云南省昆明新世纪高级中学2012届高三第三次月考 理科数学试题

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昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第三次模拟考试题
理科数学
考试时间：2011年10月28日上午8:00-10:00，共120分钟 命题人：李美鸯
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：　　
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。在试题卷上作答无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设全集是实数集， M={|＞4}，N＝{|}，
则右图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|－2≤x＜1 B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2 D．{x|x＜2}
2．是虚数单位，、、、，若复数为实数，则（ ）
A． B． C． D．
3. 等差数列满足:,则=（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．若,则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
5．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 各项均为正数的等比数列中，且，则等于（ ）
A．16 B．27 C．36 D．－27
7. 已知函数（其中）的图象如右图所示，
则函数的图象是（ ）
A B C D
8. 设,且=则（ ）
A．0≤≤ B．≤≤ C．≤≤ D．≤≤
9. 已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．若等边的边长为，平面内一点满足，则
( )
A. B. C． D．
11. 已知函数 若>，则实数的取值范围是( )
A． B. C. D.
12. 已知函数,若有,则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是 。
14. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是 名.
16．给出下列四个命题：
①已知都是正数，且，则；
　　②若函数的定义域是，则；
③已知x∈（0，π），则y=sinx+的最小值为；　
④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于2.
其中正确命题的序号是________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（本小题满分12分）
某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，第二年是万元，第三年是万元，…，以后逐年递增万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用年的维修费用为，年平均费用为.
（1）求出函数，的解析式；
（2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？
20.（本小题满分12分）
设函数.
（1）判断并求出函数的极值；
（2）若时，，求的最大值.
21．（本小题满分12分）
已知函数,
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若在上存在一点，使得＜成立，求的取值范围．
请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的点，OC垂直于
直径AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D．连结CF
交AB于E点.
(1）求证：DE2=DB·DA；
（2）若⊙O的半径为，OB=OE，求EF的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线：，曲线：
（1）曲线是否有公共点, 为什么
（2）若把上各点的横坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.问与公共点的个数和与公共点的个数是否相同？说明你的理由.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围。
昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第三次模拟考试题
理科数学评分标准
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B D B B A B D C D B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. ； 14. 10； 15．； 16．①，④
三、解答题（共70分）
17. （本小题满分12分）
解：，∴，数列是等比数列.
.假设数列是等比数列，则
∴与假设矛盾，所以假设不成立。
∴数列不是等比数列. ………………6分
（2）
∴………①
∴………② ，①-②得
∴＜3. ……12分
18．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)∵=(x,x),=(x,2x x)
∴f(x)=·+||=2x+x(2x x)+1
=2x 2x+2xx+1
=2x+2x+1=2(2x+)+1. ……4分
∵x(,],∴<2x+ 1(2x+),∴f(x)=f()=2. ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(B)=2(2x+)+1= 1, ∴(2B+)= 1,
而<2B+, ∴2B+=B=. ……9分
又a=c=2, ∴·=ac( B)=22=2. ……12分
19. （本小题满分12分）
解：（ 1）由题意知使用年的维修总费用为
= 万元 ------ （3分）
依题得 -------- （6分）
（2） ------------ （8分）
当且仅当 即时取等号 ----------- （10分）
时取得最小值3 万元
答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3万元. -----（12分）
21．（本小题满分12分）
解：解：（Ⅰ）的定义域为，
当时，， ，
，,切点，斜率
∴函数在点处的切线方程为…………4分
（Ⅱ），
①当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，在上，
所以，函数在上单调递增． …………8分
（III）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零．
由（Ⅱ）可知：①当，即时， 在上单调递减，
所以的最小值为，由可得，
因为，所以；
②当，即时， 在上单调递增，
所以最小值为，由可得；
③当，即时， 可得最小值为，
因为，所以，
故 此时不存在使成立．
综上可得所求的范围是：或． …………12分
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
解:（Ⅰ）连结OF．∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°．∴∠OFC+∠CFD=90°．
∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC．
∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°．
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE．
∵DF是⊙O的切线,∴DF2=DB·DA．
∴DE2=DB·DA.----------------------------------5分
（Ⅱ），CO=，
∵CE·EF= AE·EB= (+2)(-2)=8，∴EF=2．-----------------------10分
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）的普通方程为，圆心，半径．………………1分
的普通方程为．………………2分
因为圆心到直线的距离为，………………4分
所以与只有一个公共点．………………5分
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
：； ：………………6分
化为普通方程为：：，：，………………8分
联立消元得，其判别式，………9分
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．…10分
N
M
y=f (x)