8.1基本立体图形-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解简单几何体的结构特征
2、掌握简单几何体与求的综合问题
3、理解空间几何体
一、基本立体图形
1棱柱的结构特征
一般地,有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互侧相平行，由这
些面所围成的几何体叫做棱柱.如图1.1-2
在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公
共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
棱锥的结构特征
如图1.1-3
一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥
.这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;
3.圆柱的结构特征
如图1.1-4
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面
叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
4.圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.如图1.1-5
圆锥也有轴、底面、侧面和母线.
5.棱台于圆台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分，这样的几何体叫做棱台(如图1.1-6).在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点.
用一个平行于圆锥底面的平面曲截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体
(如图1.1-7)叫做圆台.
6.球的结构
如图1.1-8，以半圆的直径所在直线为旋转轴.半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体.简称球.半圆的圆心叫做球的球心.半圆的半径叫做球的半径.半圆的直径叫做球的直径.
1.已知圆台上、下底面的底面积分别为
，
，且母线长为13．
（1）求圆台的高；
（2）求圆台的侧面积．
【答案】
（1）解：依题意，圆台的上底面半径
，下底面半径
，
故圆台的高
（2）解：圆台的侧面积
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】（1）利用已知条件结合圆的面积公式，进而求出圆台的上底面半径和下底面半径，再利用勾股定理求出圆台的高。
（2）再根据（1）求出的圆台的高和已知条件，再结合圆台的侧面积公式，进而求出圆台的侧面积。
2.如图所示，正四棱台
的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.
【答案】
解：设棱台两底面的中心分别是点O和
，
，BC的中点分别是
，E.连接
，
，
，OB，
，OE，则四边形
，
都是直角梯形，如图.
正方形ABCD中，∵
，
∴
，
.
在正方形
中，∵
，
∴
，
.
在直角梯形
中，
.
在直角梯形
中，
.
故这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为
.
【考点】棱台的结构特征
【解析】根据题意作出辅助线由棱台的性质结合直角梯形以及正方形结合勾股定理计算出棱长以及高的值。
3.如图，在四边形
中，
，
，
，
，
，求四边形
绕直线
旋转一周所成几何体的表面积及体积.
【答案】
解：可得四边形
绕直线
旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，
，则
是等腰直角三角形，
，
，
，
.
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】利用平面图形旋转一圈所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，再利用组合体的表面积和体积公式求解方法，从而求出四边形
绕直线
旋转一周所成几何体的表面积及体积。
?
4.如图所示，在长方体
，
，
，
，
为棱
的中点，分别以
，所在的直线为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系.
（1）求点
的坐标；
（2）求点
的坐标.
【答案】
（1）解：由已知，得
由于点
在
轴的正半轴上，
，故
.
同理可得，
，
.
由于点
在坐标平面
内，
，
，故
.
同理可得，
，
.
与点
的坐标相比，点
的坐标中只有竖坐标不同，
，则
.
（2）解：由（1）知，知
，
，
则
的中点为
，即
.
【考点】棱柱的结构特征，空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】（1）根据点所在位置，结合几何体的棱长，即可容易求得点的坐标；（2）由中点坐标公式即可容易求得结果.
1.在直三棱柱
中，
，
，若该直三棱柱的外接球表面积为
，则此直三棱柱的高为（?
??）．
A.?4????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（???
）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
3.如图，正方体
中，
为线段
上的动点，则下列结论错误的是（???
）
A.?????????????????????????????????????????????????????????B.?异面直线
与
不可能垂直
C.?
不可能是直角或者钝角????????????????????????D.?
的取值范围是
4.在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积是（???
）
A.?14π?????????????????????????????????????B.?16π?????????????????????????????????????C.?18π?????????????????????????????????????D.?20π
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
解：因为
，所以将直三棱柱
补成长方体
，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，
设球的半径为
，则
，解得
，
设直三棱柱的高为
，则
，即
，
解得
，所以直三棱柱的高为
，
2.【答案】
A
【解析】
由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，其体积为
，
小球在12条边活动不到的空间相当于高为2，底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为
，高为2的圆柱剩下的部分，且有3个，则其体积为
，
则小球不能到达的空间的体积为
。
3.【答案】
D
【解析】
如图，
设正方体棱长为2，
在正方体中易知
平面
，
为线段
上的动点，则
平面
,所以
，A符合题意；
因为异面直线
与
所成的角即为
与
所成的角，在
中不可能
与
垂直，所以异面直线
与
不可能垂直，B符合题意；
由正方体棱长为2，则
，
所以由余弦定理知
，即
不可能是直角或者钝角，C符合题意；
设
，则
，
，
由余弦定理，
，
当
时，
，所以
为钝角，D不符合题意.
4.【答案】
D
【解析】
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，
则
，所以
，
由
平面
，则
，
，
所以
平面
，
所以
，
所以
为直角三角形，
又
为直角三角形，
所以
是外接球直径，O是
的中点，即为球心，
又
，
所以
，
所以外接球半径为
，
所以球O的体积
。