021学年华东师大版八年级下册18.1.2 平行四边形的对角线性质 课件（共23张）

第2课时 平行四边形的
对角线性质
第18章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
1. 平行四边形的定义是什么？
2. 平行四边形的边、角有哪些性质？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的邻角互补.
思考：平行四边形除了以上边和角的特征，其对角线有什么特征呢？这节课我们一起探讨一下吧.
复习回顾
我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢?
A
B
C
D
O
如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.
OA与OC,OB与OD有什么关系?
猜一猜
OA=OC,OB=OD
怎样证明这个猜想呢？
平行四边形的性质——对角线互相平分
已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证一证
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质定理3
应用格式：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O
∴ OA=OC，OB=OD.
归纳总结
例1 如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD,
∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OF＝OE，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB，
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF.
如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB = 6，那么对角线AC与BD的和是多少？
在 ABCD中，
∵AB = 6, AO +BO +AB = 15,
∴AO+BO =15-6 =9.
又∵AO =OC, BO =OD
(平行四边形的对角线互相平分)，
∴AC+BD=2AO+2BO= 2(AO+ BO) =2×9=18.
解：
例2
A
C
D
B
O
例3 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE（AAS）,
∴AB∥CD, OD=OB,
∴OE=OF.
思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗?
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
(1)
(2)
议一议：在上述问题中，若直线EF与边DA、BC的延长线交于点E、F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
●
●
●
议一议：在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下
图(3)、(4)的位置时，上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
(1)
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
(3)
(4)
●
O
D
C
B
A
E
F
(4)
●
●
●
●
再变一变
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等．
归纳总结
例4
如图，已知 ABCD的周长是60，对角线AC，BD相交于点O.若△AOB的周长比△BOC的周长长8，求这个平行四边形各边的长．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，
OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，
∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8.
∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11，
即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.
解：
例5
如图，已知?ABCD与?EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上，求证：AE＝CF.
如图，连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD是平行四边形，
∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，
∴AE＝CF(等式的性质)．
证明：
平行四边形的面积
1.面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；
2.等底等高的平行四边形的面积相等．
要点精析：
(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；
(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：
三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
拓展：
(1)两等底平行四边形(三角形)面积的比等于它们高的比；
(2)两等高平行四边形(三角形)面积的比等于它们底的比．
3.根据平行四边形的两组对边相等，可知平行四边形的周长等于两邻边和的2倍．
如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC， AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是________．
例6
20
如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6， ∠B＝30°，则此平行四边形的面积是(　　)
A．6　　　
B．12　　　
C．18　　　
D．24
例7
B
拓展：
(1)平行四边形的两条对角线把它
分割成四个面积相等的三角形；
且都等于平行四边形面积的四分之一.
相对的两个三角形全等.
数学表达式：
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD
相交于点O，
∴S△ABO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ADO= S ABCD.
A
C
D
B
O
A
B
C
D
O
F
E
例8 如图，AC,BD交于点O,EF过点O, ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
M
N
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
思考 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
归纳
同例5易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
若一条直线过平行四边形两条
对角线的交点，则该直线平分平
行四边形的周长和面积．
数学表达式：如图，
∵直线EF过平行四边形ABCD两对角线的交点O，
∴AE＋AB＋BF＝FC＋CD＋DE
＝ (AB＋BC＋CD＋DA)，
S四边形ABFE＝S四边形FCDE＝
1.平行四边形的性质：
(1)边：平行四边形的对边相等.
(2)角：平行四边形的对角相等.
(3)对角线：平行四边形的对角线相等.
2.平行四边形的面积：
(1)面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四
边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；
(2)等底等高的平行四边形的面积相等．
拓展：
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等．
平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的两邻边之差
平行四边形的两条对角线把它分割成四个面积相等的三角形；且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积．