云南省昆明新世纪高级中学2012届高三第六次月考 理科数学试题

绝密★启用前
昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第六次模拟考试题
理科数学
考试时间：2012年2月26日上午8:00-10:00，共120分钟 命题人：马兴华
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：　　
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。在试题卷上作答无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设全集,集合则为
A． B． C． D．
2．复数（，是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3．已知向量，若垂直，则的值为
A． B． C． D．
4．已知，，是三个互不重合的平面，是一条直线，下列命题中正确命题是
A．若，，则 B．若上有两个点到的距离相等，则
C．若，∥，则 D．若，，则
5．已知函数，（）．那么下面命题中真命题的序号是
①的最大值为 ②的最小值为
③在上是减函数 ④ 在上是减函数
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．已知空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位:cm)
可得该几何体的体积为
A． B．
C． D．
7．
A． B． C． D．
8．若，则
A． 　　　B．
C． 　　　 D．
9．阅读右侧的算法框图，输出结果的值为
A． B．
C. D．
10．把24粒种子分别种在8个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，则的数学期望为
A．10元 B．20元 C．40元 D．80元
11．已知点M在曲线上，点N在不等式组所表示的平面区域上，那么|MN|的最小值是
A． B． C．1 D．2
12．将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13． ．（用数字作答）
14． 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时 且，则不等式的解集为 ．
15．在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若向量,，则角 ．
16．已知双曲线与抛物线有 一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为 ．
三．解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）的内角的对边长分别为，若 且试判断的形状，并说明理由．
18．（本小题满分12分）
为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组……第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，根据有关规定，成绩小于16秒为达标．
（Ⅰ）用样本估计总体，某班有学生45人,设为达标人数,求的数学期望与方差；
（Ⅱ）如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如右表：
根据表中所给的数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？
附：
性别是否达标 男 女 合计
达标 _____ _____
不达标 ___ _____
合计 ______ ______
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为菱形，平面，
，分别为的中点，．
（Ⅰ）求证：平面平面．
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
如图，已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，且椭圆的离心率，也是抛物线：的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，
且，点关于轴的对称点为，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数，为正常数．
（Ⅰ）若，且，求函数的单调增区间；
（Ⅱ） 若，且对任意，，都有，求的的取值范围．
四．选考题（从下列三道解答题中任选一题作答，作答时，请在答题卷上注明题号；满分10分.）
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，是⊙的直径，是弦，∠BAC的平分线
交⊙于，交延长线于点，交于点．
（Ⅰ）求证：是⊙的切线；
（Ⅱ）若，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，
直线与曲线分别交于．
（Ⅰ）写出曲线和直线的普通方程； （Ⅱ）若成等比数列,求的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 （Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围．
昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第六次模拟考试题
理科数学评分标准
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D B C B C D A D A C B
二、填空题：
13. 55 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）
.......3分
.......6分
（Ⅱ）由正弦定理得：，
∴，………......…............…..8分
∵， ∴或．……………..10分
当时；当时，．（不合题意，舍） .........……........…11分
.............................……12分
18解：(Ⅰ）
.........................3分
若用样本估计总体，则总体达标的概率为0.6 从而～B(45，0.6）
(人)，=10．8..................................6分
（Ⅱ）
性别是否达标 男 女 合计
达标 a=24 b=6 30
不达标 c=8 d=12 20
合计 32 18 n=50
.................................................................................................................................9分
8．333
由于>6．625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”.
解决办法：可以根据男女生性别划分达标的标准..............................12分
19．证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，
∴．在中，，，
∴．∴，即．
又， ∴．...............................................2分
∵平面，平面，∴．又∵，
∴平面，.............................................................4分
又∵平面， ∴平面平面． ........................................6分
（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，
∴平面平面 ...................................................................6分
∵平面，∴．
由（Ⅰ）知，又
∴平面，又平面，
∴平面平面．
∴平面是平面与平面的公垂面．..........................................8分
所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．..........................9分
在中，，即．....................10分
又，∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．.........................12分
理（Ⅱ）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，
、、、，
则，，．...............7分
由（Ⅰ）知平面，
故平面的一个法向量为．.....................................8分
设平面的一个法向量为，
则 ，即，令，
则． ..........................................10分
∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．...............................12分
20．解：（Ⅰ）因为抛物线的焦点是，
则，得，则，
故椭圆的方程为．......................................................4分
（Ⅱ）显然直线的斜率不存在时不符合题意，可设直线：，设，，由于，则；..........................................................6分
联立，得，
则 ，...........① ，..............②，将代入①、②得：
，..............③ ，.....④ ，由③、④得，
，，.................................................................................. 10分
（i）若时，，，
即，，，
直线的方程是；
（ii）当时，同理可求直线的方程是．...........................12分
21．解：（Ⅰ） ， ...............................................2分
∵，令，得，或，..........................................................3分
∴函数的单调增区间为， ． ...................................................4分
（Ⅱ）∵，∴，
∴，...........................................................................5分
设，依题意，在上是减函数．
当时， ，，
令，得：对恒成立，
设，则，
∵，∴，
∴在上是增函数，则当时，有最大值为，∴．........9分
当时， ，，
令，得： ，
设，则，∴在上是增函数，
∴，∴，综上所述，.......................................................12分
四、选考题
22．选修4—1：几何证明选讲
证明：（Ⅰ）连接OD，可得
　　OD∥AE............................................3分
又
DE是⊙的切线．--...................................................................5分
（Ⅱ）过D作于H，则有
．
设，则
..................................8分
由∽可得
又∽，........................................................................................10分
23．选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）.....................................................................5分
（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数）,
代入得到,
则有......................................................8分
因为,所以解得 ..........10分
24．选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）原不等式等价于
或..............3分
解之得即不等式的解集为............5分
（Ⅱ）................................8分
，解此不等式得 ...................................................10分
第6题图
第9题图
F
P
E
A
D
C
B
第19题图
F
P
E
A
D
C
B