云南省昆明新世纪高级中学2012届高三第五次月考 理科数学试题

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昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第五次模拟考试题
理科数学
考试时间：2011年12月31日上午8:00-10:00，共120分钟 命题人：杨先明
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：　　
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。在试题卷上作答无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1．i为虚数单位，复平面内表示复数的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，则=( )
A． B． C． D．
4．已知等比数列的公比为正数，且，则=( )
A． B． C． D．2
5．已知变量x、y满足的约束条件，则的最大值为( )
A．-3 B． C．-5 D．4
6．过点（0，1）且与曲线在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( )
A． B． C． D．
7．为了得到函数的图像，只需把函数的图像( )
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
8．关于直线与平面，有以下四个命题：
①若，则 ②若
③若 ④若
其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9. 若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是x∈( )
A．[0，1] B．[3，5] C．[2，3] D．[2，4]
10.设若，则的值是( )
A. -1 B. 2 C. 1 D.-2
11.△ABC中，∠A=60°,∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且，则AD的长为( )
A．1 B． C． D．3
12.在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A． B． C．24 D．6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在△ABC中，B=中，且,则△ABC的面积是_____
14. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是________.
15. 已知向量满足：，且，则向量与的夹角是 ___________.
16. 若等差数列的首项为,公差为，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为Tn，则 ．
三、解答题（共5个小题，每小题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分12分)
设是公比大于1的等比数列，Sn为数列的前n项和．已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和Tn．
18. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥A-ABCD中，底面ABCD是正方形，
其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，
E为侧棱SC上一点.
（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面SAC；
（3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，
试判断点E在SC上的位置，并说明理由.
19. (本小题满分12分)
已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a,b,c．且(b2+c2-a2)tanA=bc．
（1）求角A的大小;
（2）求的值．
20. (本小题满分12分)
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三
角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=，D是CB延
长线上一点，且BD=BC.
（1）求证：直线BC1∥平面AB1D；
（2）求二面角B1-AD-B的大小；
（3）求三棱锥C1-ABB1的体积。
21. (本小题满分12分)
已知函数.
（1）当且，时，试用含的式子表示，并讨论的单调区间；
（2）若有零点,，且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有≥0.
①求的表达式；
②当时，求函数的图象与函数的图象的交点坐标.
四、选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）
23．选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线经过点P(1,1),倾斜角．
（1）写出直线的参数方程；
（2）设与圆相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
24．选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝｜2x－a｜＋a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x｜－2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m－f（－n）成立，求实数m的取值范围．
昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第五次模拟考试题
理科数学评分标准
一、选择题（12*5分=60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B B D A A B C C C D
二、填空题（4*5分=20分）
13、6 14.、 15、 16、
三、解答题（5*12分=60分）
17．解：（Ⅰ）设数列的公比为，
由已知，得 ， ……………………………………2分
即， 也即
解得 ………………………………………………………………………5分
故数列的通项为． ………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴ ， …………8分
又，
∴ 是以为首项，以为公差的等差数列 ……………10分
∴
即． ……………………………………………………………12分
18.证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥.
因为平面，平面，
所以∥平面.
（Ⅱ）法一：证明：由已知可得，,是中点，
所以，
又因为四边形是正方形，所以.
因为，所以
又因为，所以平面平面. -
（Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知，.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设四棱锥的底面边长为2，
则，，，
，，.
所以，.
设（），由已知可求得.
所以，.
设平面法向量为，
则 即
令，得.
易知是平面的法向量.
因为，
所以，所以平面平面. -------------------（8分）
19.解:（1）由已知:
∴ ∴锐角△ABC ∴
（2）原式=
=
=
（Ⅱ）过作于，连结
平面，，
是二面角的平面角。
，是的中点，。
在中，
，即二面角的大小为60°
（Ⅲ）过作于，
平面，平面平面，
平面且为点到平面的距离。
，
。
21．解：（1） ………………2分
由，故
时 由 得的单调增区间是，
由 得单调减区间是
同理时，的单调增区间，，单调减区间为 …5分
（2）①由（1）及 （i）
又由 有知的零点在内，设，
则，结合（i）解得， …8分
∴ ………………9分
②又设，先求与轴在的交点
∵， 由 得
故，在单调递增
又，故与轴有唯一交点
即与的图象在区间上的唯一交点坐标为为所求 …………12分
四、选考题（10分）
22．
解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
23.解：（I）直线的参数方程是． -----------------（5分）
（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为．
圆化为直角坐标系的方程．
以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．
所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2． -----------------（12分）
C1