云南省昆明新世纪高级中学2012届高三第四次月考 文科数学试题

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昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第四次模拟考试题
文科数学
考试时间：2011年11月30日上午8:00-10:00，共120分钟 命题人：王佳明
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：　　
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。在试题卷上作答无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合，，若，则（　　）
A． B． C． D．
2、已知||=6，||=3，·=-12，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A、-4 B、4 C、-2 D、2
3．已知扇形的面积为，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
4． 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
5.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在复数集C上的函数满足则=（ ）
A．0 B． C．1 D．2
7.在右图的算法中，如果输入A=138，B=22，则输出的结果是（ ）
A．138 B．4 C．2 D．0
8、下列有关命题的叙述错误的是（ ）
A、对于命题P：，使得x2+x+1＜0，则 P为：，均有x2+x+1≥0
B、命题“若x2-3x+2=0，则x=1的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0””
C、若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D、“x＞2”是x2-3x+2＞0的充分不必要条件
10.9.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则（ ）
(A) (B)
(C) (D)
10. 在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为
A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2)
11．已知函数的零点依次为，则的大小顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数是上的偶函数，若对于，都有且当时，的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，，，若∥， 则= ．
14．已知sin(α-β)=,sin(α+β)=，且α-β∈(,π), α+β∈(,2π),则cos2β的值是 .
15．已知函数图像在点的切线与图像在点M处的切线平行，则点M的坐标为
16．[2011·陕西卷] 观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为__________________________________________________．
三、解答题（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)，B(2,3)，C(－2,－1) .
(I)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(II)设实数满足()·=0，求的值.
18．（本小题满分12分）已知函数的图象
与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别
为和．
19．（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
20．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，＝(2b－c，a)，＝(cosA，－cosC)，且⊥．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋)取最大值时，求角的大小.
21.已知函数．
⑴若，求曲线在点处的切线方程；
⑵若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
四、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．共10分）
22. （本小题满分10分）（几何证明选讲）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，
与的延长线交于点，为切点．若，，
的平分线与和⊙分别交于点、。
求的值．
23．（本小题满分10分）选修4－４：极坐标与参数方程
已知直线经过点，倾斜角。
（1）写出直线的参数方程；(4分)
（2）设与圆相交于两点、，求点到、两点的距离之积（8分）
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数．
（I）当时，求函数的定义域；
（II）若函数的定义域为，试求的取值范围．
昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第四次模拟考试题
文科数学评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B B B D C C A Ｂ C D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、５ １４、 １　 15 、 16、
三、解答题（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17.解：(I)（方法一）由题设知， …………2分
则 …………4分
所以
故所求的两条对角线的长分别为、 …………6分
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1） …………2分
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） …………4分
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=； …………6分
(II)由题设知：=(－2,－1)， …………8分
由()·=0，得：， …………10分
从而所以 …………12分
或者：，
18．解：（1）由题意可得，即 ，，
．又，由，
,．
，所以，，
又是最小的正数，．
（2），，，，
.
19. 解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
20．【解】(Ⅰ)由⊥，得·＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，
∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，故A＝.
(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos＋cos2Bsin
＝1＋eq \f(,2)sin2B－ cos2B＝1＋sin(2B－).　由(Ⅰ)得，0＜B＜，－＜2B－＜，
∴当2B－＝，即B＝时，y取最大值2.
21.解:⑴当时，函数，．，曲线在点处的切线的斜率为．从而曲线在点处的切线方程为，即．
⑵．令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是．
22.证明：连结，，，，
，． 2分 又 与⊙相切于点，
， ∽，．…（4分）
为⊙的直径，，．
可解得，． …6分
又平分，，又，∽，
． ……10分
23．解：（1）直线的参数方程为，
（2）因为A、B都在直线上，所以可设它们对应的参数分别
为则，。
以直线的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为是方程①的解，从而
所以，
24．（本小题满分10分）选修；不等式选讲
解:（1）由题设知：
如图，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图所示）
得定义域为.
（2）由题设知，当时，恒有
即
又由（1）
∴
（第8题）
A
C
E
B
P
D
O

A
C
E
B
P
D
O