10.3频率与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解用样本平均数估计总体平均数
2、掌握全面调查与抽样调查
3、理解分层抽样的步骤
一、频率与概率
在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大
用频率估计概率：大量试验表妹，在任何次数的随机试验候总，一个随机事件A发生的频率具有随机性，一般的，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A），我们称概率的这个性质为频率的稳定性，因此，我们可以用频率估计概率P（A）
二、频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
1.如图，面积为
的正方形
中有一个不规则的图形
，可按下面方法估计
的面积：在正方形
中随机投掷
个点，若
个点中有
个点落入
中，则
的面积的估计值为
，假设正方形
的边长为2，
的面积为1，并向正方形
中随机投掷
个点，以
表示落入
中的点的数目．
（I）求
的均值
；
（II）求用以上方法估计
的面积时，
的面积的估计值与实际值之差在区间
内的概率．
附表：
【答案】
解：（I）
（II）依题意所求概率为
，
【考点】模拟方法估计概率
【解析】（I）X服从二项分布，
EX=np;（II）有题意可得2425(2575
)-P
(2425)，查表代入即得。
2.设O为坐标原点，点P的坐标（x﹣2，x﹣y）
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
【答案】
（1）解：记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，
（x，y）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
P（x﹣2，x﹣y）
（﹣1，0）
（﹣1，﹣1）
（﹣1，﹣2）
（0，1）
（0，0）
（0，﹣1）
（1，2）
（1，1）
（1，0）
|OP|
1
1
0
1
1
共9种．由表格可知|OP|的最大值为
设事件A为“|OP|取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，
∴
（2）解：设事件B为“P点在第一象限”
若
，其所表示的区域面积为3×3=9，
由题意可得事件B满足
，
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为
∴
【考点】等可能事件的概率，模拟方法估计概率
【解析】（1）记先后抽到的两张卡片的标号为（x，y），列出所有情形，然后分别求出|OP|的值，从而得到最大值；（2）求出点P落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算出二者的比值即可．
3.为了了解某校高一学生体能情况，抽取200位同学进行1分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图所示），请回答下列问题：
（1）次数在100～110之间的频率是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是多少？
【答案】
（1）∵第二组面积为0.02×10=0.2，
∴次数在100～110之间的频率是0.2．
∵第二小组频数为12；
（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，
∴高一学生的达标率是
10×（0.035+0.025+0.015）=75%
即高一有75%的学生达标．
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是95×0.05+105×0.2+115×0.35+125×0.25+135×0.15=117.5．
【考点】模拟方法估计概率
【解析】（1）根据第二组小矩形的面积，做出第二组的频率．
（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．
（3）将每组的组中值乘以该组的频率即可求出学生跳绳次数的平均数．
4.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1,
A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
【答案】
（1）{A1
，
a1},{A1,
a2},
{A1,
b1},
{A1,
b2},
{A2,
a1},
{A2,
a2},
{A2,
b1},
{A2,
b2},
{B,
a1},
{B,
a2},
{B,
b1},
{B,
b2},
（2）说法不正确
【考点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】
(I)利用列举法列出所有可能的结果即可:
(II)在(I)中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的，试题解析:(I)所有可能的摸出结果是:
{A1
，
a1},{A1,
a2},
{A1,
b1},
{A1,
b2},
{A2,
a1},
{A2,
a2},
{A2,
b1},
{A2,
b2},
{B,
a1},
{B,
a2},
{B,
b1},
{B,
b2},
(II)不正确,
理由如下，由(I)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1
，
a1},{A1,
a2}，{A2,
a1},
{A2,
a2},共4种，所以中奖的概率为,不中奖的概率为1-=>
这种说法不正确.
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
1.已知P是△ABC所在平面内﹣点，
，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（??
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程x=-2a-有实根的概率为（　　）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
4.利用随机模拟方法计算y=x2+1与y=5围成的面积时，先利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1=RAND，b1=RAND，然后进行平移与伸缩变换a=4a1﹣2，b=4b1+1，实验进行了1000次，前998次中落在所求面积区域内的样本点数为624，若最后两次实验产生的0～1之间的均匀随机数为（0.3，0.1），（0.9，0.7），则本次模拟得到的面积的估计值是（　　）
A.?10?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则
=
，
∵
，∴
，
∴
，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的
．
∴S△PBC=
S△ABC
．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P=
=
．
2.【答案】
B
【解析】
设正方形的边长为
，那么图中阴影的面积应为
，而正方形的面积是
，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为
，
3.【答案】
C
【解析】
解：由题意知本题是一个几何概型，x=-2a-
化为x2+2ax+b2=0，方程有实根，△≥0
即4a2﹣4b2≥0
∴b≤a．
在aOb坐标系中画出图形．如图．∴方程有实根的概率为P=
故选C．
4.【答案】
A
【解析】
解：由a1=0.3，b1=0.1得a=﹣0.8，b=1.4，（﹣0.8，1.4）落在y=x2+1与y=5围成的区域内，
由a1=0.9，b1=0.7得：a=1.6，b=3.8，（1.6，3.8）落在y=x2+1与y=5围成的区域外，
所以本次模拟得出的面积为
=10．