8.6空间直线、平面的垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解求异面直线所形成的角的步骤
2、掌握直线与平面垂直的证明方法
3、理解平面与平面垂直的证明方法
一、直线与直线垂直
两条异面直线所成的角的定义
已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直线，，把直线，所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b
异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的取值范围是
8.6.2直线与平面垂直
1.定义：一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作
直线叫做平面的垂点，平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足
2.点到平面的距离
（1）过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
（2）定义：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
3.直线与平面垂直判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
4.直线与平面垂直性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
5.直线与平面、平面与平面之间的距离
（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离
6.直线与平面所成的角
一条直线1与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线
PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角
7.直线与平面所成角的范围
(1）一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°
(2）直线与平面所成的角的取值范围是0°≤0≤90°
(3)斜线与平面所成的角是斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.
三、平面与平面垂直
1.二面角
如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
二面角的记法
棱为AB,面分别为的二面角记作二面角
在内（棱以外的半平面部分）分别取P,Q，将这个二面角记作二面角
(3)如果棱记作,那么这个二面角记作二面角或二面角
二面角的平面角
如图,在二面角的棱上任取一点O,
以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和
OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的度量
(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(2)二面角的平面角的取值范围是
2.平面与平面垂直
平面与平面垂直的定义
定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作
(2)画法:如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直
平面与平面垂直的判定及性质
自然语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面过另
个平面的垂线,那么这
两个平面垂直
性质
定理
两个平面垂直,如果一
个平面内有一直线垂
直于这两个平面的交
线,那么这条直线与另
一个平面垂直
1.如图，在四棱锥
的展开图中，点
分别对应点
，
，
，
，已知
，
均在线段
上，且
，
，四边形
为等腰梯形，
，
.
（1）若
为线段
的中点，证明：
平面
.
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】
（1）证明：由
，
，可知
，
，
两两相互垂直.
因为
，所以
平面
，则
.
连接
，取
的中点
，连接
，
因为
，
所以
，
，所以
，
从而
为正三角形，又因为
为
的中点，所以
.
又因为
，
平面
，所以
平面
（2）解：以
为坐标原点，以
的方向为
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
.
设
，则
，
，
，
，
，
从而
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，得
.
平面
的法向量
，
则
，即
，取
，得平面
的法向量
，
所以
，
由图可知二面角
为钝角，故二面角
的余弦值为
.
【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】(1)根据题意与线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由正三角的性质即可得出线线垂直然后与线面垂直的判定定理即可的得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到
二面角
的余弦值
。
2.如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
是
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）设点
是
的中点，求二面角
的余弦值．
【答案】
解：（Ⅰ）平面
平面
，平面
平面
=AC，
平面
，
，
∴
平面
，
∵
平面
，
∴
，
∵
，
是
的中点，
∴
，
∵
，
平面
，
∴
平面
．
（Ⅱ）∵平面
平面
，平面
平面
=AC，
平面
，
∴
平面
，
∵
平面
，
∴
，
以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
由（Ⅰ）知
是平面
的一个法向量，
设
是平面
的法向量，
则有
，即
，
令
，则
，
，
∴
，
设二面角
所成角为
，由图可得
为锐角，
则
【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】（1）利用已知条件结合面面垂直的性质定理推出线线垂直，即
，
再利用线线垂直证出线面垂直，即
平面
，
再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即
，
因为
，
是
的中点，再利用等腰三角形三线合一，进而推出线线垂直，即
，
再利用线线垂直证出线面垂直，即证出
平面
。
（2）利用平面
平面
，
结合面面垂直的性质定理推出线线垂直，即
，
再利用线线垂直证出线面垂直，即
平面
，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即
，
以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合中点的性质，从而求出二面角
的余弦值。
3.如图，四棱锥
中，四边形
是等腰梯形，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）过
的平面交
于点
若平面
把四棱锥
分成体积相等的两部分，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】
（1）证明：如图，取
的中点
连结
，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
，
四边形
是等腰梯形，
，
，
又
，
为等边三角形，
，
在等腰
中，
，
在
中，
，
不妨设
，
则
，
在
中，
，
，
，
又
平面
平面
，
平面
，
又
平面
，
平面
平面
（2）解：
，
以
分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，如图：
设
，
平面
把四棱锥
分成体积相等的两部分，
三棱锥
的体积等于四棱锥
，
，
设梯形
的高为
则
，
解得
，
则
，
，
轴
平面
平面
的一个法向量为
设平面
的一个法向量为
，
则
即
取
则
，
，
，
平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）作DF⊥AB交AB于点F，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出BD，然后由勾股定理可证PD⊥BD，再利用线面垂直的判定定理可证PD⊥平面ABCD，由面面垂直的判断定理证明即可；
（2）利用平面PDE把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，可得
，
从而求出AE，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面PAD和PCE的法向量，然后利用二面角的计算公式求解即可．
4.如图，直四棱柱
的底面
为平行四边形，
，
，
，
，
是
的中点.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求直线
和平面
所成角的正弦值.
【答案】
（1）证明：由题意可得
，
所以
，因此
.
在直四棱柱
中，
平面
，
平面
，所以
又因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
（2）解：由（1）知，
，
，
两两垂直，
以
为原点，
，
，
所在直线为
，
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，
，
，
.
由
可得
，所以
.
则
，
，
，
设
是平面
的一个法向量，
则
，
令
，可得
设直线
和平面
所成的角为
，
则
【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】（1）利用已知条件结合余弦定理和勾股定理，进而证出线线垂直，即
，在直四棱柱
中，则
平面
，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即
?再利用线线垂直证出线面垂直，所以
平面
，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面
平面
。
（2）
由（1）知，
，
，
两两垂直，以
为原点，
，
，
所在直线为
，
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式求出直线
和平面
所成角的正弦值。
1.已知m，n为两条不同的直线，
和
是两个不同的平面，下列为真命题的是（???
）
A.???????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????D.?
2.设m，n是两条不同的直线，
是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（???
）
①
??
②
??
③
???
④
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
3.已知m，n表示两条不同直线，
表示平面，下列说法正确的是（??
）
A.?若
则
????????????????????????????????B.?若
，
，则
C.?若
，
，则
??????????????????????????D.?若
，
，则
4.设
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下面四个命题：
⑴若
，则
（2）若
,则
（3）若
，则
（4）若
，则
其中正确命题个数是﹙?????
﹚
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
A.
，则
也可在平面
内，故答案为：项A不正确.
B.
，则
也可在平面
内，
故答案为：项B不正确.
C.
成立
两平行线
，
平面
，
必垂直于
内的两条相交直线，
则
必定垂直于
内那两条相交直线，故
，
C符合题意.
D.
，则
也可是异面直线的关系.?
故答案为：项D不正确.
2.【答案】
C
【解析】
对①，若
，则
和
可能相交，平行或在平面内，故①错误；
对②，若
，则由面面垂直的判定定理可得
，故②正确；
对③，若
，则由线面垂直的性质可得
，故③正确；
对④，若
，则
和
平行或异面，故④错误.
3.【答案】
B
【解析】
线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，B符合题意.
4.【答案】
A
【解析】
（1）若
为正方体相邻的三个面，两两垂直，故（1）错；（2）根据
若需得到
则需要
同时垂直两平面的交线，故（2）错；（3）根据
，若需证
，则需
共面，故（3）错；（4）若
，则
，根据由面面平行证线线平行的判定定理可得该命题正确，故（4）正确．