云南省昆明新世纪高级中学2012届高三第二次月考 理科数学试题

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昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第二次模拟考试题
理科数学
考试时间：2011年9月30日上午8:00-10:00，共120分钟 命题人：张国华
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：　　
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。在试题卷上作答无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合,则满足的集合的个数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．8
2．下列函数中，在内有零点且单调递增的是( )
A． B． C． D．
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列中，，记，S13=( )
A．78 B．68 C．56 D．52
5． 若，则为 （ ）
6．已知三棱锥P-ABC ，且点P到△ ABC的三边距离相等，则P点在平面ABC上的射影是△ ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
7．函数的
图像如下图，则( )
A． B．
C. D.
8．已知点又是曲线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数若有则的取值范围为( )
A． B． C． D．
11．右图是某四棱锥的三视图，则该几何体
的表面积等于 ( )
A． B．
C． D．
12.点是曲线上的任意一点，
则点到直线的最小距离为（ ）
A. 1 B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知实数、满足，则－3的最大值是 _______ .
14. 若圆与圆的公共弦长为，则=_____.
15．已知两个点M(-5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1; ②；③y=2；④y=2x+1．
其中为“B型直线”的是 ___ ．（填上所有正确结论的序号）
16.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的弧AB上移动，若求的最大值_____________
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知的周长为，且．
　（Ⅰ）求边长的值； （Ⅱ）若，求的值．
18．（本小题满分12分）
某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；
（Ⅱ）为调查该地区的年龄与生活习惯是否符合低碳观念有无关系，调查组按40岁以下为青年，40岁以上(含40岁)为老年分成两组，请你先完成下列维列表，并判断能否有99.9％的把握认定该地区的生活习惯是否符合低碳观念与人的年龄有关？
参考公式：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
是否低碳族 年龄组 青年 老年
低碳族
非低碳族
19．（本小题满分12分）
如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱被平面所截而得． ，
为的中点．
（Ⅰ）当时，求平面与平面的夹角的余弦值；
（Ⅱ）当为何值时，在棱上存在点，使平面？
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）一动圆与圆相外切，与圆相内切求动圆圆心的轨迹曲线E的方程，并说明它是什么曲线。
（Ⅱ）过点作一直线与曲线E交与A,B两点，若，求此时直线的方程。
21．（本小题满分12分）
已知函数。
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）若在恒成立，求的取值范围。
（本小题满分10分）从22，23，24三选一，多选按第一题计分。
22．选修4－1：几何证明选讲
如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．
（I）求证：直线是⊙的切线；
（II）若⊙的半径为，求的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
（I）当α＝时，求C1与C2的交点的坐标；
（II）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（I）当时，求函数的定义域；
（II）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．
昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第二次模拟考试题
理科数学评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C D A A D C B B A D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 1 15. ①③ 16. 2
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解 （1）根据正弦定理，可化为．
联立方程组，解得．
（2）， ．
　 又由（1）可知，，
　 由余弦定理得
∴
18．解（1）第一组的人数为，
频率为，
所以．
由题可知，第二组的频率为0．3，
所以第二组的人数为，
所以．
第四组的频率为，
所以第四组的人数为，
所以．
（Ⅱ）完成表格
是否低碳族 年龄 青年 老年
低碳族 395 105
非低碳族 305 195
代入公式
有99.9％的把握认为该地区的生活习惯与是否符合低碳观念与人的年龄有关.
19．（1）分别取、的中点、，连接、．
以直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则、、的坐标分别为（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3）
设平面的法向量，
由得
，可取
平面的法向量可以取
∴
∴平面与平面的夹角的余弦值为．
（2）在（1）的坐标系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．
因在上，设，则
∴
于是平面的充要条件为
由此解得，
即当=2时，在上存在靠近的第一个四等分点，使平面．
20．
解：（1）设动圆圆心的坐标为，半径为r
又内切和外切的几何意义
所以所求曲线轨迹为椭圆，
方程为：
⑵设直线方程为直线与椭圆交与A ， B
联立方程组把直线方程代入椭圆方程化简整理得
①
又弦长公式，代入解的
所以直线方程为
21．解：（Ⅰ）
当时，单调递减，
单调递增。
当时，单调递增。
（Ⅱ），得到
令已知函数
单调递减，单调递增。
，即，
在单调递减，
在，，若恒成立，则。
（本小题满分10分）三选一
23．解：（I）当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．
（II）C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.
A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)． P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.
故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．
24．解：（I）由题设知：，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数的定义域为；
（II）不等式即，
∵时，恒有，
不等式解集是， ∴，的取值范围是．
第11题
A
C
B
E
O
D