6.4平面向量的应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解并利用正余弦定理理解三角形
2、掌握平面几何中的向量方法
3、理解三角形的实际应用
余弦定理、正弦定理
1、余弦定理：三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即；
,
余弦定理得推论；
cosA=，cosB=,cosC=
2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；
二、正弦定理的变形：
1.
2.
三、正、余弦定理的综合运用
三角形的面积公式
三角形面积的公式
S=
S=
S
S
1.在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
.
（1）求角
的大小；
（2）若
边上的中线
，求
面积的最大值.
【答案】
（1）解：依题意有
.
∴
，
，∴
，又
解得
，
，∴
（2）解：
，
，即
∴
，当且仅当
时成立.
故
面积的最大值为
【考点】函数的最值及其几何意义，三角函数中的恒等变换应用，正弦定理
【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可求cosA的值，结合A的范围可求出A的值即可．
（2）由题意可得
，
两边平方，利用基本不等式可求出进而根据三角形的面积公式即可求解△ABC面积的最大值．
2.在圆内接四边形
中，
求
面积的最大值.
【答案】
解：因为四边形
是圆内接四边形，可得
，
又因为
，所以
，
在
中，因为
，可得
，
由正弦定理得
，所以得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，
当且仅当
时，取等号，即
，
所以
，
即
面积的最大值为
.
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】
由圆内接四边形的性质可得?
，
在△ABC中，利用正弦定理得
，
再在△ACD中，结合余弦定理和基本不等式推出AD?CD≤24，最后由
，即可得解．
3.在
中，
．
（1）求B；
（2）若
，
的面积为
，求
的周长．
【答案】
（1）解：由
，得
，
∴
，即
，
∴
．
由正弦定理，得
，又
，
∴
，即
，
，
∴
（2）解：由
的面积为
，得
，解得
，即
．
由余弦定理
，可得
，解得
．
∴
的周长为
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，余弦定理
【解析】
（1）由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，可得tanB的值，结合0＜B＜π，可得B的值．
（2）由题意利用三角形的面积公式可求a的值，进而可求c的值，由余弦定理可求b的值，即可求解△ABC的周长的值．
4.在①
，②
这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.
问题：
的内角
的对边分别为
，已知????????????
.
（1）求
；
（2）若
为
的中点，
，求
的面积的最大值.
【答案】
（1）解：选择条件①：
，
由正弦定理得，
.
又在
中，
,
.
又
，
.
，即
.
又
，
.
选择条件②：
，
由正弦定理得，
.
又
，
.
，
即
.
，
即
.
又
，
（2）解：有题意知
.
，即
.
又
，
（当且仅当
时等号成立）.
由三角形面积公式可知
.
的面积的最大值为
【考点】同角三角函数间的基本关系，正弦定理，三角形中的几何计算
【解析】（1）
在①
，②
这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到横线上并作答。
选择条件①
，利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，进而结合三角形中角C的取值范围和同角三角函数的基本关系式，进而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值；
选择条件②
，利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，进而结合同角三角函数的基本关系式，进而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值。
（2）利用
为
的中点，
，
结合平行四边形法则结合数量积求向量的模的公式，再结合数量积的运算法则结合数量积的定义，进而结合均值不等式求最值的方法，从而求出ac的最大值，再利用三角形的面积公式，从而求出三角形面积的最大值。
1.在
中，内角
，
，
的对边
，
，
依次成等差数列，
的周长为15，且
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为
，
，
，
均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，
的最大值为（???
）
A.?18?????????????????????????????????????????B.?24?????????????????????????????????????????C.?36?????????????????????????????????????????D.?48
3.如图，在
ABC中，∠BAC=
，点D在线段BC上，AD⊥AC，
，则sinC=（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.若复数
，复数
在复平面对应的点为
，则向量
(
为原点)的模
（???
）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
∵
，所以
，
由正弦定理得
，
又因为
，
，
依次成等差数列，
的周长为15，即
，
由
，解得
，
。
2.【答案】
C
【解析】
骑行过程中，
相对不动，只有
点绕
点作圆周运动．
如图，以
为
轴，
为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意
，
，
，
圆
方程为
，设
，
则
，
，
，
易知当
时，
取得最大值36．
【答案】
B
【解析】
在
中，
，解得
又因为
，所以
。
4.【答案】
C
【解析】
由题意，复数
，
又由
.