8.5空间直线、平面的平行-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解直线与平面平行的证明方法
2、掌握平面与平面平行的证明方法
3、理解平行公理与空间等角定理
一、直线与直线平行
1、基本事实：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
二、直线与平面平行
1、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言：
2、性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言：
三、平面与平面平行
1、判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言：
2、性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言：
1.在四棱锥
中，底面
为菱形，平面
平面
，
为等边三角形，
为
中点.
（1）求证：
平面
.
（2）若
，三棱锥
的体积为
，求二面角
的正弦值.
【答案】
（1）证明：设
为底面菱形
的交点，连
，则
，
分别是
，
的中点，
，又
平面
，∴
平面
（2）解：设
为
中点，则
，平面
平面
，
平面
，
，
，则
到底面的距离为
，
，∴
，又
，
∴
，即
，则
.
以
为原点，以
，
，
分别为
，
，
轴建立直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
可取
，
设平面
的法向量为
，则
可取
，
，
，则二面角
的正弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】
（1）根据题意设F为底面菱形ABCD的交点，连FE，证明FE∥PA，推出PA∥平面BDE．
（2）结合已知条件以O为原点，以OB，OD，OP分别为x，y，z轴建立直角坐标系，求出平面CDE的法向量，平面BDE的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C-DE-B的正弦值即可。
2.如图，四棱锥
中，
，
，侧面
为等边三角形，
，
，
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】
（1）证明：由已知
，
，
得，
，所以
，所以
，
又
，所以
平面
，
又
平面
，所以
（2）解：以
为坐标原点，取
中点
，
，
的方向分别为
轴，
轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
.
所以
，
，
，
.
平面
的法向量为
，
则
，即
，
即
，则
，
，
所以
.
平面
的法向量为
，
则
，即
，得
，
取
，则
，所以
，
从而
.
因二面角
为锐角，故二面角
的余弦值为
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，用空间向量求平面间的夹角
【解析】（1）利用已知条件结合勾股定理，进而推出
，又因为
再利用线线垂直证出线面垂直，即
平面
，
再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即证出
。
（2）
以
为坐标原点，取
中点
，
，
的方向分别为
轴，
轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系
，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出二面角
的余弦值。
3.如图，四边形
是正方形，
平面
，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】
（1）证明：因为四边形
是正方形，所以
．
又
平面
平面
所以
平面
．
因为
，同理，可证
平面
又
，所以平面
平面
又因为
平面
，所以
平面
（2）解：分别以
为
轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
因为
，所以
，则
则
设平面
的法向量为
则由
得
令
，得平面
的一个法向量为
设直线
与平面
所成角为
，则
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
（1）通过证明平面EBC∥平面PAD来证明CE∥平面PAD；
（2）建立空间直角坐标系，写出点坐标，求出平面PCE法向量，再求线面角的正弦值即可．
4.如图，在多面体
中，四边形
与
都是直角梯形，且
，
，
．
（1）证明：
平面
；
（2）若平面
平面
，且
，求二面角
的余弦值．
【答案】
（1）证明：因为
，
，
又因为
，
，
所以平面
平面
，
又因为
平面
，所以
平面
（2）解：取
中点
，
设
，则
，
又因为
，
，
所以
，
，
所以
，
又因为
，
所以四边形
是正方形，
为等腰直角三角形，
于是
，
因为平面
平面
，
又因为
，所以
，
所以
平面
，
所以
是
在平面
内射影，
由三垂线定理得
，
所以
为二面角
的平面角，
设二面角
的大小为
，
，
，
故二面角
的余弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法
【解析】
（1）根据直线与平面平行的判定定理证明；
（2）寻找二面角的平面角，先求其正切值，再求其余弦值．
1.已知
是两个不重合的平面，直线
，则“
”是“
”的（???
）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
2.如图,
为正方体,下面结论错误的是(
???)
A.?
平面
B.?
C.?
平面
D.?异面直线
与
角为
3.设
是直线，
，
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（???
）
A.?若
，
，则
B.?若
，
，则
C.?若
，
，则
D.?若
，
，则
4.已知平面
和直线
，则下列说法正确的是（???
）
A.?若
，则
?????????????????????????????????B.?若
，则
C.?若
，则
????????????????????????????????D.?若
，则
参考答案
1.【答案】
A
【解析】
解：因为
是两个不重合的平面，直线
，若
，则存在直线
，满足
，因为
，所以
，所以
，故充分性成立；
若
，
，则
，或
，故必要性不成立；
所以“
”是“
”的充分不必要条件；
2.【答案】
D
【解析】
对于A，由题意易知
，
则由线面平行的判定定理即可求证
，
所以A正确；
对于B，由题意易知
，
则由线面垂直的性质定理即可求证
，
所以B正确；
对于C，由三垂线定理易得
，
则由线面垂直的判定定理即可求证
，
所以C正确；
对于D，由题易知异面直线AD与所成的角为
，
所以D错误.
3.【答案】
B
【解析】
对A，若
，
，则
与
相交或平行；对B，若
，
，则
；对C，若
，
，则
或
；对D，若
，
，则
与
相交、平行或
。
4.【答案】
C
【解析】
解：对于A选项，若
，则
或相交，A选项不正确；
对于B选项，若
，则
或相交，B选项不正确；
对于C选项，若
，则
，为面面垂直的判定定理，C选项正确；
对于D选项，若
，则
，D选项不正确.