8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解三点共线、及点、线共面的证明方法
2、掌握平面的基本性质
3、理解空间直线、平面的位置关系
一、平面
平面的概念
三个基本事实
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（不共线的三点确定一个平面）
（2）如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
3.三个推论
（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
二、空间点、直线、平面之间的位置关系
空间中直线与直线的位置关系
异面直线
定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
空间中两条直线的位置关系
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：在同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
空间中直线与平面的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点
直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面平行——没有公共点
空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行——没有公共点
两个平面相交——有一条公共直线
1.在四棱锥
中，底面
是边长为2的菱形，
，
，
为
中点，设
为平面
与平面
的交线.
（1）判断直线
与平面
的位置关系，并说明理由；
（2）求证：平面
平面
；
（3）若平面
平面
，且二面角
的余弦值为
，求四棱锥
的体积.
【答案】
（1）解：直线
与平面
平行.理由如下：
由已知，
，
平面
，
平面
，
则
平面
，
又
为平面
与平面
的交线，
平面
，
则
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）证明：连接
，
菱形
中，
，
为等边三角形，
又
为
中点，
，
又
，则
，
又
，
平面
，
又
，
平面
，
又
平面
，
平面
平面
.
（3）解：
平面
平面
，平面
平面
，
因为
，
平面
，
平面
，
以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，可取
，
又平面
的法向量可取
，
由题意得
，
解得
，即
，
又菱形
的面积为
，
四棱锥
的体积为
.
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】（1）
由已知，
，
结合线面平行的判定定理推出线面平行，即
平面
，
，再利用线面平行的定义推出线线平行，即
，
再利用线线平行结合线面平行的判定定理证出线面平行，即
平面
。
（2）
连接
，
菱形
中，
，
为等边三角形，又
为
中点，再利用等边三角形三线合一，
，又
，则
，再利用线面垂直的判定定理证出线面垂直，即
平面
，又
，
平面
，再利用面面垂直的判定定理，即平面
平面
。
（2）
平面
平面
，平面
平面
，因为
，
平面
，
平面
，以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角
的余弦值，再利用二面角
的余弦值为
，
从而求出PM的长，再利用菱形的面积公式求出菱形
的面积，再利用四棱锥的体积公式，从而求出四棱锥
的体积。
2.图1是由矩形
.
和菱形
组成的一个平面图形，其中
，将其沿
，
折起使得
与
重合，连结
，如图2.
（1）证明：图2中的
四点共面；
（2）证明：平面
平面
.
【答案】
（1）证明：由已知得AD
BE，CG
BE，
所以AD
CG，
AD，CG确定一个平面，
从而A，C，G，D四点共面
（2）证明：由已知得AB
BE，AB
BC，
，
AB
平面BCGE.
又因为AB
平面ABC，
所以平面ABC
平面BCGE.
【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】（1）易得AD∥BE，CG∥BE，由平行关系的传递性得到AD∥CG，再利用平面的基本性质证明.（2）由AB⊥BE，AB⊥BC，利用线面垂直的判定定理得到AB⊥平面BCGE，再利用面面垂直的判定定理证明.
3.如图，在长方体
中，点
分别在棱
上，且
，
．
（1）证明：点
在平面
内；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【答案】
（1）解：在棱
上取点G，使得
，连接
、
、
、
，
在长方体
中，
且
，
且
，
，
，
且
，
所以，四边形
为平行四边形，则
且
，
同理可证四边形
为平行四边形，
且
，
且
，则四边形
为平行四边形，
因此，点
在平面
内
（2）解：以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系
，
则
、
、
、
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
由
，得
取
，得
，则
，
设平面
的法向量为
，
由
，得
，取
，得
，
，则
，
，
设二面角
的平面角为
，则
，
.
因此，二面角
的正弦值为
【考点】平面的基本性质及推论，空间向量的数量积运算，与二面角有关的立体几何综合题，二面角的平面角及求法
【解析】（1）连接
、
，证明出四边形
为平行四边形，进而可证得点
在平面
内；（2）以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
，利用空间向量法可计算出二面角
的余弦值，进而可求得二面角
的正弦值.
4.如图，在直四棱柱
中，E、F分别是
、
的中点，
与
交于点O．
（1）求证：
、
、F、E四点共面；
（2）若底面
是菱形，且
，求证：
平面
．
【答案】
（1）解：连接，因为E、F分别是
、
的中点，所以
．
由直棱柱知
且
，所以四边形
为平行四边形，所以
．
所以
，故
、
、F、E四点共面；
（2）证明：连接
，因为直棱柱中
平面
，
平面
，
平面
，所以
．
因为底面
是菱形，所以
．
又
，所以
平面
．
因为
平面
，所以
．
又
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面垂直的判定
【解析】（1）连接
，由中位线的性质可得
，并证明出
，利用平行线的传递性得出
，进而可证得结论；（2）先由直棱柱证得侧棱
，再由菱形得
从而可推得
平面
，即
．最后结合已知条件
，推证
平面
．
1.已知m，n表示两条不同的直线，
表示两个不同的平面，且
，则“
”是“
”的（???
）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
2.设
为空间一点，
、
为空间中两条不同的直线，
、
是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（???
）
A.?若
，
，
，则
????B.?若
，
，
，则
与
必有公共点
C.?若
，
，
，则
????????????D.?若
与
异面，
，
，则
3.下列命题中，正确的命题是
??
A.?任意三点确定一个平面
B.?三条平行直线最多确定一个平面
C.?不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行
D.?一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行
4.用
表示三条不同的直线，
表示平面，给出下列命题，其中说法正确命题的序号是（
???）
①若
，
，则
；②若
，
，则
；③若
，
，则
；④若
，
，则
.
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?①④?????????????????????????????????????D.?③④
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
若
，则由
，可知
，又
，故
若
，
，则
，
位置关系不确定.
“
”是“
”的必要不充分条件
2.【答案】
C
【解析】
对于A选项，如下图所示：
设
，
，
，则
，
满足，但
，A选项错误；
对于B选项，若
，
，则
满足条件，若
，则
或
，B选项错误；
对于C选项，
，
，可知
，又
，
，C选项正确；
对于D选项，如下图所示，
与
异面，
，
，但
与
相交，D选项错误.
3.【答案】
C
【解析】
解：在A中，不共线的三点确定一个平面，A不符合题意；
在B中，三条平行直线最多确定三个平面，B不符合题意；
在C中，不同的两条直线均垂直于同一个平面，
则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，C符合题意；
在D中，一个平面中的两条相交直线与另一个平面都平行，
则这两个平面平行，D不符合题意．
4.【答案】
C
【解析】
①若
，
，根据平行的传递性可得
，即①正确；
②若
，
，且
共面时，
平行；故②错；
③若
，
，则
可能平行，相交或异面；故③错；
④若
，
，根据线面垂直的性质，可得
，故④正确.