2020-2021学年华东师大版九年级下册26.2.2 二次函数y=ax2 c的图象与性质课件（共19张）

第26章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax?+c
的图象与性质
已知二次函数
① y=-x2; ② y= x2; ③ y=15x2;
④ y=-4x2; ⑤ y=- x2; ⑥ y=4x2.
(1)其中开口向上的有 (填题号)；
(2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号).
②③⑥
⑤
①④⑤
复习引入
1．二次函数y＝x2的图象具有哪些性质？
2．猜想二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的
图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
3. 直线y=kx+b可以通过平移y=kx得到，那么抛物线
y=ax2+c能否通过平移y=ax2得到？
1
知识点
二次函数y=ax2+c的图象
你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1、y＝2x2 -1的图象吗?
探究归纳
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x
···
－2
－1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1
···
···
y = 2x2－1
···
···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y =2 x2
向上
(0,0)
y轴
y =2 x2＋1
y = 2x2－1
二次函数
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
向上
向上
(0,1)
(0,-1)
y轴
y轴
y
-2
-2
4
2
2
-4
x
0
做一做
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
2
知识点
二次函数y=ax2+c的性质
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________
(5)顶点都是最____点，函数都有
最____值，从上而下最大值分别
为_______、_______﹑________
(6) 函数的增减性都相同：
____________________________
_____________________________
抛物线
向下
直线x=0(y轴)
( 0,0)
( 0，2)
( 0,-2)
高
大
y=0
y= -2
y=2
y
-2
-2
2
2
-4
x
0
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的性质
y=ax2+c
a＞0
a＜0
图象
c>0 c<0

c>0 c<0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0,c）
（0,c）
最值
抛物线有最低点，
当x=0时，y最小值=c
抛物线有最高点，
当x=0时，y最大值=c
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
知识要点
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
(2) 抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
3
知识点
二次函数y=ax2+c与y=ax2之间的关系
二次函数y＝ax2＋c的图象的形状与二次函数y＝ax2的图象的形状相同,二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
(2)抛物线y1＝ax2＋k1与y2＝ax2＋k2可以相互平移得到．
当k1＞k2时，将抛物线y1＝ax2＋k1向下平移(k1－k2)
个单位可得抛物线y2＝ax2＋k2；
当k1＜k2时，将抛物线y1＝ax2＋k1向上平移(k2－k1)个单位 可得抛物线y2＝ax2＋k2.
例1 已知二次函数y＝ x2＋4.
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和
最值．
(2)若点(x1，y1)、(x2，y2)在该二次函数的图象上，
且x1＞x2＞0，试比较y1与y2的大小关系．
(3)抛物线y＝ x2－1可以由抛物线y＝ x2＋4
平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果
不可以，请说明理由．
(1)因为a＝ ＜0，所以它的图象的开口向下，对
称轴为y轴，顶点坐标为(0，4)，当x＝0时，y最
大值＝4.
(2)因为抛物线的开口向下，对称轴为y轴，所以当x
＞0时，y随x的增大而减小．所以当x1＞x2＞0时，
y1＜y2.
(3)抛物线y＝ x2－1可以由抛物线y＝ x2＋4
平移得到，其平移方法是：将抛物线y＝ x2
＋4向下平移5个单位
解：
例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
c
方法总结： 二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
例3 将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的表达式为(　　 )
A．y＝x2－1　　　　　　B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝x2的图
象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的表达
式为y＝x2－1.
导引：
A
想一想
1.画抛物线y=ax2+c的图象有几步？
2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.
当堂练习
1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　
2、填表：
y = 2x2－４
函数
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
解二次函数y＝ax2＋c的问题要注意两点：
(1)二次项系数的符号?开口方向．
二次项系数的绝对值相等?抛物线的形状相同；
c?顶点的纵坐标．
(2)抛物线y＝ax2＋c可由抛物线y＝ax2向上(下)平移得
到，可简记为“上加下减”．