7.3复数的三角表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解复数的三角表示式
2、掌握复数相等的充要条件
3、理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一、复数的三角表示式
记向量的模==r,由图7.3-1可以得到，
所以，=rcos=r（cos+sin），
其中
r=，
cos=，
sin=.
这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角表示复数z.
（1）一般地，任何一个复数z=a+bi,都可以表示为
r=（cos+icos）的形式
其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始，向量所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角．r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。
（2)规定：在0≤<2π范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作
argz,即0≤argz<2π.
3π
例如，,,=π,=
二、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到，
=（cos+isin）·（cos+isin）
=（cos+isin）（cos+isin）
=[(coscos-sinsin)]
=[cos（+）+isin（+）
则
(cos+isin)·(cos+isin)
=[cos(+)+isin(+)]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
1、复数除法运算的三角表示
设=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因为
(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，
所以根据复数除法的定义，有，
[cos(-)+isin(-]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
1.已知正六棱锥
的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量
表示所得三角形的面积.
（1）求概率
的值；
（2）求
的分布列，并求其数学期望
．
【答案】
（1）解：从
个顶点中随机选取
个点构成三角形，
共有
种取法，其中
的三角形如
，
这类三角形共有
个
因此
.
（2）解：由题意，
的可能取值为
其中
的三角形如
，这类三角形共有
个；
其中
的三角形有两类，，如
（
个），
（
个），共有
个；
其中
的三角形如
，这类三角形共有
个；
其中
的三角形如
，这类三角形共有
个；
其中
的三角形如
，这类三角形共有
个；
因此
所以随机变量的概率分布列为：
所求数学期望
.
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）先求出共有
种取法，
再得到满足
的三角形共有
个，即可求出概率
的值；
（2）由题意写出
的可能取值，分别求出概率，即可得到
的分布列，并求其数学期望
.
2.已知复数z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣9m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时：
（1）z为实数？
（2）z为纯虚数？
（3）A位于第三象限？
【答案】
（1）解：∵z为实数，∴m2﹣9m+18=0，解得m=3或6．
∴当m=3或6时，z=0，3为实数
（2）解：∵z为纯虚数，∴
，解得m=5
（3）解：∵z在复平面内表示的点A在第三象限，
∴
解得3＜m＜5．
∴当3＜m＜5时，A位于第三象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】利用复数的几何意义、及复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．
3.已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，当实数m取什么值时，复数z是：
（1）零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i；（4）表示复数z对应的点在第四象限．
【答案】
解：（1）由可得m=1；（2）由可得m=0；（3）由可得m=2；（4）由题意
，
解得即﹣3＜m＜0。
【考点】复数的基本概念
【解析】（1）实部与虚部同时为零，求解即可；
????????????
（2）实部为0，虚部不为0，复数是纯虚数，求出m即可；
????????????
（3）实部为2，虚部为5求解即可得到m的值，使得z=2+5i
????????????
（4）表示复数z对应的点在第四象限．实部大于0，虚部小于哦，求出m的范围即可。
4.将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，
分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.图中三角形阴影部分的三个顶点为
、
）和
.
（1）若点
落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A，求事件
的概率；
（2）若点
落在直线
（
为常数）上，且使此事件的概率p最大，求m和p的值.
【答案】
（1）解：基本事件总数为
,
如图满足在阴影三角形内的有：
当
时，
，2，3；
当
时，
，2；
当
时，
﹒
共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6个点落在条件区域内，
.
（2）解：点
落在
（
为常数）的直线上，且使此事件的概率最大.
只需基本事件最多.
由
，将直线
平移，如图可知,当
.
即当
时，（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）基本事件最多，共有6种
此时
最大.
【考点】二元一次不等式的几何意义，古典概型及其概率计算公式
【解析】（1）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为6×6，画出图形，满足条件的事件
可以列举出有6个整点，根据古典概型概率公式得到结果．（2）点
落在
（
为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，由
，画出图形，直线
过
时适合，求得
，此时有6个整点，得到结果．
1.已知复数
满足
，则在复平面内复数
表示的点位于（???
）．
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
2.已知复数
，
表示复数z的共轭复数，则复数
的模是（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?25??????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.?6
3.欧拉公式为
,(
虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，
表示的复数位于复平面中的（???
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
4.已知i是虚数单位，复数z满足
，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（??
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
设
（a，b
），其共轭复数为：
，
由条件可得：
即
，所以
，
，
所以
，在复平面内对应的点的坐标为
，位于第四象限.
2.【答案】
C
【解析】
，
，
所以
，
3.【答案】
A
【解析】
根据题意
，故
，表示的复数在第一象限.
4.【答案】
A
【解析】
复数z满足
，∴
，
∴
，∴
．
∴
．
则复平面内表示z的共轭复数的点
在第一象限．