云南省昆明新世纪高级中学2012届高三第一次月考 理科数学试题

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昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第一次模拟考试题
理科数学
考试时间：2011年8月28日上午8:00-10:00，共120分钟 命题人：刘忠
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：　　
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。在试题卷上作答无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：（每小题5分，满分60分）
1．为虚数单位，复平面内表示复数的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设，函数的定义域为，则=（ ）
A． 　 B． C． D．
3．如果命题“”是假命题，则正确的是 （ ）
A．p、q均为真命题 B．p、q中至少有一个为真命题
C．p、q均为假命题 D．p、q中至多有一个为真命题
4．已知等比数列的公比为正数，且，则=( )
A． B．2 C． D．
5．函数的最小正周期为 （ ）
A． B． C． D．
6．对两个变量y和x进行线性回归分析，得到一组样本数据：
则下列说法中不正确的是 （ ）
A．由样本数据得到线性回归方程为必过样本点的中心
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D．残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高。
7．过点（5，0）的椭圆与双曲线有共同的焦点，则
椭圆的短轴长为 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内
函数图象下方的点构成的区域。向D中随机投
一点，则该点落入E中的概率为 （ ）
A． B． C． D．
9．是奇函数，则①一定是偶函数；②一定是偶函数；
③；④其中错误命题的个数是 （ ）
A．1个 B．0个 C．4个 D．2个
10．已知直线与轴，轴分别交于两点，若动点在线段上，则的最大值为 （ ）
A．2 B． C．3 D．
11．已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
12．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）
A．72 B．96 C． 108 D．144
二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13．右图是求实数的绝对值的算法程序框图，则判断框①
中可填 ．
14．已知向量，若向量与向量
平行，则实数= .
15．一个多面体中某一条棱的正视图、侧视图、俯视图长度
分别为，则这条棱的长为____ _。
16. 在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，
已知，且 则= 。三．解答题：（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分12分) 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知构成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组……第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，根据有关规定，成绩小于16秒为达标．
（1）用样本估计总体，某班有学生45人,设为达标人数,求的数学期望与方差；
（2）如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如下表：
请把表格填写完整。根据表中所给的数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？
附：
19．（本小题满分12分）
已知正方体的
棱长为1，点是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的
中点.
（1）求证：′；
（2）求二面角－BC′－B′的大小；
（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O 对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
21、（本小题满分12分） 已知函数：
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：．
（请考生在22，23，24三题中任选一题做答）
22．（10分。 几何证明选讲） D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且不与△ABC的顶点重合。已知AE的长为，AC的长
为,AD、AB的长是关于的方程的两个根。
（1）证明：C、B、D、E四点共圆；
（2）若∠A=90°，且，求C、B、D、E所在圆的半径。
23．（10分 。坐标系与参数方程） 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线经过点P(1,1),倾斜角．
（1）写出直线的参数方程；
（2）设与圆相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
24．（10分。选修4—5：不等式选讲） 已知函数＝｜2－｜＋．
（1）若不等式≤6的解集为{｜－2≤≤3}，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数使≤成立，求实数的范围。
昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第一次模拟考试题
理科数学评分标准
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
二、填空题：（每小题5分，共计20分）
13、 14、 15、 16．4
三、解答题：（共计70分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴ ， ……8分
又，
∴ 是以为首项，以为公差的等差数列 …………10分
∴
即． ……………………………………………………………12分
18、解：（Ⅰ）..................................3分
若用样本估计总体，则总体达标的概率为0.6 从而～B(45，0.6）
(人)，=10．8..................................6分
（Ⅱ）
性别是否达标 男 女 合计
达标 a=24 b=6 30
不达标 c=8 d=12 20
合计 32 18 n=50
.....................................................................................................................9分
8．333
由于>6．625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”. ........11分
解决办法：可以根据男女生性别划分达标的标准..............................12分
19、解：解法一：（1）连结AC，BD,则AC⊥BD，又DD′⊥平面ABCD
∴BD是BD′在平面ABCD的射影 ∴AC⊥BD′
又∵O、M分别是BD′、AA′的中点
∴OM∥AC ∴OM⊥BD′ ……………5分
（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’
过点N作NH⊥BC’于H，连结MH
则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角
N=1,NH=Bnsin45°= 在Rt△MNH中，tan∠MHN=
20．解：（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.
设点的坐标为 由题意得
化简得 .
故动点的轨迹方程为…………………5分
（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.
则直线的方程为，直线的方程为
令得，.
于是得面积
又直线方程为，， 点到直线的距离.
于是的面积
当时，得
又，所以=，解得。
∵，∴ 故存在点使得与的面积相等，
此时点的坐标为.……………………12分
解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为
则.
因为, 所以
所以 即 ，解得
∵，∴ 故存在点使得与的面积相等，
此时点的坐标为.……………………12分
22．
解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
23.解：（I）直线的参数方程是． -----------------（5分）
（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为．
圆化为直角坐标系的方程．
以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．
所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2． -----------------（12分）