8.4三元一次方程组的解法-2020-2021学年人教版七年级数学下册导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 8.4三元一次方程组的解法-2020-2021学年人教版七年级数学下册导学案（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 559.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-23 17:22:29 | ||
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文档简介
8.4 三元一次方程组的解法
【总结解题方法 提升解题能力】
【知识点梳理】 一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1、三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
2、三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
二、三元一次方程组的解法
1、解三元一次方程组的一般步骤
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
三、三元一次方程组的应用
1、列三元一次方程组解应用题的一般步骤
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1、下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、下列方程组中是三元一次方程组的是( )。
A、 B、 C、 D、
3、下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、三元一次方程组的解法
1、在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a，b，c的值．
2、解方程组：
3、解方程组
4、已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．
三、三元一次方程组的应用
1、购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．
2、现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?
【巩固练习】
一、填空题。
1、下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、下列四组数值中，为方程组的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、
3、已知方程组，则a+b+c的值为（ ）。
A、6 B、-6 C、5 D、-5
4、已知与是同类项，则x-y+z的值为 ( ) 。
A、1 B、2 C、3 D、4
5、已知代数式，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为 （ ）。
A、4 B、8 C、62 D、52
6、已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7、已知xyz≠0，且，则x∶y∶z等于（ ）。
A、3∶2∶1 B、1∶2∶3 C、4∶5∶3 D、3∶4∶5
8、关于x，y的方程组的解是方程3x+2y=10的解，那么a的值为（ ）。
A、﹣2 B、2 C、﹣1 D、1
9、已知甲、乙、丙三个人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人共有（ ）。
A、30元 B、33元 C、36元 D、39元
10、为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) 。
A、11支 B、9支 C、7支 D、5支
二、填空题。
11、方程组的解为 。
12、已知，则= 。
13、已知方程组，若设，则k=__________。
14、某车间共有86名工人，已知每人平均每天可以加工甲种部件15个，乙种部件12个或丙种部件9个，要使加工后的部件按3个甲种部件，2个乙种部件和1个丙种部件配套，则应安排__________人加工甲种部件，__________人加工乙种部件，__________人加工丙种部件。
15、甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙三个数分别是__________。
三、解下列方程组。
16、（1） （2） （3）
四、应用题。
1、新定义对有理数x，y定义新运算x△y=ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1△2=9，（-3）△3=6，0△1=2，求（-2）△5的值．
2、在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=-2时，求y的值．
3、某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50棵，乙组植树的棵数是甲、丙两组和的 ，甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和，则每组各植树多少棵？
4、2003年全国足球甲A联赛的前12轮(场)比赛后，前三名比赛成绩如下表．
胜（场） 平（场） 负（场） 积分
大连实德队 8 2 2 26
上海申花队 6 5 1 23
北京现代队 5 7 0 22
问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?
5、某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
参考答案
一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1、下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；
B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；
C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；
D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误； 故选B．
2、下列方程组中是三元一次方程组的是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】A选项中与中未知数项的次数为2次，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选项不是；C选项中有四个未知数，故C选项不是；D项符合三元一次方程组的定义．
3、下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】A、含有三个未知数，但不是一次方程，故该选项错误；
B、是三元一次方程组，故该选项正确；
C、不是整式方程，故该选项错误；
D、不是一次方程组，故该选项错误，故选B．
二、三元一次方程组的解法
1、在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a，b，c的值．
【解析】解：根据题意，得，
②﹣①，得a+b=1④；
③﹣①，得4a+b=10 ⑤．
④与⑤组成二元一次方程组， 解这个方程组，得，
把代入①，得c=﹣5． 因此，即a，b，c的值分别为3，﹣2，﹣5．
2、解方程组：
【答案】解：①+②得：
①×2+③得：
由此可得方程组：
④－⑤得：，；将代入⑤知：
将，代入①得：
所以方程组的解为：
3、解方程组
【解析】
解法一：原方程可化为：
由①③得：， ④
将④代入②得：，得： ⑤
将⑤代入④中两式，得：，
所以方程组的解为：
解法二：设，则
将③代入②得：，
将代入③得：，
所以方程组的解为：
4、已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．
【解析】解法一： ②-①，得z-x＝2a ④
③+④，得2z＝6a，z＝3a
把z＝3a分别代入②和③，得y＝2a，x＝a．
∴ ．
把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得：a-2×2a+3×3a＝-10．
解得．
解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a；即x+y+z=6a ④
④-①，得z＝3a，④-②，得x＝a，④-③，得y＝2a．
∴ ，
把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得：a-2×2a+3×3a＝-10．
解得．
三、三元一次方程组的应用
1、购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．
【答案】5．
【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．
则由题意得：
，
由②﹣①得3x+y=1，④
由②+①得17x+7y+2z=7，⑤
由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.
2、现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?
【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．
依题意，得
把③分别代入①和②，得
⑤×2，得6x+z＝46 ⑥
⑥-④，得4x＝28，x＝7；把x＝7代入③，得y＝13；把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．
∴方程组的解是．
答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．
【巩固练习】
一、填空题。
1、下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D；
2、下列四组数值中，为方程组的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D．
【解析】，
①+②得：3x+y=1④，
①+③得：4x+y=2⑤，
⑤﹣④得：x=1，将x=1代入④得：y=﹣2，将x=1，y=﹣2代入①得：z=3，
则方程组的解为．
3、已知方程组，则a+b+c的值为（ ）。
A、6 B、-6 C、5 D、-5
【答案】C；
【解析】将方程组中的三个方程左右分别相加，得，两边同除以2便得答案.
4、已知与是同类项，则x-y+z的值为 ( ) 。
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】D；
【解析】由同类项的定义得：，解得：，所以.
5、已知代数式，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为 （ ）。
A、4 B、8 C、62 D、52
【答案】D；
【解析】由条件知，解得．
当x＝3时，．
6、已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】解方程组，解得，
代入可得方程组，解得，故选D．
7、已知xyz≠0，且，则x∶y∶z等于（ ）。
A、3∶2∶1 B、1∶2∶3 C、4∶5∶3 D、3∶4∶5
【答案】B
【解析】∵，
∴①×3+②×2，得2x=y，①×4+②×5，得3x=z，
∴x∶y∶z=x∶2x∶3x=1∶2∶3，故选B．
8、关于x，y的方程组的解是方程3x+2y=10的解，那么a的值为（ ）。
A、﹣2 B、2 C、﹣1 D、1
【答案】B；
【解析】解：本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
（1）﹣（2）得：6y=﹣3a，
∴y=﹣，
代入（1）得：x=2a，把y=﹣，x=2a代入方程3x+2y=10，
得：6a﹣a=10，即a=2．故选B．
9、已知甲、乙、丙三个人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人共有（ ）。
A、30元 B、33元 C、36元 D、39元
【答案】D；
【解析】解：设甲乙丙分别有，则有：
，解得：，所以三人共有：（元）.
10、为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) .
A、11支 B、9支 C、7支 D、5支
【答案】D；
【解析】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x、y、z支，由题意，得
①×4-②×5得x-z＝0，所以x＝z，将z＝x代入①，得4x+5y+6x＝60．即y+2x＝12．
∵ y＞0，∴ x＜6，∴ x为小于6的正整数，∴ 选D.
二、填空题。
11、方程组的解为 ．
【答案】．
12、已知，则= ．
【答案】；
【解析】解：，
①×7﹣②×6得：2x﹣3y=0，解得：x=y，
①×2+②×3得：11x﹣33z=0解得：x=3z，
∵x=y，x=3z，∴y=2z，∴===．故答案为：．
13、已知方程组，若设，则k=__________．
【答案】2
【解析】设则x=2k，y=3k，z=4k，代入5x?2y+z=16得：10k?6k+4k=16，解得：k=2，故答案为：2．
14、某车间共有86名工人，已知每人平均每天可以加工甲种部件15个，乙种部件12个或丙种部件9个，要使加工后的部件按3个甲种部件，2个乙种部件和1个丙种部件配套，则应安排__________人加工甲种部件，__________人加工乙种部件，__________人加工丙种部件．
【答案】36；30；20
【解析】设应安排x人加工甲种部件，y人加工乙种部件，z人加工丙种部件．
则由题意得，
由②得x=z④，
由③得y=z⑤，
将④⑤代入①，解得z=20，∴x=36，y=30．故答案为：36，30，20．
15、甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙三个数分别是__________．
【答案】10，9，7
【解析】设甲数为x，乙数为y，丙数为z，根据题意得：
，解得：，
则甲数是10，乙数是9，丙数是7，故答案为：10，9，7．
三、解下列方程组。
16、（1） （2） （3）
【解析】（1），
①+③，得3x-4z=8④，
②-③，得2x+3z=-6⑤，
联立④⑤，得，解得，
把x=0，z=-2代入③，得y=-3，
所以原方程组的解是．
（2），
③+①，得3x+5y=11④，
③×2+②，得3x+3y=9⑤，
④-⑤，得2y=2，解得y=1，
将y=1代入⑤，得3x=6，解得x=2，将x=2，y=1代入①，得z=-1，所以原方程组的解为．
（3），
将方程①+②得：2x+z=27④，
将方程②+③得：3x+2z=44⑤，
将④×3﹣⑤×2得：z=7，将z值代入⑤得：x=10，把x=10代入①得：y=9，
∴三元一次方程组的解为 ．
四、应用题。
1、新定义对有理数x，y定义新运算x△y=ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1△2=9，（-3）△3=6，0△1=2，求（-2）△5的值．
解：由题意得， 解得，
所以此新运算为x△y=2x+5y-3，
故（-2）△5=2×（-2）+5×5-3=18．
2、在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=-2时，求y的值．
3、某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50棵，乙组植树的棵数是甲、丙两组和的 ，甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和，则每组各植树多少棵？
解：设甲、乙、丙三个小组分别植树x棵、y棵和z棵．根据题意，
得， 解得．
答：甲、乙、丙三个小组分别植树25棵、10棵和15棵．
4、2003年全国足球甲A联赛的前12轮(场)比赛后，前三名比赛成绩如下表．
胜（场） 平（场） 负（场） 积分
大连实德队 8 2 2 26
上海申花队 6 5 1 23
北京现代队 5 7 0 22
问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?
解：设每队胜一场、平—场、负—场分别得x分，y分，z分
根据题意，得；由①得4x+y+z＝13 ④
②一④，得x+2y＝5 ⑤ ⑤×5-③，得y＝1．
把y＝1代入⑤，得x＝5-2×1＝3，即x＝3．把x＝3，y＝1代入④，得z＝0．∴
答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
5、某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则，解得，∴ ． 答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天．
（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，则，
解得． ∵ 10a＝8750（元），15b＝8625（元）．
答：由乙队单独完成此工程花钱最少．
【总结解题方法 提升解题能力】
【知识点梳理】 一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1、三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
2、三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
二、三元一次方程组的解法
1、解三元一次方程组的一般步骤
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
三、三元一次方程组的应用
1、列三元一次方程组解应用题的一般步骤
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1、下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、下列方程组中是三元一次方程组的是( )。
A、 B、 C、 D、
3、下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、三元一次方程组的解法
1、在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a，b，c的值．
2、解方程组：
3、解方程组
4、已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．
三、三元一次方程组的应用
1、购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．
2、现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?
【巩固练习】
一、填空题。
1、下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、下列四组数值中，为方程组的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、
3、已知方程组，则a+b+c的值为（ ）。
A、6 B、-6 C、5 D、-5
4、已知与是同类项，则x-y+z的值为 ( ) 。
A、1 B、2 C、3 D、4
5、已知代数式，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为 （ ）。
A、4 B、8 C、62 D、52
6、已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7、已知xyz≠0，且，则x∶y∶z等于（ ）。
A、3∶2∶1 B、1∶2∶3 C、4∶5∶3 D、3∶4∶5
8、关于x，y的方程组的解是方程3x+2y=10的解，那么a的值为（ ）。
A、﹣2 B、2 C、﹣1 D、1
9、已知甲、乙、丙三个人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人共有（ ）。
A、30元 B、33元 C、36元 D、39元
10、为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) 。
A、11支 B、9支 C、7支 D、5支
二、填空题。
11、方程组的解为 。
12、已知，则= 。
13、已知方程组，若设，则k=__________。
14、某车间共有86名工人，已知每人平均每天可以加工甲种部件15个，乙种部件12个或丙种部件9个，要使加工后的部件按3个甲种部件，2个乙种部件和1个丙种部件配套，则应安排__________人加工甲种部件，__________人加工乙种部件，__________人加工丙种部件。
15、甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙三个数分别是__________。
三、解下列方程组。
16、（1） （2） （3）
四、应用题。
1、新定义对有理数x，y定义新运算x△y=ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1△2=9，（-3）△3=6，0△1=2，求（-2）△5的值．
2、在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=-2时，求y的值．
3、某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50棵，乙组植树的棵数是甲、丙两组和的 ，甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和，则每组各植树多少棵？
4、2003年全国足球甲A联赛的前12轮(场)比赛后，前三名比赛成绩如下表．
胜（场） 平（场） 负（场） 积分
大连实德队 8 2 2 26
上海申花队 6 5 1 23
北京现代队 5 7 0 22
问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?
5、某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
参考答案
一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1、下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；
B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；
C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；
D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误； 故选B．
2、下列方程组中是三元一次方程组的是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】A选项中与中未知数项的次数为2次，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选项不是；C选项中有四个未知数，故C选项不是；D项符合三元一次方程组的定义．
3、下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】A、含有三个未知数，但不是一次方程，故该选项错误；
B、是三元一次方程组，故该选项正确；
C、不是整式方程，故该选项错误；
D、不是一次方程组，故该选项错误，故选B．
二、三元一次方程组的解法
1、在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a，b，c的值．
【解析】解：根据题意，得，
②﹣①，得a+b=1④；
③﹣①，得4a+b=10 ⑤．
④与⑤组成二元一次方程组， 解这个方程组，得，
把代入①，得c=﹣5． 因此，即a，b，c的值分别为3，﹣2，﹣5．
2、解方程组：
【答案】解：①+②得：
①×2+③得：
由此可得方程组：
④－⑤得：，；将代入⑤知：
将，代入①得：
所以方程组的解为：
3、解方程组
【解析】
解法一：原方程可化为：
由①③得：， ④
将④代入②得：，得： ⑤
将⑤代入④中两式，得：，
所以方程组的解为：
解法二：设，则
将③代入②得：，
将代入③得：，
所以方程组的解为：
4、已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．
【解析】解法一： ②-①，得z-x＝2a ④
③+④，得2z＝6a，z＝3a
把z＝3a分别代入②和③，得y＝2a，x＝a．
∴ ．
把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得：a-2×2a+3×3a＝-10．
解得．
解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a；即x+y+z=6a ④
④-①，得z＝3a，④-②，得x＝a，④-③，得y＝2a．
∴ ，
把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得：a-2×2a+3×3a＝-10．
解得．
三、三元一次方程组的应用
1、购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．
【答案】5．
【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．
则由题意得：
，
由②﹣①得3x+y=1，④
由②+①得17x+7y+2z=7，⑤
由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.
2、现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?
【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．
依题意，得
把③分别代入①和②，得
⑤×2，得6x+z＝46 ⑥
⑥-④，得4x＝28，x＝7；把x＝7代入③，得y＝13；把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．
∴方程组的解是．
答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．
【巩固练习】
一、填空题。
1、下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D；
2、下列四组数值中，为方程组的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D．
【解析】，
①+②得：3x+y=1④，
①+③得：4x+y=2⑤，
⑤﹣④得：x=1，将x=1代入④得：y=﹣2，将x=1，y=﹣2代入①得：z=3，
则方程组的解为．
3、已知方程组，则a+b+c的值为（ ）。
A、6 B、-6 C、5 D、-5
【答案】C；
【解析】将方程组中的三个方程左右分别相加，得，两边同除以2便得答案.
4、已知与是同类项，则x-y+z的值为 ( ) 。
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】D；
【解析】由同类项的定义得：，解得：，所以.
5、已知代数式，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为 （ ）。
A、4 B、8 C、62 D、52
【答案】D；
【解析】由条件知，解得．
当x＝3时，．
6、已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】解方程组，解得，
代入可得方程组，解得，故选D．
7、已知xyz≠0，且，则x∶y∶z等于（ ）。
A、3∶2∶1 B、1∶2∶3 C、4∶5∶3 D、3∶4∶5
【答案】B
【解析】∵，
∴①×3+②×2，得2x=y，①×4+②×5，得3x=z，
∴x∶y∶z=x∶2x∶3x=1∶2∶3，故选B．
8、关于x，y的方程组的解是方程3x+2y=10的解，那么a的值为（ ）。
A、﹣2 B、2 C、﹣1 D、1
【答案】B；
【解析】解：本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
（1）﹣（2）得：6y=﹣3a，
∴y=﹣，
代入（1）得：x=2a，把y=﹣，x=2a代入方程3x+2y=10，
得：6a﹣a=10，即a=2．故选B．
9、已知甲、乙、丙三个人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人共有（ ）。
A、30元 B、33元 C、36元 D、39元
【答案】D；
【解析】解：设甲乙丙分别有，则有：
，解得：，所以三人共有：（元）.
10、为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) .
A、11支 B、9支 C、7支 D、5支
【答案】D；
【解析】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x、y、z支，由题意，得
①×4-②×5得x-z＝0，所以x＝z，将z＝x代入①，得4x+5y+6x＝60．即y+2x＝12．
∵ y＞0，∴ x＜6，∴ x为小于6的正整数，∴ 选D.
二、填空题。
11、方程组的解为 ．
【答案】．
12、已知，则= ．
【答案】；
【解析】解：，
①×7﹣②×6得：2x﹣3y=0，解得：x=y，
①×2+②×3得：11x﹣33z=0解得：x=3z，
∵x=y，x=3z，∴y=2z，∴===．故答案为：．
13、已知方程组，若设，则k=__________．
【答案】2
【解析】设则x=2k，y=3k，z=4k，代入5x?2y+z=16得：10k?6k+4k=16，解得：k=2，故答案为：2．
14、某车间共有86名工人，已知每人平均每天可以加工甲种部件15个，乙种部件12个或丙种部件9个，要使加工后的部件按3个甲种部件，2个乙种部件和1个丙种部件配套，则应安排__________人加工甲种部件，__________人加工乙种部件，__________人加工丙种部件．
【答案】36；30；20
【解析】设应安排x人加工甲种部件，y人加工乙种部件，z人加工丙种部件．
则由题意得，
由②得x=z④，
由③得y=z⑤，
将④⑤代入①，解得z=20，∴x=36，y=30．故答案为：36，30，20．
15、甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙三个数分别是__________．
【答案】10，9，7
【解析】设甲数为x，乙数为y，丙数为z，根据题意得：
，解得：，
则甲数是10，乙数是9，丙数是7，故答案为：10，9，7．
三、解下列方程组。
16、（1） （2） （3）
【解析】（1），
①+③，得3x-4z=8④，
②-③，得2x+3z=-6⑤，
联立④⑤，得，解得，
把x=0，z=-2代入③，得y=-3，
所以原方程组的解是．
（2），
③+①，得3x+5y=11④，
③×2+②，得3x+3y=9⑤，
④-⑤，得2y=2，解得y=1，
将y=1代入⑤，得3x=6，解得x=2，将x=2，y=1代入①，得z=-1，所以原方程组的解为．
（3），
将方程①+②得：2x+z=27④，
将方程②+③得：3x+2z=44⑤，
将④×3﹣⑤×2得：z=7，将z值代入⑤得：x=10，把x=10代入①得：y=9，
∴三元一次方程组的解为 ．
四、应用题。
1、新定义对有理数x，y定义新运算x△y=ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1△2=9，（-3）△3=6，0△1=2，求（-2）△5的值．
解：由题意得， 解得，
所以此新运算为x△y=2x+5y-3，
故（-2）△5=2×（-2）+5×5-3=18．
2、在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=-2时，求y的值．
3、某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50棵，乙组植树的棵数是甲、丙两组和的 ，甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和，则每组各植树多少棵？
解：设甲、乙、丙三个小组分别植树x棵、y棵和z棵．根据题意，
得， 解得．
答：甲、乙、丙三个小组分别植树25棵、10棵和15棵．
4、2003年全国足球甲A联赛的前12轮(场)比赛后，前三名比赛成绩如下表．
胜（场） 平（场） 负（场） 积分
大连实德队 8 2 2 26
上海申花队 6 5 1 23
北京现代队 5 7 0 22
问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?
解：设每队胜一场、平—场、负—场分别得x分，y分，z分
根据题意，得；由①得4x+y+z＝13 ④
②一④，得x+2y＝5 ⑤ ⑤×5-③，得y＝1．
把y＝1代入⑤，得x＝5-2×1＝3，即x＝3．把x＝3，y＝1代入④，得z＝0．∴
答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
5、某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则，解得，∴ ． 答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天．
（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，则，
解得． ∵ 10a＝8750（元），15b＝8625（元）．
答：由乙队单独完成此工程花钱最少．