10.2事件的相互独立性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解相互独立事件的应用
2、掌握互斥事件、相互独立事件的综合运用
3、理解事件的概率计算
一、事件的相互独立性
1.事件的相互独立性
(1)定义:对任意两个事件A与B.如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)性质:如果事件A与事件B相互独立,那么A与,不与B,与B也相互独立
(3)"A与B相互独立"是“P(AB)=P(A)P(B)"的充要条件
(4)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们的概率之积”
2.相互独立事件与互斥事件的概率计算
已知两个事件A,B,它们的概率为P(A),P(B),将A,B中至少有一个发生记为事件AB,都发生记为事件AB,都不发生记为事件,恰有一个发生记为事件,至多有一个发生记为事件
概率
A,B互斥
A,B相互独立
P(A)+P(B)
1-P()P()
P(AB)
0
P(A)P(B)
P()
l-[P(A)+P(B)]
P()P()
P()
P(A)+P(B)
P(A)P()+P()P(B)
PABUABUAB)
1
1-P(A)P(B)
1.随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：
满意度
老年人
中年人
青年人
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
满意
100
120
120
100
150
120
不满意
50
30
30
50
50
80
（1）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
（2）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；
（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）．
【答案】
（1）解：设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A，总人次为500人，
共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意，所以
．
（2）解：由频率估计概率，由已知抽取老年人满意度的概率为
，抽取青年人满意度的概率为
，抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率
，
，
所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为
．
（3）解：青年人.
【考点】简单随机抽样，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式
【解析】（1）用频率估计概率直接计算；
先分别求出老年人和青年人满意度的概率，然后对“抽取这三人中恰有两人对生产的鲜奶质量满意”分成一老年人，一青年人满意和两老年人满意讨论进行计算即可；
（3）直接判断出青年人。
2.学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A、B两个靶子进行射击，先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A靶射击，命中的概率是
；向B靶射击，命中的概率为
．假设甲同学每次射击结果相互独立．
（1）求甲同学恰好命中一次的概率；
（2）求甲同学获得的总分X的分布列及数学期望．
【答案】
（1）解：记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，
“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F，由题意可知
，
．
由于
，
．
（2）解：随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6．
X
0
1
2
3
5
6
P
．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）
记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可；
（2）
随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，得到分布列，然后求解数学期望值即可。
3.甲、乙两队进行排球比赛，直到某队赢3局为止.假设每局比赛独立，且每局甲胜的概率为0.7.（每局比赛均要分出胜负）
（1）求比赛在第4局结束的概率；
（2）若比赛在第4局结束，求甲获胜的概率.
【答案】
（1）解：设比赛在第4局结束的概率为
，
则
.
（2）解：设比赛在第4局结束为事件A，甲获胜为事件B，
则
.
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】（1）
比赛在第4局结束
，包括两种情况，第一种甲获胜，则前三局甲胜两次，乙胜一次，第四次甲胜，第二种乙获胜，则前三局乙胜两次，甲胜一次，第四次乙胜，两种情况相加即可；
（2）设比赛在第4局结束为事件A，甲获胜为事件B，
，
计算可得。
4.有4名学生参加体育达标测验，4个各自合格的概率分别是
、
、
、
，求以下的概率：
（1）4人中至少有2人合格的概率；
（2）4人中恰好只有2人合格的概率.
【答案】
（1）解：4人中至少有2人合格：所有基本事件中排除{没有合格，只有1人合格}，由题意，
⒈没有合格的概率为
，
⒉只有1人合格的概率为
，
∴4人中至少有2人合格的概率为
；
（2）解：4人中恰好只有2人合格，则其概率为：
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】根据对立事件的概率求解方法求解即可。
1.陈镜开(1935~2010)，新中国举重运动员，1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133公斤的成绩，打破美国运动员C.温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录1956~1964年期间，在上海?北京?莫斯科?莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录，举重比赛挺举项目中，运动员对所要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重量的比赛，才有资格进入下轮所要更大重量的比赛，结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)，则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是（???
）
A.?0.784???????????????????????????????????B.?0.84???????????????????????????????????C.?0.904???????????????????????????????????D.?0.936
2.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为
，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（
??）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为
和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是(?
?)
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
参考答案
【答案】
D
【解析】
解：设“该运动员进入下轮比赛”为事件
，
其对立事件
为“该运动员没有进入下轮比赛”，
事件
即该运动员
次试举都失败，
则
，
则
，
2.【答案】
A
【解析】
记事件
甲获得冠军，事件
比赛进行三局，
事件
甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
由独立事件的概率乘法公式得
，
对于事件
，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件
，
，
，
3.【答案】
B
【解析】
由题意得：
，
4.【答案】
C
【解析】
由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含
、
、
，又
，
，所以所事件的概率为
，