8.3简单几何的表面积与体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解空间几何体的表面积、侧面积
2、掌握空间几何体的体积
3、理解空间几何的应用与运算
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
棱锥：椎体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
棱台：台体的上、下底面面积分别为，,高为h，则
二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积
1、表面积
圆柱表面积：（r是底面半径，l是母线长）
2.圆锥表面积：=（r是底面半径，l是母线长）
3.圆台表面积：（分别是上、下底面半径，是母线长）
4.球的表面积：
2、体积
（1）圆柱体积：（r是底面半径，h是高）
（2）圆锥体积：（r是底面半径，h是高）
（3）圆台体积：（分别是上、下底面半径，是高）
（4）球的体积：
1.已知在三棱柱
中，
，
，侧棱与底面垂直，点
，
分别是棱
，
的中点.
（1）求三棱柱
外接球的表面积；
（2）设平面
截三棱柱
的外接球面所得小圆的圆心为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】
（1）解：据已知条件，取
的中点
，以
所在的直线为
轴，以
所在的直线为
轴，以过点
且和
平行的直线为
轴，建立空间直角坐标系如图所示：
由已知可得
，
，
，
，
，
，
设球心
的坐标为
，则
，且
所以
，
解得：
，
，所以
，
所以
，
所以外接球的表面积
（2）解：由（1）可知：所以
，
，
因为
，所以
，
同理
，
设平面
的法向量
，
则
，
即
，取
，则
，
，
所以
，
由（1）可知，截面圆的圆心
在
的延长线上，且
，
所以
，
设直线
与平面
所成的角大小为
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【考点】球的体积和表面积，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】（1）
利用已知条件，取
的中点
，以
所在的直线为
轴，以
所在的直线为
轴，以过点
且和
平行的直线为
轴，建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用已知条件求出球心的坐标，再结合两点距离公式求出球的半径，再结合球的表面积公式，进而求出三棱柱
外接球的表面积。
（2）
由（1）可知
，
，
再利用向量共线的坐标表示结合三角形法则和向量的坐标运算，进而结合向量的数量积求夹角公式，进而结合诱导公式求出直线
与平面
所成角的正弦值。
2.如图，已知三棱柱
的底面是边长为2的正三角形，侧面
为菱形，
为其两对角线的交点，
，
，
，
分别为
，
的中点，顶点
在底面
的射影
为底面中心．
（1）求证：
平面
，且
平面
；
（2）求三棱锥
的体积．
【答案】
（1）证明：如图所示：
取
的中点
，连接
，
，
因为
为的中点，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
同理
平面
，
又
，
所以平面
平面
，
又
平面
，
所以
平面
.
因为侧面
为菱形，
，
所以
，
，则
，
，
又
，
所以在
中，
，
所以
，因为
，
所以
，
又
，且
，
所以
平面
（2）解：由（1）知
平面
，所以
是三棱锥的高，
又
，则
，
所以平行四边形
是矩形，
所以
，
则
，
则
，
所以
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）①取AA1中点M，利用中位线定理证明DM∥AC1
，
EM∥AB，从而可证明平面DME∥平面ABC1
，
即可证明DE∥平面ABC1；②已知B1O⊥平面ABC，从而证明AB⊥B1O，再利用三角形的中心，得到CO⊥AB，证出AB⊥平面CB1O，可得B1C⊥AB，由侧面BCC1B1为菱形，即可证明BC1⊥平面ABC1；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出两个平面的法向量，然后利用向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．
3.如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，
，
分别为
，
的中点，平面
平面
，且
.
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积.
【答案】
（1）证明：连接
，则
是
的中点，
为
的中点，
故在
中，
，
且
平面
，
平面
，
∴
平面
.
（2）解：取
的中点
，连接
，
∵
，
∴
，
又平面
平面
，平面
平面
，
∴
平面
，
∴
.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定
【解析】(1)根据题意作出辅助线结合中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件作出辅助线再由中点的性质结合三角形的性质即可得出线线垂直，结合面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，进而得出平面的高线，结合已知条件由三棱锥的条件公式代入数值计算出结果即可。
4.如图，在三棱锥
中，
，O是
的中点，
，
.
（1）证明：
；
（2）求三棱锥
的体积.
【答案】
（1）证明：
，O是
的中点，
，
，
平面
，
（2）解：
，
，
平面
，即
是三棱锥的高，
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】（1）利用
，O是
的中点，结合等腰三角形三线合一，推出线线垂直，所以
，再利用线线垂直证出线面垂直，即
平面
，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即
。
（2）根据
，从而利用线线垂直证出线面垂直，即
平面
，所以
是三棱锥的高，再利用三棱锥的体积公式求出三棱锥
的体积。
1.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为
的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（
??）
A.?144????????????????????????????????????????B.?72????????????????????????????????????????C.?36????????????????????????????????????????D.?24
2.用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为
，则球的表面积为（???
）
A.?16π?????????????????????????????????????B.?32π?????????????????????????????????????C.?36π?????????????????????????????????????D.?48π
3.已知
、
是球
的球面上两点，
，过
作互相垂直的两个平面截球得到圆
和圆
，若
，
，则球的表面积为（???
）
A.?5π??????????????????????????????????????B.?10π??????????????????????????????????????C.?15π??????????????????????????????????????D.?20π
4.已知正方体
的棱长为2，则三棱锥
的体积为（???
）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?6
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
如图：由正六边形的每个内角为
，
按虚线处折成高为
的正六棱柱，即
，
所以
可得正六棱柱底边边长
，
所以正六棱柱体积：
.
2.【答案】
C
【解析】
设球的半径为
，圆锥的底面半径为
，因为球心到截面的距离为1，
所以有：
，
则题中圆锥体积
，解得
，故球的表面积为
。
3.【答案】
D
【解析】
令圆
、圆
半径分别为
，由
，
，
，
∴
，
，且
到圆
的距离
，
∴若球
的半径为R
，
则
，即球的表面积
.
4.【答案】
B
【解析】
如图三棱锥
是由正方体
截去四个小三棱锥
又因为
，
，
所以
。