2020--2021学年华东师大版九年级数学下册 27.2.3 切　线（共24张）

第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
第3课时 切　线　
根据图形，回答以下问题：
（1） 在图中，直线l分别与⊙O的是什么关系？
（2）在上边三个图中，哪个图中的直线l 是圆的切线？
你是怎样判断的？
Ｏ
A
B
C
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?
（2）二者位置有什么关系？为什么？
O
1
知识点
切线的判定
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
要点归纳
要点精析：切线必须同时具备两个条件：
(1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于半径．
判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
例1 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，点A,且AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴ AC是☉O的切线.
A
O
C
B
例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，
　　O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
对比思考
？
作垂直
连接
方法归纳
(1) 有切点，连半径，证垂直;
(2) 无切点，作垂直，证半径.
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
有切线时常用辅助线添加方法
(1) 见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
要点归纳
?
1
?
导引：
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∠BAC的平分线交BC于点D，以点
D为圆心，DB为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切．
2
直线AC是否与⊙D有公共点不确定，不能像上例那样
“连半径，证垂直”，为此，过D点作DF⊥AC于点F，
由d＝r?直线与圆相切可知，只需证DF＝DB即可．
导引：
如图，过点D作DF⊥AC于点F.
∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB.
又∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DB.
∴AC与⊙D相切．
证明：
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
A
l
O
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
2
知识点
切线的性质
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
（2）则OMC
D
B
O
A
（3）所以AB与CD垂直.
M
证法1：反证法.
性质定理的证明
C
D
O
A
证法2：构造法.
作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
1. 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
要点精析：
(1)性质定理的题设有两个条件：
①圆的切线；②半径过切点，应用时缺一不可．
(2)切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理
是在未知相切而要证明相切的情况下使用，切线的性
质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用；它
们是一个互逆的过程，不要混淆．
2. 切线的性质：
温故：(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)圆心到切线的距离等于半径；
(3)圆的切线垂直于过切点的半径．
知新：(推论)
(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用)；
(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用)．
以上(3)(4)(5)可归纳为：
已知直线满足：①过圆心；②过切点；③垂直于切线
中的任意两个，就可得到第三个．
拓展：
(1)弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相交(弦)，另
一边与圆相切(切线)的角叫做弦切角．
(2)弦切角的性质：弦切角的度数等于它所夹弧所对的
圆周角的度数，亦等于它所夹弧的度数的一半，也
等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半．
如图所示，AB 为⊙ O 的直径，PD 切⊙ O 于点C，
交AB 的延长线于点D，且∠ D=2 ∠ CAD.
（1）求∠ D 的度数.
（2）若CD=2，求BD 的长.
例3
（1）利用“等半径”得等腰三角形；
（2）利用“切线”垂直于过切点的半径构成直角三
角形，再结合相关性质求解.
导引：
?
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.