8.3实际问题与二元一次方程组-2020-2021学年人教版七年级数学下册导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 8.3实际问题与二元一次方程组-2020-2021学年人教版七年级数学下册导学案（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 516.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-23 17:20:21 | ||
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文档简介
8.3 实际问题与二元一次方程组
【总结解题方法 提升解题能力】
【知识点梳理】 一、常见的一些等量关系
1、和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2、产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3、数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4、工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
5、行程问题
速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度.
6、存贷款问题
利息=本金×利率×期数. 年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
7、利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
8、方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
二、实际问题与二元一次方程组
1、列方程组解应用题的基本思路
2、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
一、和差倍分问题
1、电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？
2、在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％．
(男(女)生优分率＝，全校优分率＝)
(1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?
(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．
二、配套问题
1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
2、某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）.
三、数字问题
1、一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（ ）。
A、92 B、38 C、47 D、29
2、一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）。
A、16 B、25 C、52 D、61
四、工程问题
1、一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?
2、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．
五、行程问题
1、A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．
(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；
(2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
2、两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？
六、存贷款问题
1、某公司向银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为（ ）。
A、26万元，42万元 B、40万元，28万元
C、28万元，40万元 D、42万元，26万元
2、蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？
七、利润问题
1、某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
2、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
八、方案选择问题
1、某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：
①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？
②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？
2、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
【巩固练习】
一、选择题。
1、已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（ ）。
A、 B、 C、 D、
3、某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐59个，扁担36根，若设抬土的学生x人，挑土的学生y人，则有 ( )。
A、 B、 C、 D、
4、一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）。
A、86 B、68 C、97 D、73
5、为了参加某国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．则方程组正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
6、一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，若设小瓶单价为x角，大瓶为y角，可列方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7、如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是（ ）。
A、16 B、44 C、96 D、140
8、《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）。
A、 B、 C、 D、
9、同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（ ）。
A、16块、16块 B、8块、24块 C、20块、12块 D、12块、20块
10、欣平超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；(3)一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( )。
A、288元 B、322 元 C、288元或316元 D、332元或363元
二、填空题。
1、一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.
2、某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需 元．
3、甲、乙两同学同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙上山的速度比是6：4，并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是距离山脚下 m．
4、一个水池有两个进水管，单独开甲管注满水池需2小时，单独开乙管注满水池需3小时，两个同时开注满水池的时间是_________小时．
5、已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为促销而打折销售，若甲商品打8折，乙商品打6折，则可赚50元；若甲商品打6折，乙商品打8折，则可赚30元，则甲、乙两种商品的定价分别是________．
三、应用题。
1、 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现在36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以使盒身与盒底正好配套？
2、已知甲、乙两种商品的原价和为200元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提高10%，调价后甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了5%。求甲、乙两种商品的原单价各是多少元．
3、在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子.A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．
4、某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度。
5、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？
6、穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
7、某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利8160元，乙种商品应售价为每件多少元？
8、已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
参考答案
一、和差倍分问题
1、电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？
【解析】解：设茶壶的单价为x元，茶杯的单价为y元，
由题意得，， 解得：．
答：茶壶的单价为70元，茶杯的单价为15元．
2、在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％．
(男(女)生优分率＝，全校优分率＝)
(1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?
(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．
【解析】解：(1)设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人．
由题意可列方程组：
解之得：．
答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人．
(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为
．51％＞49.6％
二、配套问题
1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
【解析】解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，列方程组得 ，解方程组得
答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
2、某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）.
【解析】解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得，
, .
∴方桌有50=300（张）.
答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌.
三、数字问题
1、一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（ ）。
A、92 B、38 C、47 D、29
【答案】D．
【解析】解：设这个两位数十位为x，个位为y，
由题意得，，解得：， 则这个两位数为：29．故选：D．
2、一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）。
A、16 B、25 C、52 D、61
【答案】A
【解析】解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a），
由题意，得，解得．所以这个两位数是：10×1+6=16．
四、工程问题
1、一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?
【解析】解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件．
根据题意，得，解之，得．
答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个．
2、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．
【解析】解：（1）设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．
由题意得解得
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元．
（2）单独请甲组需要的费用：300×12=3600元．
单独请乙组需要的费用：24×140=3360元．
答：单独请乙组需要的费用少．
（3）请两组同时装修，理由：
甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；
乙单独做，需费用3360元，少赢利200×24=4800元，相当于损失8160元；
甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；
因为5120＜6000＜8160，所以甲乙合作损失费用最少．
答：甲乙合作施工更有利于商店．
五、行程问题
1、A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．
(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；
(2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
(1)“同时开出相向而行”可用下图表示．
“同时开出同向而行”可用下图表示．
【解析】解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．
根据题意，得，解得
答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．
(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，
根据题意，得60(x+1)+100x＝480．
解得．
答：快车开出小时两车相遇．
2、两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？
【解析】解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m．
由题意得，
答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 36 km/h．
六、存贷款问题
1、某公司向银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为（ ）。
A、26万元，42万元 B、40万元，28万元
C、28万元，40万元 D、42万元，26万元
【答案】D
【解析】设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元与y万元，则有，解这个二元一次方程组得，所以该公司甲、乙两种贷款的数额分别为42万元与26万元．故选D．
2、蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？
【解析】解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：
解得：
答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元．
七、利润问题
1、某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
【解析】解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得
，解得：．
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．
（2）300×（36﹣24）+200×（48﹣33）
=3600+3000
=6600（元）．
答：该商场共获得利润6600元．
2、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【解析】解：设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是y元，依题意有
解得：
答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．
八、方案选择问题
1、某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：
①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？
②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？
【解析】解：①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，
根据题意可知3大箱、2小箱共92瓶，
可列式为3x+2y=92，
又知5大箱、3小箱共150瓶，
故可列式为5x+3y=150，
即列方程组为，解得：，
故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有饮料：10×5=50（瓶），
答：2大箱有48瓶、5小箱有饮料50瓶；
②∵一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，
∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），所以买大箱合算．
2、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
【解析】
解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：
解得：
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.
∴能供全校的5300名学生就餐.
【巩固练习】
一、选择题。
1、已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】设甲数为x，乙数为y，由题意得：，故选B．
2、今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C；
3、某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐59个，扁担36根，若设抬土的学生x人，挑土的学生y人，则有 ( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B；
【解析】注意了解生活常识：抬土即两个人需要一根扁担和一个箩筐；挑土即一个人需要一根扁担和两个箩筐．
4、一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）。
A、86 B、68 C、97 D、73
【答案】D；
【解析】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．
则，解得． 故选D．
5、为了参加某国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．则方程组正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A；
【解析】根据题意可得等量关系：①自行车路段的长度为x米+长跑路段的长度y米=5000米；②骑自行车所用时间+跑步所用时间=15分钟，根据等量关系可得方程组.
6、一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，若设小瓶单价为x角，大瓶为y角，可列方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7、如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是（ ）。
A、16 B、44 C、96 D、140
【答案】B
【解析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，依题意得：
，解得：．
故小长方形的长为8 cm，宽为2 cm，
∴S阴影部分=S四边形ABCD-6×S小长方形=14×10-6×2×8=44（cm2）．故选B．
8、《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：．故选A．
9、同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（ ）。
A、16块、16块 B、8块、24块 C、20块、12块 D、12块、20块
【答案】D；
【解析】根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有3y条边，而黑皮共有边数为5x，依此列方程组求解即可．
10、欣平超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；(3)一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( )。
A、288元 B、322 元 C、288元或316元 D、332元或363元
【答案】C；
【解析】解：一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折，则在这个范围内最低付款90元，因而第一次付款80元，没有优惠；
当第二次购物是第二种优惠，可得出原价是 252÷0.9=280(元)（符合超过100不高于300）．则两次共付款：80+280=360元，超过300元，则一次性购买应付款：360×0.8=288元；
当第二次付款是超过300元时：可得出原价是 252÷0.8=315（符合超过300元），
则两次共应付款：80+315=395元，则一次性购买应付款：395×0.8=316元．
故一次性购买应付款：288元或316元．
二、填空题。
1、一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.
【答案】19；
【解析】设做对了道题，做错了道题，由题意列方程组 ，解得 ．
2、某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需 元．
【答案】1100；
【解析】本题关系式为：3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，据此得到一个单人间和一个双人间各需多少钱，进而相加后乘以5即可得到所求.
3、甲、乙两同学同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙上山的速度比是6：4，并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是距离山脚下 m．
【答案】240；
【解析】本题关系式为：路程=速度×时间．如果设甲上山速度为6x，则乙上山速度为4x．首先求出甲第三次到达山顶时所用时间，然后根据二人所行时间相等及他们速度之间的关系求出乙所在的位置是距离山脚的高度．
4、一个水池有两个进水管，单独开甲管注满水池需2小时，单独开乙管注满水池需3小时，两个同时开注满水池的时间是_________小时．
【答案】．
【解析】设两个同时开注满水池的时间是x小时，由题意得（+）x=1，解得：x=．答：两个同时开注满水池的时间是小时．
5、已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为促销而打折销售，若甲商品打8折，乙商品打6折，则可赚50元；若甲商品打6折，乙商品打8折，则可赚30元，则甲、乙两种商品的定价分别是________．
【答案】150元，50元；
【解析】设甲、乙两种商品的定价分别为元，元，则：
， 解得.
三、应用题。
1、 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现在36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以使盒身与盒底正好配套？
【解析】解：设用x张白铁皮制盒身，y张白铁皮制盒底，则共制盒身25x个，共制盒底40y个，
根据题意，得，解得
答：用16张白铁皮制盒身，20张制盒底正好使盒身与盒底配套．
2、已知甲、乙两种商品的原价和为200元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提高10%，调价后甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了5%。求甲、乙两种商品的原单价各是多少元．
【解析】， 解得．
答：甲、乙两种商品的原单价各是50元、150元．
3、在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子.A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．
【解析】设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，
根据题意，得，解得．
答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．
4、某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度。
【解析】解：设火车的速度为xmin/s，设火车的长为ym；
由题意得；解这个方程得
答：火车的速度为20min/s，设火车的长为200m；
5、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？
【解析】解：设平均每分钟1道正门可通过x名学生，1道侧门可通过y名学生．
由题意，得， 解得．
答：平均每分钟1道正门可通过120名学生，l道侧门可通过80名学生．
6、穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【解析】解：（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
由题意得，解得.
答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则
a=（1957－57）÷（5+4.5）=200（天），
b=（1957－57）÷（5+4.5+0.2+0.3）=190（天），
则a－b=10（天）．
答：能比原来少用10天．
7、某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利8160元，乙种商品应售价为每件多少元？
【解析】解：（1）设商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意得：
解得：．
答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品120件．
（2）设乙种商品每件售价z元，根据题意，得
120（z-100）+2×200×（138-120）=8160，
解得：z=108．
答：乙种商品最低售价为每件108元．
8、已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
【解析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，
根据题意得：，解得：．
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．
（2）由题意可得：3a+4b=31，
∴b=．∵a，b均为整数，∴有、和三种情况．
故共有三种租车方案，分别为：①A型车1辆，B型车7辆；
②A型车5辆，B型车4辆；③A型车9辆，B型车1辆．
【总结解题方法 提升解题能力】
【知识点梳理】 一、常见的一些等量关系
1、和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2、产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3、数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4、工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
5、行程问题
速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度.
6、存贷款问题
利息=本金×利率×期数. 年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
7、利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
8、方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
二、实际问题与二元一次方程组
1、列方程组解应用题的基本思路
2、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
一、和差倍分问题
1、电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？
2、在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％．
(男(女)生优分率＝，全校优分率＝)
(1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?
(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．
二、配套问题
1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
2、某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）.
三、数字问题
1、一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（ ）。
A、92 B、38 C、47 D、29
2、一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）。
A、16 B、25 C、52 D、61
四、工程问题
1、一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?
2、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．
五、行程问题
1、A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．
(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；
(2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
2、两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？
六、存贷款问题
1、某公司向银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为（ ）。
A、26万元，42万元 B、40万元，28万元
C、28万元，40万元 D、42万元，26万元
2、蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？
七、利润问题
1、某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
2、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
八、方案选择问题
1、某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：
①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？
②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？
2、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
【巩固练习】
一、选择题。
1、已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（ ）。
A、 B、 C、 D、
3、某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐59个，扁担36根，若设抬土的学生x人，挑土的学生y人，则有 ( )。
A、 B、 C、 D、
4、一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）。
A、86 B、68 C、97 D、73
5、为了参加某国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．则方程组正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
6、一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，若设小瓶单价为x角，大瓶为y角，可列方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7、如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是（ ）。
A、16 B、44 C、96 D、140
8、《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）。
A、 B、 C、 D、
9、同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（ ）。
A、16块、16块 B、8块、24块 C、20块、12块 D、12块、20块
10、欣平超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；(3)一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( )。
A、288元 B、322 元 C、288元或316元 D、332元或363元
二、填空题。
1、一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.
2、某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需 元．
3、甲、乙两同学同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙上山的速度比是6：4，并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是距离山脚下 m．
4、一个水池有两个进水管，单独开甲管注满水池需2小时，单独开乙管注满水池需3小时，两个同时开注满水池的时间是_________小时．
5、已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为促销而打折销售，若甲商品打8折，乙商品打6折，则可赚50元；若甲商品打6折，乙商品打8折，则可赚30元，则甲、乙两种商品的定价分别是________．
三、应用题。
1、 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现在36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以使盒身与盒底正好配套？
2、已知甲、乙两种商品的原价和为200元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提高10%，调价后甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了5%。求甲、乙两种商品的原单价各是多少元．
3、在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子.A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．
4、某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度。
5、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？
6、穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
7、某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利8160元，乙种商品应售价为每件多少元？
8、已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
参考答案
一、和差倍分问题
1、电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？
【解析】解：设茶壶的单价为x元，茶杯的单价为y元，
由题意得，， 解得：．
答：茶壶的单价为70元，茶杯的单价为15元．
2、在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％．
(男(女)生优分率＝，全校优分率＝)
(1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?
(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．
【解析】解：(1)设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人．
由题意可列方程组：
解之得：．
答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人．
(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为
．51％＞49.6％
二、配套问题
1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
【解析】解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，列方程组得 ，解方程组得
答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
2、某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）.
【解析】解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得，
, .
∴方桌有50=300（张）.
答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌.
三、数字问题
1、一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（ ）。
A、92 B、38 C、47 D、29
【答案】D．
【解析】解：设这个两位数十位为x，个位为y，
由题意得，，解得：， 则这个两位数为：29．故选：D．
2、一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）。
A、16 B、25 C、52 D、61
【答案】A
【解析】解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a），
由题意，得，解得．所以这个两位数是：10×1+6=16．
四、工程问题
1、一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?
【解析】解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件．
根据题意，得，解之，得．
答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个．
2、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．
【解析】解：（1）设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．
由题意得解得
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元．
（2）单独请甲组需要的费用：300×12=3600元．
单独请乙组需要的费用：24×140=3360元．
答：单独请乙组需要的费用少．
（3）请两组同时装修，理由：
甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；
乙单独做，需费用3360元，少赢利200×24=4800元，相当于损失8160元；
甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；
因为5120＜6000＜8160，所以甲乙合作损失费用最少．
答：甲乙合作施工更有利于商店．
五、行程问题
1、A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．
(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；
(2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
(1)“同时开出相向而行”可用下图表示．
“同时开出同向而行”可用下图表示．
【解析】解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．
根据题意，得，解得
答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．
(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，
根据题意，得60(x+1)+100x＝480．
解得．
答：快车开出小时两车相遇．
2、两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？
【解析】解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m．
由题意得，
答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 36 km/h．
六、存贷款问题
1、某公司向银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为（ ）。
A、26万元，42万元 B、40万元，28万元
C、28万元，40万元 D、42万元，26万元
【答案】D
【解析】设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元与y万元，则有，解这个二元一次方程组得，所以该公司甲、乙两种贷款的数额分别为42万元与26万元．故选D．
2、蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？
【解析】解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：
解得：
答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元．
七、利润问题
1、某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
【解析】解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得
，解得：．
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．
（2）300×（36﹣24）+200×（48﹣33）
=3600+3000
=6600（元）．
答：该商场共获得利润6600元．
2、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【解析】解：设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是y元，依题意有
解得：
答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．
八、方案选择问题
1、某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：
①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？
②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？
【解析】解：①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，
根据题意可知3大箱、2小箱共92瓶，
可列式为3x+2y=92，
又知5大箱、3小箱共150瓶，
故可列式为5x+3y=150，
即列方程组为，解得：，
故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有饮料：10×5=50（瓶），
答：2大箱有48瓶、5小箱有饮料50瓶；
②∵一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，
∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），所以买大箱合算．
2、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
【解析】
解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：
解得：
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.
∴能供全校的5300名学生就餐.
【巩固练习】
一、选择题。
1、已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】设甲数为x，乙数为y，由题意得：，故选B．
2、今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C；
3、某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐59个，扁担36根，若设抬土的学生x人，挑土的学生y人，则有 ( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B；
【解析】注意了解生活常识：抬土即两个人需要一根扁担和一个箩筐；挑土即一个人需要一根扁担和两个箩筐．
4、一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）。
A、86 B、68 C、97 D、73
【答案】D；
【解析】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．
则，解得． 故选D．
5、为了参加某国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．则方程组正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A；
【解析】根据题意可得等量关系：①自行车路段的长度为x米+长跑路段的长度y米=5000米；②骑自行车所用时间+跑步所用时间=15分钟，根据等量关系可得方程组.
6、一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，若设小瓶单价为x角，大瓶为y角，可列方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7、如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是（ ）。
A、16 B、44 C、96 D、140
【答案】B
【解析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，依题意得：
，解得：．
故小长方形的长为8 cm，宽为2 cm，
∴S阴影部分=S四边形ABCD-6×S小长方形=14×10-6×2×8=44（cm2）．故选B．
8、《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：．故选A．
9、同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（ ）。
A、16块、16块 B、8块、24块 C、20块、12块 D、12块、20块
【答案】D；
【解析】根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有3y条边，而黑皮共有边数为5x，依此列方程组求解即可．
10、欣平超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；(3)一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( )。
A、288元 B、322 元 C、288元或316元 D、332元或363元
【答案】C；
【解析】解：一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折，则在这个范围内最低付款90元，因而第一次付款80元，没有优惠；
当第二次购物是第二种优惠，可得出原价是 252÷0.9=280(元)（符合超过100不高于300）．则两次共付款：80+280=360元，超过300元，则一次性购买应付款：360×0.8=288元；
当第二次付款是超过300元时：可得出原价是 252÷0.8=315（符合超过300元），
则两次共应付款：80+315=395元，则一次性购买应付款：395×0.8=316元．
故一次性购买应付款：288元或316元．
二、填空题。
1、一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.
【答案】19；
【解析】设做对了道题，做错了道题，由题意列方程组 ，解得 ．
2、某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需 元．
【答案】1100；
【解析】本题关系式为：3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，据此得到一个单人间和一个双人间各需多少钱，进而相加后乘以5即可得到所求.
3、甲、乙两同学同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙上山的速度比是6：4，并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是距离山脚下 m．
【答案】240；
【解析】本题关系式为：路程=速度×时间．如果设甲上山速度为6x，则乙上山速度为4x．首先求出甲第三次到达山顶时所用时间，然后根据二人所行时间相等及他们速度之间的关系求出乙所在的位置是距离山脚的高度．
4、一个水池有两个进水管，单独开甲管注满水池需2小时，单独开乙管注满水池需3小时，两个同时开注满水池的时间是_________小时．
【答案】．
【解析】设两个同时开注满水池的时间是x小时，由题意得（+）x=1，解得：x=．答：两个同时开注满水池的时间是小时．
5、已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为促销而打折销售，若甲商品打8折，乙商品打6折，则可赚50元；若甲商品打6折，乙商品打8折，则可赚30元，则甲、乙两种商品的定价分别是________．
【答案】150元，50元；
【解析】设甲、乙两种商品的定价分别为元，元，则：
， 解得.
三、应用题。
1、 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现在36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以使盒身与盒底正好配套？
【解析】解：设用x张白铁皮制盒身，y张白铁皮制盒底，则共制盒身25x个，共制盒底40y个，
根据题意，得，解得
答：用16张白铁皮制盒身，20张制盒底正好使盒身与盒底配套．
2、已知甲、乙两种商品的原价和为200元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提高10%，调价后甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了5%。求甲、乙两种商品的原单价各是多少元．
【解析】， 解得．
答：甲、乙两种商品的原单价各是50元、150元．
3、在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子.A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．
【解析】设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，
根据题意，得，解得．
答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．
4、某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度。
【解析】解：设火车的速度为xmin/s，设火车的长为ym；
由题意得；解这个方程得
答：火车的速度为20min/s，设火车的长为200m；
5、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？
【解析】解：设平均每分钟1道正门可通过x名学生，1道侧门可通过y名学生．
由题意，得， 解得．
答：平均每分钟1道正门可通过120名学生，l道侧门可通过80名学生．
6、穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【解析】解：（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
由题意得，解得.
答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则
a=（1957－57）÷（5+4.5）=200（天），
b=（1957－57）÷（5+4.5+0.2+0.3）=190（天），
则a－b=10（天）．
答：能比原来少用10天．
7、某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利8160元，乙种商品应售价为每件多少元？
【解析】解：（1）设商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意得：
解得：．
答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品120件．
（2）设乙种商品每件售价z元，根据题意，得
120（z-100）+2×200×（138-120）=8160，
解得：z=108．
答：乙种商品最低售价为每件108元．
8、已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
【解析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，
根据题意得：，解得：．
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．
（2）由题意可得：3a+4b=31，
∴b=．∵a，b均为整数，∴有、和三种情况．
故共有三种租车方案，分别为：①A型车1辆，B型车7辆；
②A型车5辆，B型车4辆；③A型车9辆，B型车1辆．