8.2立体图形的直观图-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
2、会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图
3、会根据斜二测画法规则进行相关运算
1、直观图
定义:直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何图获得的图形，画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。
因此，直观图汪汪与立体图形的真实形状不完全相同。
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形
画法：斜二测画法和正等测画法.
2、斜二测画法规则
(1）在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x，轴与y'轴，两轴相交于点O，，且=45°（或135°)，它们确定的平面表示水平面
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段。在直观图中分剔画成平行于x，轴与y，轴的线段
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半
给出斜二测具体步骤
（1）在已知图形中取互相垂直的X轴Y轴，两轴相交于O，画直观图时，把他们画成对应的X'轴与Y'轴，两轴交于O'。且使∠X'O'Y'=45°（或135°）。他们确定的平面表示水平面。
（2）已知图形中平行于X轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于X'轴或y'轴的线段。
（3）已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于Y轴的线段，在直观图中长度为原来一半。
1.如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.
【答案】
解：画法：⑴先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°(如图1).
⑵在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0).
⑶在x′轴上截取O′E′=OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′=1.5.
⑷同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′=0.5，C′H′=3，
D′F′=2.5.
⑸连线成图(去掉辅助线)(如图2).
【考点】斜二测画法直观图
【解析】每一点的横坐标不变，纵坐标减半，在连接四个点得到直观图形.
2.将图中所给水平放置的直观图绘出原形．
【答案】
解：如图所示：
【考点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】题目中给了直观图，要画出一般的图；规律是，横坐标不变，即和横轴平行或者重合的线段长度不变，故原图的长还是3
，和纵轴平行或者重合的线段变为原来的二倍，高变为原来的2倍。按照这个画出即可。
【分析】根据题意结合已知条件利用直观图与实际图形的转换特点：平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，即可得出原来的图形。
用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB的直观图．
3.【答案】解：⑴在已知图中，以O为坐标原点，以OB所在的直线及垂直于OB的直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，过点A作AM垂直x轴于点M，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O′，画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
⑵在x′轴上取点B′，M′，使O′B′＝OB，O′M′＝OM，过点M′作MA′∥y′轴，取M′A′＝
MA.连接O′A′，B′A′，如图2.
⑶擦去辅助线，则△O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图．
【考点】斜二测法画直观图
【解析】根据题意结合已知条件首先作出坐标系，再利用直观图与实际图形的画法转化特点：平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，分别画出边的长度进而得到△O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图。
4.已知正三棱锥V﹣ABC的正视图和俯视图如图所示．
（1）画出该三棱锥的侧视图和直观图．
（2）求出侧视图的面积．
【答案】
（1）解：由题意，此物体的直观图如图．
（2）解：根据三视图间的关系可得BC=2
，
棱锥的高在底面上的投影是底面的中心，其到点A的距离是底面三角形高的
倍
三角形VBC的高是
=3，故高在底面上的投影到点A的距离是2
由勾股定理知，棱锥的高为
=
=2
，
∴S△VBC=
×2
×2
=6
【考点】简单空间图形的三视图，斜二测画法直观图
【解析】（1）由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的一边与正视图的投影线平行，如此其正视图中较长的边是正三棱锥的侧棱，底边是底面正三角形的高，由俯视图知底面是边长是2
的正三角形，一条侧棱长是4，由此作出其直观图．（2）欲求侧视图的面积，由于侧视图是底边长为2
的等腰三角形，其高是棱锥的高，故求出棱锥的高即可．
1.若水平放置的四边形
按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中
，
，
，
，则原四边形
的面积为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形
，且
，
平行于
轴，则这个平面图形的面积为（???
）
A.?5??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
3.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），
，则该平面图形的面积为（???
）
A.?3??????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
4.把
按斜二测画法得到
（如图所示），其中
，
，那么
是一个（??
）
A.?等边三角形?????????????????B.?直角三角形?????????????????C.?等腰三角形?????????????????D.?三边互不相等的三角形
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
根据图象可得，四边形
水平放置的直观图为直角梯形，且
，
，
，
，
，
，
，
，且
，
，所以，
原四边形
的面积为
，
2.【答案】
B
【解析】
根据斜二测画法的规则可知：
水平放置的图形OABC为一个直角梯形，
由题意可知上底为OA=2，高为AB=2
，
下底为BC=2+1=3，
∴该图形的面积为
，
3.【答案】
A
【解析】
由
根据斜二测画法可知：
原平面图形为：下底边长为2，上底为1，高为2的直角梯形，
所以
.
4.【答案】
A
【解析】
根据斜二侧画法还原
在直角坐标系的图形，如下图所示：
由图易得
，故
为等边三角形，