第十一章全等三角形说课
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文档简介
(共56张PPT)
本章教学时间约须16课时
11.1 全等三角形 2课时
11.2 三角形全等的条件10课时 其中
三角形全等的条件（一）2课时
三角形全等的条件（二）2课时
三角形全等的条件（三）2课时
直角三角形全等的条件 2课时
三角形全等的条件（选择方法）2课时
11.3角的平分线的性质 2课时,其中
角的平分线的性质 1课时
角的平分线的判定 1课时
数学活动、小结 2课时
本章知识结构框图：
全等三角形
全等形
定义
对应边相等，对应角相等
解决问题
SSS,SAS,ASA，AAS,HL
判定
性质
应用
本章的地位和作用
学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好后面的四边形、圆等内容。
从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。这既是本章的重点，也是教学的难点。
第十一章的教材我是按照：
一、教学目标，重、难点
二、新课设计
三、例题讲解
四、随堂练习
五、课后作业
逐节进行分析的
11.1全等三角形
教学目标
1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。
2、通过全等三角形角有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力；通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力。
3、通过感受全等三角形的对应美激发学生热爱科学勇于探索的精神；
教学重点：全等三角形的性质。
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角
认知难点和突破方法
1.寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角；
2.注意：两个三角形全等在表示时通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。
A
C
B
F
E
D
能否记作 ABC≌ DEF
应该记作 ABC≌ DFE
原因:A与D、B与F、C与E对应。
新课设计
本节教学中，为了处理好图形的变换、对应边、对应角的识别等问题，我建议用多媒体演示。这样做不仅在表现力上更直观形象，而且唤起了学生注意，提高了学生参与活动的机会。同时，把三角形的拼图与全等三角形的探索相结合，也就是说，全等三角形的性质和对应元素的找法不是直接给出的，而是让学生“拼”出来的。这样让学生自己动手拼图实践，就会对相关结论印象深刻。
1.本节先通过形状、大小相同的图形引出全等形，进而引出全等三角形及其对应元素这些核心概念，然后直观演示图形的平移、翻折、旋转，从中体会图形变换的思想，逐步培养学生动态研究几何的意识，进而理解本节课的重点全等三角形的性质；
2.向学生介绍全等符号，全等符号 “≌”,中“∽”表示符号相同(即相似) ，“=”表示大小相等,合起来就是符号相同，大小相等，也就是全等。
如图： ∵ △ABC≌△DEF
3.全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等
∴A B=D E，A C=D F，BC= E F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
（全等三角形的对应边相等）
（全等三角形的对应角相等）
例、习题设计
（补充）1. 下列说法是否正确,并简要说明理由:
(1) 边长相等的正方形都是全等图形;
(2) 同一面中华人民共和国国旗上,4个小五角星都是全等图形.
(3) 面积相等的两个三角形是全等三角形
(4) 两个全等三角形的面积相等
此题的设计意图是加强学生对全等形概念的理解
A
B
C
D
A
B
C
D
E
2、全等三角形对应元素的找法
A
F
E
D
C
B
A
B
C
D
平移
翻折
旋转
翻折、旋转
3.找一找
如图，已知△ABC≌△ADE,
∠C=∠E,BC=DE,其它的对应边有 ：_____________
对应角有：_____________
配套练习：课本4页练习第二题，注意可以给学生总结可根据△ABC≌△ADE找出对应点A→A,B→D,C→E,再结合图形找出对应角，对应边直接可以看出AB→AD,BC→DE,AC→AE.
A
B
C
D
E
（2）将△ ABC 沿直线BC平移，得到△ DEF，说出图中线段、角的关系并说明理由。
A
B
C
D
E
O
A
F
E
D
C
B
（3）△ABD≌△ACE，若∠B＝25°，BD＝6㎝，AD＝4㎝，你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么 ？
2、全等三角形性质的运用
三角形全等的条件（一）
教学目标
1．三角形全等的“边边边”的条件．
2．了解三角形的稳定性．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
教学重点：三角形全等的条件．
教学难点：寻求三角形全等的条件．
新课设计
展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
（根据定义可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．
提出问题：是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．由课本6页探究1让学生动手画图，分组讨论，探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等。然后展示讨论结果
通过画图讨论可以发现只满足一个或两个条件画出的三角形都不能保证一定全等．
给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．
在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
学生活动：画一个三角形，使它的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．（教师板书画法）把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
结论：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
例题1教材7页
如图, △ABC 是刚架,AB = AC ,AD是连结点A与
BC中点D的支架.
求证: ⑴△ABD ≌ △ACD（补充）⑵AD ⊥ BC
A
C
D
1
2
B
∴ ∠ 1 =∠ 2
证明:
∵D是线段BC的中点
∴BD=CD
在△ABD 和△ACD中
AB = AC
AD = AD
DB = DC
∴ △ABD ≌ △ACD ( SSS )
(已知)
(公共边)
(已知)
(全等三角形的对应角相等)
∴ AD ⊥ BC
(垂直定义)
∴ ∠ 1 = ∠ BDC = 90 °
例题2（补充）
已知: 如图,AB = DC ,AD = BC .
求证: ∠ A =∠ C
证明:
在△BAD 和△DCB中
AB = CD
AD = CB
BD = DB
∴ △BAD ≌ △DCB( SSS )
∴ ∠ A =∠ C
(已知)
(已知)
(公共边)
(全等三角形的对应角相等)
A
B
C
D
连结 BD
分析：需添加辅助线构造三角形
2.如图已知: A、C、D、F四点在同一直线上，
AB = DE ,BC = EF ,AC = DF。
求证: AB ∥ DE
A
B
C
D
E
F
1.如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
A
B
C
D
3.如图，D、F是线段BC上的两点，
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，
还需要条件
B D F C
作业：
A
E
三角形全等的条件（二）
教学目标
1．三角形全等的“边角边”的条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．
4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
教学重点 三角形全等的条件．
教学难点 寻求三角形全等的条件．
新课设计
把教材9页例2作为一个情境向学生提出，从而激发学生对这节课的兴趣。
学生活动：画出一个△ABC，使得AB=15cm, ∠B=60°,BC=20cm,把你画的三角形剪下来,并与小组内其他同学画的进行比较，它们会全等吗？（教师板书画法）
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
创设情景
因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢？。
A
B
A
B
C
D
O
（补充）例1：如图，AC与BD相交于点O，
已知OA=OC，OB=OD，
求证:△AOB≌△COD
证明:
在△AOB和△COD中
OA=OC（已知）
______________
OB=OD（已知）
∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴△AOB≌△COD( )
SAS
（补充）例2 已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2
求证:(1) AD=CD (2)BD 平分∠ ADC
A
D
B
C
1
2
4
3
证明：在△ABD和△CBD中
AB=CB （已知）
∠1= ∠2 （已知）
BD=BD（公共边）
∴ △ABD≌△CBD(SAS)
∴AD=CD (全等三角形对应边相等）
∠3= ∠4（全等三角形对应角相等）
∴BD 平分∠ ADC
归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。
探究新知
因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。。
A
B
你能应用刚刚学过的知识解决问题吗？
小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。
AC=DC （已知）
∠ACB=∠DCE（对顶角相等）
BC=EC （已知）
△ACB≌△DCE （SAS）
AB=DE
以3cm，5cm为三角形的两边，长度为5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
A
B
C
D
E
F
5cm
3cm
40°
40°
3cm
5cm
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
课上练习及课后作业
1.教材10页练习
（补充）2.图3,已知:AD∥BC，AD＝ CB．
求证：△ADC≌△CBA
（补充）3.如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，
∠1＝∠2，求证:△ABD≌ACE
作业：教材15页3.4
三角形全等的条件（三）
教学目标
1、使学生经历实验，探索并发现ASA或AAS，并能运用ASA或AAS的方法来识别三角形全等。
2．通过实验，探索、发现ASA或AAS的过程，培养学生动手操作的能力和培养学生对知识的应用能力以及团体协作能力。
3．使学生在探索发现问题的过程体中验成功的乐趣，树立知识来源于实践又用于实践的观念，提高学习兴趣。
教学重点：通过实验让学生自己发现并理解ASA、AAS的识别方法及运用ASA、AAS解决问题。
教学难点：利用ASA、AAS识别法间接说明线段或角相等
新课设计
1.创设情境引出本节要研究的判定方法，激发学生学习兴趣。
2.学生活动：画一个△ABC,使得∠A=45°,AB=10cm,∠B=60°把你画的三角形剪下来,并与小组内其他同学画的进行比较，它们会全等吗？（教师板书画法）
3.结论：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(“角边角”或“ASA”)
一张教学用的三角形硬纸板不小心
被撕坏了，如图，你能制作一张与原来
同样大小的新教具？能恢复原来三角形
的原貌吗？
怎么办？可以帮帮我吗？
创设情景,实例引入
例题讲解：教材12页
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于
点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证：⑴ AD=AE （补充）⑵BD=CE
证明 ：在△ADC和△AEB中
∠A=∠A（公共角）
AC=AB（已知）
∠C=∠B（已知）
∴△ACD≌△ABE（ASA）
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC（已知）
∴BD=CE
∴ AB-AD=AC-AE(等量减等量，量相等）
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
练习
A
B
C
D
E
F
结论：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(“角角边”或“AAS”)
(补充)
例2.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于
点O，AD=AE，∠B=∠C。
求证： AB=AC
证明 ：在△ADC和△AEB中
∠C=∠B（已知）
∠A=∠A（公共角）
AD=AE（已知）
∴△ACD≌△ABE（AAS）
∴ AB=AC （全等三角形的对应边相等）
习题及作业
练习：教材13页1.2题
作业：教材15页5题
直角三角形全等的条件
教学目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点 熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
新课设计
1.复习已经学过的三角形全等的判定方法强调这些方法适用于直角三角形
2.完成教材13页的探究8，并提问 如果满足斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等吗？
3.学生活动：画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，AB=4cm,AC=3cm.（教师板书画法）
4.结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”.
注意：“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。应用HL判定时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为
在Rt△______和Rt△______中，
∴Rt△______≌Rt△______（HL）
新课设计
1.复习已经学过的三角形全等的判定方法强调这些方法适用于直角三角形
2.完成教材13页的探究8，并提问 如果满足斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等吗？
3.学生活动：画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，AB=4cm,AC=3cm.（教师板书画法）
4.结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”.
注意：“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。应用HL判定时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为
在Rt△______和Rt△______中，
∴Rt△______≌Rt△______（HL）
A
B
C
D
例习题设计
例1 教材14页：
如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD
注意：在证明时要强调
Rt△ABC≌ Rt△BAD
（补充）例2：如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
提示：求证∠B= ∠ C即可得到答案
练习及作业
练习：教材14页1.2
作业(1)教材16页7.8
选作题(2)如图，有两个长度相同
的滑梯，左边滑梯的高度AC与
右边滑梯水平方向的长度DF相等，
两个滑梯的倾斜角∠ABC
和∠DFE的大小有什么关系？
全等三角形小结与复习
教学目标：1.能灵活运用全等三角形的有关知识，证明边角相等；2.解决实际问题
三角形全等的判定方法有：定义、SAS、ASA、AAS、SSS，在直角三角形中还可以用HL。但要注意不能用边边角或角角角判定三角形全等. 证明线段或角相等，通常是通过证明三角形全等来实现的，因此要学会分析，善于总结规律，灵活地选择适当方法证明两个三角形全等，当题目的图中无现成的可用来证明的全等三角形时，就需要根据条件和结论添加适当的辅助线，构造全等三角形，有一些复杂的几何题，往往要证明几次全等才能得到结果，选择好的证明方法是非常重要的.
习题设计
1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证： △ABD≌△ABC
提问：可以有几种证明方法
（1）利用邻补角求证∠ABD= ∠ ABC再用ASA定理
（2）利用外角求证∠ D=∠C,再用AAS定理
3
4
1
2
2.已知：如图3，△ABC≌△ ，AD、 分别是△ABC和△ 的高.
求证：AD=
分析：已知△ABC≌△ ，相当于已知它们的对应边相等.在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系.
可求证△ ACD≌△ 或求证
△ ABD≌△ (AAS)
3.如图15（1）已知：E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于M点．
(1)求证：MB=MD，ME=MF；
(2)当E、F两点移动至如图15（2）所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，请加以证明．
提示:先证明Rt△ABF ≌ Rt△CDE得BF=DE,再证明
△BMF ≌ △DME（AAS)得到结论
（2）证明与(1)方法相同
（13）
A
C
D
B
E
F
10年中考（13）如图，已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需要添加一个条件，这个条件可以是
C
A
B
E
F
M
N
图①
08中考 25．已知Rt△ABC中，∠ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在的内部旋转时，如图①，求证： ；
思路点拨：考虑： 符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90就可以了．
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
C
A
B
E
F
M
N
图②
°
°
°
角的平分线的性质（一）
教学目标
1、在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握角平分线的作法和角平分线的性质，发展数学直觉。
2、掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用。
3、在探究的过程中，培养探究的兴趣，增强解决问题的信心；
教学重点：角平分线的性质的证明及运用。
教学难点：角平分线的性质的探究。
新课设计
1.创设情境：不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ （对折）
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
2.教师板书作“已知角的平分线”
3.学生完成20页探究，能用三角形全等证明。
得到角平分线的性质。
例习题设计
例1.教材21页，直接应用角平分线的性质，而不利用全等证明。注意向学生说明“同理”的意思
（补充）例2如图：在△ABC中，∠C=90°
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在
AC上，BD=DF 求证：CF=EB
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们
所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找
什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL
证明.
A
C
D
E
B
F
证明：∵ AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°
∴ CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△FCD和Rt△DBE中
CD=DE
DF=DB
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=DE（全等三角形对应边相等）
练习及作业
练习：教材22页
作业：教材22页2.3
角的平分线的性质(2)
教学目标：
1. 掌握角平分线的判定，能应用角平分线的性质及判定解决问题。
2.初步了解角的平分线的判定在生活生产中的应用
教学重点：角的平分线的判定的证明及运用
教学难点：角的平分线的判定的探究
新课设计
创设情境：教材21页思考，引导学生完成证明，得到角的平分线的判定
总结：数学语言表示：
(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ OC是∠AOB的平分线
PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD＝PE
(2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．
∴点P在∠AOB的平分线上．
O
C
B
1
A
2
P
D
E
例习题设计
例1：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上
分析：需要证明点F到∠DAE两边的距离相等
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
H
M
G
习题及作业
练习:1.教材21页例题变为求证点P在∠A的平分线上
（补充）2.如图，在△ABC中，
D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
(补充)3.如图，为了促进当地旅游发展，某地
要在三条公路围成的一块平地上修建一个度
假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等
,应在何处修建
A
B
C
E
F
D
本章教学时间约须16课时
11.1 全等三角形 2课时
11.2 三角形全等的条件10课时 其中
三角形全等的条件（一）2课时
三角形全等的条件（二）2课时
三角形全等的条件（三）2课时
直角三角形全等的条件 2课时
三角形全等的条件（选择方法）2课时
11.3角的平分线的性质 2课时,其中
角的平分线的性质 1课时
角的平分线的判定 1课时
数学活动、小结 2课时
本章知识结构框图：
全等三角形
全等形
定义
对应边相等，对应角相等
解决问题
SSS,SAS,ASA，AAS,HL
判定
性质
应用
本章的地位和作用
学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好后面的四边形、圆等内容。
从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。这既是本章的重点，也是教学的难点。
第十一章的教材我是按照：
一、教学目标，重、难点
二、新课设计
三、例题讲解
四、随堂练习
五、课后作业
逐节进行分析的
11.1全等三角形
教学目标
1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。
2、通过全等三角形角有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力；通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力。
3、通过感受全等三角形的对应美激发学生热爱科学勇于探索的精神；
教学重点：全等三角形的性质。
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角
认知难点和突破方法
1.寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角；
2.注意：两个三角形全等在表示时通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。
A
C
B
F
E
D
能否记作 ABC≌ DEF
应该记作 ABC≌ DFE
原因:A与D、B与F、C与E对应。
新课设计
本节教学中，为了处理好图形的变换、对应边、对应角的识别等问题，我建议用多媒体演示。这样做不仅在表现力上更直观形象，而且唤起了学生注意，提高了学生参与活动的机会。同时，把三角形的拼图与全等三角形的探索相结合，也就是说，全等三角形的性质和对应元素的找法不是直接给出的，而是让学生“拼”出来的。这样让学生自己动手拼图实践，就会对相关结论印象深刻。
1.本节先通过形状、大小相同的图形引出全等形，进而引出全等三角形及其对应元素这些核心概念，然后直观演示图形的平移、翻折、旋转，从中体会图形变换的思想，逐步培养学生动态研究几何的意识，进而理解本节课的重点全等三角形的性质；
2.向学生介绍全等符号，全等符号 “≌”,中“∽”表示符号相同(即相似) ，“=”表示大小相等,合起来就是符号相同，大小相等，也就是全等。
如图： ∵ △ABC≌△DEF
3.全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等
∴A B=D E，A C=D F，BC= E F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
（全等三角形的对应边相等）
（全等三角形的对应角相等）
例、习题设计
（补充）1. 下列说法是否正确,并简要说明理由:
(1) 边长相等的正方形都是全等图形;
(2) 同一面中华人民共和国国旗上,4个小五角星都是全等图形.
(3) 面积相等的两个三角形是全等三角形
(4) 两个全等三角形的面积相等
此题的设计意图是加强学生对全等形概念的理解
A
B
C
D
A
B
C
D
E
2、全等三角形对应元素的找法
A
F
E
D
C
B
A
B
C
D
平移
翻折
旋转
翻折、旋转
3.找一找
如图，已知△ABC≌△ADE,
∠C=∠E,BC=DE,其它的对应边有 ：_____________
对应角有：_____________
配套练习：课本4页练习第二题，注意可以给学生总结可根据△ABC≌△ADE找出对应点A→A,B→D,C→E,再结合图形找出对应角，对应边直接可以看出AB→AD,BC→DE,AC→AE.
A
B
C
D
E
（2）将△ ABC 沿直线BC平移，得到△ DEF，说出图中线段、角的关系并说明理由。
A
B
C
D
E
O
A
F
E
D
C
B
（3）△ABD≌△ACE，若∠B＝25°，BD＝6㎝，AD＝4㎝，你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么 ？
2、全等三角形性质的运用
三角形全等的条件（一）
教学目标
1．三角形全等的“边边边”的条件．
2．了解三角形的稳定性．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
教学重点：三角形全等的条件．
教学难点：寻求三角形全等的条件．
新课设计
展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
（根据定义可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．
提出问题：是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．由课本6页探究1让学生动手画图，分组讨论，探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等。然后展示讨论结果
通过画图讨论可以发现只满足一个或两个条件画出的三角形都不能保证一定全等．
给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．
在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
学生活动：画一个三角形，使它的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．（教师板书画法）把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
结论：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
例题1教材7页
如图, △ABC 是刚架,AB = AC ,AD是连结点A与
BC中点D的支架.
求证: ⑴△ABD ≌ △ACD（补充）⑵AD ⊥ BC
A
C
D
1
2
B
∴ ∠ 1 =∠ 2
证明:
∵D是线段BC的中点
∴BD=CD
在△ABD 和△ACD中
AB = AC
AD = AD
DB = DC
∴ △ABD ≌ △ACD ( SSS )
(已知)
(公共边)
(已知)
(全等三角形的对应角相等)
∴ AD ⊥ BC
(垂直定义)
∴ ∠ 1 = ∠ BDC = 90 °
例题2（补充）
已知: 如图,AB = DC ,AD = BC .
求证: ∠ A =∠ C
证明:
在△BAD 和△DCB中
AB = CD
AD = CB
BD = DB
∴ △BAD ≌ △DCB( SSS )
∴ ∠ A =∠ C
(已知)
(已知)
(公共边)
(全等三角形的对应角相等)
A
B
C
D
连结 BD
分析：需添加辅助线构造三角形
2.如图已知: A、C、D、F四点在同一直线上，
AB = DE ,BC = EF ,AC = DF。
求证: AB ∥ DE
A
B
C
D
E
F
1.如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
A
B
C
D
3.如图，D、F是线段BC上的两点，
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，
还需要条件
B D F C
作业：
A
E
三角形全等的条件（二）
教学目标
1．三角形全等的“边角边”的条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．
4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
教学重点 三角形全等的条件．
教学难点 寻求三角形全等的条件．
新课设计
把教材9页例2作为一个情境向学生提出，从而激发学生对这节课的兴趣。
学生活动：画出一个△ABC，使得AB=15cm, ∠B=60°,BC=20cm,把你画的三角形剪下来,并与小组内其他同学画的进行比较，它们会全等吗？（教师板书画法）
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
创设情景
因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢？。
A
B
A
B
C
D
O
（补充）例1：如图，AC与BD相交于点O，
已知OA=OC，OB=OD，
求证:△AOB≌△COD
证明:
在△AOB和△COD中
OA=OC（已知）
______________
OB=OD（已知）
∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴△AOB≌△COD( )
SAS
（补充）例2 已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2
求证:(1) AD=CD (2)BD 平分∠ ADC
A
D
B
C
1
2
4
3
证明：在△ABD和△CBD中
AB=CB （已知）
∠1= ∠2 （已知）
BD=BD（公共边）
∴ △ABD≌△CBD(SAS)
∴AD=CD (全等三角形对应边相等）
∠3= ∠4（全等三角形对应角相等）
∴BD 平分∠ ADC
归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。
探究新知
因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。。
A
B
你能应用刚刚学过的知识解决问题吗？
小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。
AC=DC （已知）
∠ACB=∠DCE（对顶角相等）
BC=EC （已知）
△ACB≌△DCE （SAS）
AB=DE
以3cm，5cm为三角形的两边，长度为5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
A
B
C
D
E
F
5cm
3cm
40°
40°
3cm
5cm
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
课上练习及课后作业
1.教材10页练习
（补充）2.图3,已知:AD∥BC，AD＝ CB．
求证：△ADC≌△CBA
（补充）3.如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，
∠1＝∠2，求证:△ABD≌ACE
作业：教材15页3.4
三角形全等的条件（三）
教学目标
1、使学生经历实验，探索并发现ASA或AAS，并能运用ASA或AAS的方法来识别三角形全等。
2．通过实验，探索、发现ASA或AAS的过程，培养学生动手操作的能力和培养学生对知识的应用能力以及团体协作能力。
3．使学生在探索发现问题的过程体中验成功的乐趣，树立知识来源于实践又用于实践的观念，提高学习兴趣。
教学重点：通过实验让学生自己发现并理解ASA、AAS的识别方法及运用ASA、AAS解决问题。
教学难点：利用ASA、AAS识别法间接说明线段或角相等
新课设计
1.创设情境引出本节要研究的判定方法，激发学生学习兴趣。
2.学生活动：画一个△ABC,使得∠A=45°,AB=10cm,∠B=60°把你画的三角形剪下来,并与小组内其他同学画的进行比较，它们会全等吗？（教师板书画法）
3.结论：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(“角边角”或“ASA”)
一张教学用的三角形硬纸板不小心
被撕坏了，如图，你能制作一张与原来
同样大小的新教具？能恢复原来三角形
的原貌吗？
怎么办？可以帮帮我吗？
创设情景,实例引入
例题讲解：教材12页
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于
点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证：⑴ AD=AE （补充）⑵BD=CE
证明 ：在△ADC和△AEB中
∠A=∠A（公共角）
AC=AB（已知）
∠C=∠B（已知）
∴△ACD≌△ABE（ASA）
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC（已知）
∴BD=CE
∴ AB-AD=AC-AE(等量减等量，量相等）
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
练习
A
B
C
D
E
F
结论：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(“角角边”或“AAS”)
(补充)
例2.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于
点O，AD=AE，∠B=∠C。
求证： AB=AC
证明 ：在△ADC和△AEB中
∠C=∠B（已知）
∠A=∠A（公共角）
AD=AE（已知）
∴△ACD≌△ABE（AAS）
∴ AB=AC （全等三角形的对应边相等）
习题及作业
练习：教材13页1.2题
作业：教材15页5题
直角三角形全等的条件
教学目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点 熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
新课设计
1.复习已经学过的三角形全等的判定方法强调这些方法适用于直角三角形
2.完成教材13页的探究8，并提问 如果满足斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等吗？
3.学生活动：画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，AB=4cm,AC=3cm.（教师板书画法）
4.结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”.
注意：“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。应用HL判定时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为
在Rt△______和Rt△______中，
∴Rt△______≌Rt△______（HL）
新课设计
1.复习已经学过的三角形全等的判定方法强调这些方法适用于直角三角形
2.完成教材13页的探究8，并提问 如果满足斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等吗？
3.学生活动：画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，AB=4cm,AC=3cm.（教师板书画法）
4.结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”.
注意：“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。应用HL判定时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为
在Rt△______和Rt△______中，
∴Rt△______≌Rt△______（HL）
A
B
C
D
例习题设计
例1 教材14页：
如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD
注意：在证明时要强调
Rt△ABC≌ Rt△BAD
（补充）例2：如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
提示：求证∠B= ∠ C即可得到答案
练习及作业
练习：教材14页1.2
作业(1)教材16页7.8
选作题(2)如图，有两个长度相同
的滑梯，左边滑梯的高度AC与
右边滑梯水平方向的长度DF相等，
两个滑梯的倾斜角∠ABC
和∠DFE的大小有什么关系？
全等三角形小结与复习
教学目标：1.能灵活运用全等三角形的有关知识，证明边角相等；2.解决实际问题
三角形全等的判定方法有：定义、SAS、ASA、AAS、SSS，在直角三角形中还可以用HL。但要注意不能用边边角或角角角判定三角形全等. 证明线段或角相等，通常是通过证明三角形全等来实现的，因此要学会分析，善于总结规律，灵活地选择适当方法证明两个三角形全等，当题目的图中无现成的可用来证明的全等三角形时，就需要根据条件和结论添加适当的辅助线，构造全等三角形，有一些复杂的几何题，往往要证明几次全等才能得到结果，选择好的证明方法是非常重要的.
习题设计
1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证： △ABD≌△ABC
提问：可以有几种证明方法
（1）利用邻补角求证∠ABD= ∠ ABC再用ASA定理
（2）利用外角求证∠ D=∠C,再用AAS定理
3
4
1
2
2.已知：如图3，△ABC≌△ ，AD、 分别是△ABC和△ 的高.
求证：AD=
分析：已知△ABC≌△ ，相当于已知它们的对应边相等.在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系.
可求证△ ACD≌△ 或求证
△ ABD≌△ (AAS)
3.如图15（1）已知：E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于M点．
(1)求证：MB=MD，ME=MF；
(2)当E、F两点移动至如图15（2）所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，请加以证明．
提示:先证明Rt△ABF ≌ Rt△CDE得BF=DE,再证明
△BMF ≌ △DME（AAS)得到结论
（2）证明与(1)方法相同
（13）
A
C
D
B
E
F
10年中考（13）如图，已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需要添加一个条件，这个条件可以是
C
A
B
E
F
M
N
图①
08中考 25．已知Rt△ABC中，∠ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在的内部旋转时，如图①，求证： ；
思路点拨：考虑： 符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90就可以了．
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
C
A
B
E
F
M
N
图②
°
°
°
角的平分线的性质（一）
教学目标
1、在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握角平分线的作法和角平分线的性质，发展数学直觉。
2、掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用。
3、在探究的过程中，培养探究的兴趣，增强解决问题的信心；
教学重点：角平分线的性质的证明及运用。
教学难点：角平分线的性质的探究。
新课设计
1.创设情境：不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ （对折）
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
2.教师板书作“已知角的平分线”
3.学生完成20页探究，能用三角形全等证明。
得到角平分线的性质。
例习题设计
例1.教材21页，直接应用角平分线的性质，而不利用全等证明。注意向学生说明“同理”的意思
（补充）例2如图：在△ABC中，∠C=90°
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在
AC上，BD=DF 求证：CF=EB
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们
所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找
什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL
证明.
A
C
D
E
B
F
证明：∵ AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°
∴ CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△FCD和Rt△DBE中
CD=DE
DF=DB
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=DE（全等三角形对应边相等）
练习及作业
练习：教材22页
作业：教材22页2.3
角的平分线的性质(2)
教学目标：
1. 掌握角平分线的判定，能应用角平分线的性质及判定解决问题。
2.初步了解角的平分线的判定在生活生产中的应用
教学重点：角的平分线的判定的证明及运用
教学难点：角的平分线的判定的探究
新课设计
创设情境：教材21页思考，引导学生完成证明，得到角的平分线的判定
总结：数学语言表示：
(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ OC是∠AOB的平分线
PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD＝PE
(2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．
∴点P在∠AOB的平分线上．
O
C
B
1
A
2
P
D
E
例习题设计
例1：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上
分析：需要证明点F到∠DAE两边的距离相等
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
H
M
G
习题及作业
练习:1.教材21页例题变为求证点P在∠A的平分线上
（补充）2.如图，在△ABC中，
D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
(补充)3.如图，为了促进当地旅游发展，某地
要在三条公路围成的一块平地上修建一个度
假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等
,应在何处修建
A
B
C
E
F
D