7.1复数的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解复数概念的应用
2、掌握复数的模的计算
3、理解复数的几何意义
一、复数的概念
我们把形如的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.
全体复数梭构成的集合C=叫做复数集，其中
1、复数的分类
对于复数【a，b】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R,是复数集C的真子集，即.
2、复数相等的充要条件
在复数集C=中任取两个数，【a，b，c，d∈R】，
规定：与相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。
二、复数的几何意义
复数z=a+bi.这是复数的一种几何意义.
复数的几何意义---与向量对应
复数z=a+bi,这是复数的另一种几何意义.
1、复数的模和共轭复数
1.向量模叫做复数z=,的模或绝对值，记作或.即==，其中a,b∈R，表示复平面内的点Z到原点的距离。
2.如果b=0，那么z=是一个实数a，它的模就等于.
共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于
0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi,那么=a-bi.
特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.
1.设复数z的实部为正数，满足
，且复数
在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
（1）求复数z；
（2）若有
，
，对任意
均有
成立，试求实数a的取值范围.
【答案】
（1）解：设
，
①，
，且在一、三象限角平分线上，
②
由①、②得
或
，
，
，
；
（2）解：
，
，
，
，
均有
成立，
∴
，即
对
恒成立，
①
时，
恒成立，
②
，
，解得
，
综上所述，
【考点】函数恒成立问题，复数的代数表示法及其几何意义，复数求模
【解析】（1）利用已知条件结合复数求模公式，进而求出a,b的第一个方程，再利用复数的乘除法运算法则结合复数的几何意义，再结合已知条件复数
在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，进而求出a,b的第二个方程，联立方程组求出a,b的值，从而求出复数z。
（2）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系和复数乘法运算法则，再结合复数求模公式和已知条件对任意
均有
成立，再结合分类讨论的方法，进而求出实数a的取值范围。
?
2.
为虚数单位，
且
是纯虚数，
（1）求
的取值范围；
（2）若
，
，
，求
的最小值.
【答案】
（1）解：
，
因为
为纯虚数，
所以
且
，
所以
或
，
当
时，
，
当
时，
，
，
所以
，
综上：
.
（2）解：由（1）
或
，又
，
所以
，
，
，
，
由题意知
，
所以
，
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】(1)根据题意首先整理代数式结合已知条件为纯虚数，即可计算出a、b的关系式，分情况讨论即可求出的代数式，结合a的取值范围即可得出结果。
(2)由(1)的结论得出a的取值范围
，
结合题意整理即可得出；再由即可求出
，
整理化简结合基本不等式即可求出最小值。
3.已知复数
（1）若
，求角
；
（2）复数
对应的向量分别是
，其中
为坐标原点，求
的取值范围.
【答案】
（1）解：由
，
可得
，
由
，可得：
，
所以
，所以
或
；
（2）解：由题意可得
，
由
，所以
，
所以
，
所以
的取值范围为
.
【考点】数量积的坐标表达式，复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，三角函数的最值
【解析】（1）利用已知条件结合复数乘法运算法则，进而求出复数
，
再利用复数为实数的判断方法结合
，
从而结合二倍角的正弦公式求出角的值。
（2）利用复数的几何意义求出复数
分别对应的向量
的坐标，再利用复数的乘法运算法则结合辅助角公式，将
转化为正弦型函数，再利用
，
结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的值域，进而求出
的取值范围。
4.设
分别是方程
的两个虚数根.
（1）求a的取值范围及
的值；
（2）若
，求a的值.
【答案】
（1）解：由方程
有两个虚数根
所以
，解得
由
是方程
的两个虚数根.
可得
，不妨设
,
所以
（2）解：由（1）可得
根据
，即
，解得
【考点】复数求模，根的存在性及根的个数判断
【解析】（1）由条件可得
，得出a的取值范围，根据求根公式可求得方程虚数根
，代入
，可得到答案.（2）由（1）可得
，代入条件，即可得出答案.
1.设复数
，那么在复平面内复数
对应的点位于（???
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
2.复数
的虚部为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?-2?????????????????????????????????????????D.?2
3.如图，若向量
对应的复数为
，且
，则
（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
4.若复数
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
，
，
因此，复数
在复平面内对应的点位于第三象限。
2.【答案】
D
【解析】
因为
，
所以虚部为2。
3.【答案】
D
【解析】
由题意，设
，则
，解得
，即
，
所以
．
4.【答案】
A
【解析】
，
.
故答案为：A
【分析】根据题意由复数的运算性质整理化简再由复数的模的定义计算出答案。