10.1随机事件与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解概率基本性质的应用
2、掌握古典概型概率的步骤
3、理解随机事件
一、随机事件与概率
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验，常用字母E表示.例如，抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等,都可以看成随机试验.
2.样本点和样本空间
（1）定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间
（2）表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点
（3）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间=为有限样本空间
3.事件
(1)随机事件:我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件:作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件.
(3)不可能事件:空集中不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.
二、事件的关系和运算
含义
包含关系
一般地,若事件A发生,则事件B一定发
生，找们就称事件B包含事件A(或事件
A包含于事件B),记作BA(或AB)
相等关系
如果事件B包含事件A,事件A也包含
事件B,即BA且AB,则称事件A与
事件B相等,记作A=B
并事件
(和事件)
一般地,事件A与事件B至少有一个发
生,这样的一个事件中的样本点或者在
事件A中,或者在事件B中，我们称这个
事件为事件A与事件B的并事件(或和
事件)，记作AUB(或A+B)
交事件
(积事件)
一般地,事件A与事件B同时发生,这样
的一个事件中的样本点既在事件A中，
也在事件B中,我们称这样的一个事件
为事件A与事件B的交事件(或积事件)，
记作A∩B(或AB)
互斥事件
一股地，如果事件A与事件B不能同时
发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，
A∩B=,则称事件A与事件B互斥
(或互不相容）
对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何
次试验中有且仅有一个发生，即AUB=
,且A∩B=,那么称事件A与事件B
互为对立.事件A的对立事件记为
三、古典概率
1、概率的定义
对随机事件发生可能性大小的度重(数值)称为事件的概率,事件
A的概率用P（A）表示.
2、古典概型
（1）古典概型的定义
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(2)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型:
①样本点(基本事件)个数有限,但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限,但等可能;
③样本点(基本事件)个数无限,也不等可能.
3、古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间包含n个样本点,事件
A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
其中,n(A)和n(）分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
四、概率的基本性质
性质1
对任意的事件A,都有P（A)≥0
性质2
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P()=1,P()=0
性质3
互斥事件的概率加法公式:如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P（B)
性质4
对立事件的概率公式:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P（B)=1-P(A),P（A)=1-P(B)
性质5
概率的单调性:如果AB,那么P（A)≤P(B)
性质6
概率的计算公式:设A
,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).特别地,当A与B互斥，即A∩B=时.可得到性质3
1.为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取3次．已知抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否则抽取第三次．
（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
（2）求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望．
【答案】
（1）解：若顾客所获得的减免金额为40元，则第一次抽白球、第二次抽红球或第一次抽红球、第二次抽白球．
求得顾客所获得的减免金额为40元的概率为
（2）解：某顾客所获得的减免金额X可能为30，40，50，60．
，
，
，
．
所以X的分布列为
X
30
40
50
60
P
．
所以某顾客所获得的减免金额的数学期望为
【考点】互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）利用已知条件结合互斥事件求概率公式，进而求出某顾客所获得的减免金额为40元的概率
。
（2）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再利用已知条件结合求概率的方法，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出某顾客所获得的减免金额X的数学期望
。
2.甲?乙两人进行投篮比赛，要求他们站在球场上的
，
两点处投篮，已知甲在
，
两点的命中率均为
，乙在
点的命中率为
，在
点的命中率为
，且他们每次投篮互不影响.
（1）若甲投篮4次，求他至多命中3次的概率；
（2）若甲和乙每人在
，
两点各投篮一次，且在
点命中计2分，在
点命中计1分，未命中则计0分，设甲的得分为
，乙的得分为
，写出
和
的分布列，若
，求
的值.
【答案】
（1）解：“甲至多命中3次”的对立事件为“甲4次全部命中”，
所以甲至多命中3次的概率为
（2）解：
，
的可能取值均为0，1，2，3.
的分布列为
0
1
2
3
所以
.
的分布列为
0
1
2
3
.
由
，解得
【考点】互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，概率的应用
【解析】（1）利用已知条件结合对立事件求概率公式，进而求出甲投篮4次，求他至多命中3次的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X,Y的分布列，再利用分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X,Y的数学期望，再利用已知条件
，进而求出
的值。
3.“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满1分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为
，每局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；
（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为
，求
的分布列及数学期望.
【答案】
解：设前24分钟比赛甲胜出分别为
，乙胜出分别为
，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为
，4局比赛决出胜负记为事件
.
；
（Ⅱ）
的可能取值为4、5、6、7
；
；
；
；
所以，随机变量
的概率分别列为：
4
5
6
7
的数学期望为
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】
（Ⅰ）分两种情况：若24分钟内打满2局，最后可能甲/乙获胜；若24分钟内打满3局，最后可能甲/乙获胜，分别求解即可；
（Ⅱ）确定X的可能取值，列出分布列，由数学期望的求解公式计算即可．
4.某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A、B两地游玩，因目的地A地近，B地远，特制定方案如下：
目的地A地出行方式绿色出行非绿色出行概率
得分10
目的地B地出行方式绿色出行非绿色出行概率
得分10
若甲同学去A地玩，乙、丙同学去B地玩，选择出行方式相互独立．
（1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；
（2）求三名同学总得分
的分布列及数学期望
．
【答案】
（1）解：恰有一名同学选择绿色出行方式的概率
（2）解：根据题意，
的所有可能取值为0，1，2，3，根据事件的独立性和互斥性得：
；
；
；
．
故
的分布列为：
0
1
2
3
所以
【考点】互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】
（1）利用独立重复实验恰好发生一次的概率，结合互斥事件的概率求解即可．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．
1.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为（???
）．
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分.投入壶耳一次得2分，现有甲?乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口?壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为
，投中壶耳的概率为
.四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3.下列推理正确的是（???
）
A.?如果不买体育彩票，那么就不能中大奖，因为你买了体育彩票，所以你一定能中大奖
B.?若命题“
，使得
”为假命题，则实数
的取值范围是
C.?在等差数列
中，若
，公差
，则有
，
类比上述性质，在等比数列
中，若
，公比
，则
D.?如果
，
均为正实数，则
4.某兴趣小组从包括甲、乙的小组成员中任选3人参加活动，若甲、乙至多有一人被选中的概率是
，则甲、乙均被选中的概率是（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a
，
b
，
c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛，
所有的可能为:
Aa
，
Bb
，
Cc
，
田忌得0分;
Aa
，
Bc
，
Cb
，
田忌得1分
Ba
，
Ab
，
Cc
，
田忌得1分
Ba
，
Ac
，
Cb
，
田忌得1分;
Ca
，
Ab
，
Bc
，
田忌得2分，
Ca
，
Ac
，
Bb
，
田忌得1分
田忌得2分概率为
，
2【答案】
A
【解析】
由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：
（1）第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入表耳，其概率为
；
（2）第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口?壶耳均可，其概率为
，
所以乙赢得这局比赛的概率为
.
3.【答案】
C
【解析】
即使买了体育彩票，也不一定能中大奖，所以A不符合题意；
因命题“
，使得
”为假命题，
故其否定“
，
恒成立”为真命题，
因为二次函数的图象开口向上，所以
，
所以
，所以B不符合题意；
在等差数列
中，若
，公差
，当
时有
，
所以在等比数列
中，若
，公比
，由于
，
所以应有
，故C正确；
当
，
均为正实数时，
，
不一定为正数，所以
不一定成立，所以D不符合题意．
4.【答案】
B
【解析】
由题意可知事件“甲、乙至多有一人被选中”与事件“甲、乙均被选中”为对立事件，则甲、乙均被选中的概率是
．